25.2.2 公式法 暑期预习作业-2026-2027学年人教版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦一元二次方程根的判别式，通过基础计算、参数讨论、几何应用三层递进设计，强化运算能力与推理意识，适配暑假巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|判别式直接应用|选择题1-2、填空题18等直接计算Δ值，巩固概念理解| |提升层|参数取值与跨知识结合|选择题3-10、填空题11-17涉及参数k、a的范围讨论，结合一次函数图像| |综合层|实际应用与几何证明|解答题20-24通过方程根判断三角形形状，培养模型意识与推理能力|

25.2.2 公式法 一．选择题（共10小题） 1．一元二次方程x2+4x+（m+1）＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3 2．若关于x的一元二次方程ax2+4x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　） A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4 3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； 其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 6．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 7．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0 8．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0 9．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠﹣2 B．k C．k且k≠﹣2 D．k 10．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k B．k且k≠0 C．k D．k且k≠0 二．填空题（共8小题） 11．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+3x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是　 　 ． 12．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为 　 　 ． 13．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则　 　 14．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根，则m的最大整数解是 　 　 ． 15．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　 ． 16．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　 　 ． 17．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是　 　 ． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k值为 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 19．（1）解方程：x2﹣5x+1＝0； （2）解不等式组：． 20．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0． （1）如果方程的一个根是2，求k的值； （2）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 23．已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足3x1x2，求实数p的值． 24．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：x2+4x+（m+1）＝0， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝0，即42﹣4×1×（m+1）＝0， 整理得12﹣4m＝0， 解得m＝3． 故选：D． 2．【解答】解：∵方程ax2+4x+1＝0是关于x的一元二次方程， ∴a≠0， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4•a•1＝0， 解得：a＝4， 故选：A． 3．【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4（kb+1）＞0， 解得kb＜0， A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确； B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确； C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确； D．k＜0，b＝0，即kb＝0，故D不正确； 故选：B． 4．【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确； ②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝0﹣4ac＞0， ∴﹣4ac＞0， 则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， 则ac2+bc+c＝0， ∴c（ac+b+1）＝0， 若c＝0，等式仍然成立， 但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， 则由求根公式可得： x0或x0 ∴2ax0+b或2ax0+b ∴ 故④正确． ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立； ∵由am2+bm+c＝an2+bn+c， ∴a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝0， ∴a（m﹣n）（m+n）+b（m﹣n）＝0， 即（m﹣n）[a（m+n）+b]＝0， ∵m≠n， ∴a（m+n）+b＝0， ∴当a≠0时，存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立； 故⑤正确． 故选：B． 5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：k＜5且k≠1． 故选：B． 6．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根， ∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0， 则4﹣4（m﹣2）≥0， 4﹣4m+8≥0， ﹣4m≥﹣12， 解得：m≤3， ∴m的取值范围是 m≤3且m≠2． 故选：D． 7．【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根， ∴（﹣6）2﹣4×9k≥0，且k≠0， 解得k≤1且k≠0， 故选：D． 8．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴m≠0且Δ＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1， ∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0． ∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根． 故选：D． 9．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根， ∴k+2≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4（k+2）•1≥0， 解得：k且k≠﹣2， 故选：C． 10．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0， 即：9+4k≥0， 解得：k， ∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0， 则k的取值范围是k且k≠0． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 11．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+3x+1＝0有实数根， ∴Δ＝9﹣4（a+1）≥0且a+1≠0， 解得a且a≠1， 故答案为：a且a≠1． 12．【解答】解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根， 则k2﹣9＝0， 解得k＝±3， ②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根， 即Δ＝b2﹣4ac＝0， 即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0 解得：k＝﹣5． 故答案为±3或﹣5． 13．【解答】解：∵方程有实根， ∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0， 化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0， ∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0， ∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b， 所以． 故答案为． 14．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根， ∴Δ＝4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0， 解得m≤5.5，且m≠5， 则m的最大整数解是m＝4． 故答案为：m＝4． 15．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0， ∴k＞﹣1， ∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0 ∴k≠0， ∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0． 故答案为：k＞﹣1且k≠0． 16．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0， 解得：k＜2且k≠1． 故答案为：k＜2且k≠1． 17．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0， 即：4﹣4k≥0， 解得：k≤1， ∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0中k≠0， 故答案为：k≤1且k≠0． 18．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0， 即（﹣2）2﹣4×（﹣k）＝12+4k＝0， 解得k＝﹣3． 故答案为：﹣3． 三．解答题（共6小题） 19．【解答】解：（1）x2﹣5x+1＝0， ∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 则x， 即x1，x2； （2）将第一个不等式去括号得：2x﹣2≥3x﹣5， 解得：x≤3， 将第二个不等式去分母得：x+3＜4x， 解得：x＞1， 故原不等式组的解集为1＜x≤3． 20．【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0， ∴x1＝2，x2＝k+1． ∵方程有一根小于1， ∴k+1＜1，解得：k＜0， ∴k的取值范围为k＜0． 21．【解答】（1）解：把x＝2代入x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0得22﹣2（k+2）+k﹣1＝0， 解得k＝﹣1； （2）证明：由题意得，Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（k﹣1） ＝k2+4k+4﹣4k+4 ＝k2+8， ∴k2+8≥8＞0， ∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 22．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形； （2）△ABC为直角三角形； 理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形； （3）∵△ABC为等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1． 23．【解答】证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0， x2﹣5x+6﹣p2＝0， Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）＝25﹣24+4p2＝1+4p2， ∵无论p取何值时，总有4p2≥0， ∴1+4p2＞0， ∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2， ∵3x1x2， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3x1x2， ∴52＝5（6﹣p2）， ∴p＝±1． 24．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵x＝﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0， ∴a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0， ∴4b2﹣4a2+4c2＝0， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC是直角三角形 学科网（北京）股份有限公司 $