25.2.2 公式法 暑期预习分层讲练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 暑期预习分层讲练，基础夯实（14题）、中档突破（4题）、困难探究（2题）三级递进，覆盖公式法解一元二次方程从概念理解到综合应用，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题夯实|根的判别式、解方程、系数与根的关系|采用模拟题和阶段检测题，如直接判断根的情况、基础解方程，强化概念理解与基本运算| |中档题突破|参数讨论、新定义问题（勾系方程）|引入参数k的取值范围分析、新定义方程证明，发展逻辑推理与问题转化能力| |困难题探究|整式与判别式综合、数论应用|结合整式分类讨论、奇数平方与判别式关系探究，培养数学抽象与创新意识|

【2026 暑期预习・分层讲练】2026-2027 学年人教版九年级数学上册 第三课 公式法解一元二次方程（答案与解析）基础提升中考拓展三合一 题号 1 2 3 6 7 8 9 15 19 答案 D B D C C D D C B 1．D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ， ∴， ∴方程无实数根． 2．B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】先根据一元二次方程定义确定二次项系数的限制，再利用方程无实数根时判别式小于0列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴ ∵方程没有实数根， ∴判别式， 整理得 解得． ∴k的取值范围是． 3．D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【详解】解：由题意，可得， ∴该方程有两个实数根． 4．0（答案不唯一） 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围，在取值范围内任取一个值即可． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得， 写出一个满足条件的实数的值：（答案不唯一，即可）． 5．(1)， (2)， 【知识点】公式法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】（1）由完全平方公式得，再开方可得解； （2）先确定，再求出，然后根据求根公式解答． 【详解】（1）解：， 整理，得， 开方，得， ∴； （2）解：， ， ∴， ∴， ∴． 6．C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、实数与数轴 【分析】利用判别式大于0求解即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴一元二次方程 的判别式为， ∴方程有两个不相等的实数根． 7．C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，根据的条件推导判别式的符号即可得到结论． 【详解】解：， 整理得，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴原方程没有实数根． 8．D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个不相等的实数根时，判别式，代入系数列不等式即可求解． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得 ， 解得 ． 9．D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、解分式方程（化为一元一次）、解一元二次方程——直接开平方法 【详解】解：A、∵，解得； B、，解得； C、，解得，； D、，，故方程无实数根． 10．(1)见解析 (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）根据判别式解题即可； （2）将代入方程求解． 【详解】（1）证明： ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：由题意知，， ， ， 解得． 11．(1)详见解析 (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）求出方程的判别式得出，即可证明； （2）将代入方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）证明：， 无论取何实数，方程总有两个实数根 （2）解：把代入该方程中， 得， 解得． 12．(1) (2)见解析 【知识点】整式的加减运算、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了整式的加减运算，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，得，即可作答． （2）由得，则即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得， 当时，则，， ∴ 此方程有两个不相等的实数根． 13．(1)等式的基本性质； (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、等式的性质1 【分析】本题考查一元二次方程的解法(配方法、公式法)及等式的性质． （1）第二步是在等式两边同时加上同一个数，依据是等式的基本性质1； （2）需先确定方程中、、的值，计算判别式，再代入求根公式求解． 【详解】（1）解：第二步是在等式的两边同时加上1，变形的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； （2）解：在方程中，，，， ， ∴， ，． 14．是直角三角形，面积为 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、判断三边能否构成直角三角形、利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据已知条件得出，将等式变形，利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，然后由勾股定理求解，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以其判别式． 化简可得：， 由可知，是直角三角形，且c为斜边． 又因为， ∴ 所以其面积． 15．C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题利用一元二次方程根的定义，结合根的判别式判断各选项，代入的值结合已知条件即可得到结论． 【详解】解：∵ 把代入一元二次方程， 可得左边 ， 又∵ 已知， ∴ 左边=右边，即一定是该方程的一个实数根，因此C正确，D错误； 判断根的个数：由得， 根的判别式， 说明方程可能有两个相等实数根，也可能有两个不相等实数根，因此A、B错误． 综上，正确选项为C． 16．且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再结合“有两个不相等的实数根”的条件得到根的判别式大于0，解不等式后得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 解得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上，实数的取值范围是且． 17．(1)当时，该方程有两个不相等的实数根，当时，该方程有两个相等的实数根； (2)有，所有的值为：，， 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、公式法解一元二次方程、求不等式组的解集 【分析】（1）整理方程为一般形式，再利用根的判别式的值的情况讨论即可． （2）当时，可得， 求解，再进一步分析求解即可． 【详解】（1）解：， 方程化为一般式：， ∴， ∴当时，该方程有两个不相等的实数根， 当时，该方程有两个相等的实数根； （2）解：当时，，方程有两个不相等的实数根， ∵， 解得：， ∵这两个根都是不大于的正整数， ∴，， 解得． 又∵这两个根都是正整数， 为的倍数， 的值为，，． 18．(1)， (2)证明：是勾系一元二次方程， ，   ， ， ， ∴关于的勾系一元二次方程必有实数根． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、公式法解一元二次方程 【分析】（1）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出，再解一元二次方程即可； （2）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出，然后利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是勾系一元二次方程，且，， ． ， （负舍），   ∴原方程为：．   ， ， ，． （2）略． 19．B 【知识点】多项式的项、项数或次数、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据题目给出的条件，逐个验证四个说法的正确性，按分类讨论计算各类整式的个数，即可得到结果． 【详解】解：验证①：∵是单项式， ∴仅非零，其余系数均为； ∴对，时，，不满足， ∴仅，，此时，为正整数，故，共个， 即满足条件的单项式有3个，①说法正确； 验证②：由，且， 故所有，即，条件变为，， 当时，，，此时，，， 若，则由可得，解得，满足条件的整数有4个； 若，则由可得，解得，满足条件的整数有3个； 若，则由可得，解得，满足条件的整数有3个； 即当时，满足条件的整式有个； 同理当时，满足条件的整式有个； 当时，满足条件的整式有个； 故总共有，②错误； 验证③：∵二次二项式， ∴，，恰好两个非零系数，则、中有一个为零， 若，则，矛盾，不合题意； 若，则，，设，则， 当时，，符合条件的共个； 当时，，，由可得，所有组合都符合，共个； 总共有个，③正确； 验证④：∵，，， ∴， ∵方程有实数解， ∴方程有实根， ∴判别式， 当时，，无实根，共个； 当，，令，，，由可得，， ∵， ∴， 代入整理得， 当，时，由和解得，符合条件的有个； 当，时，由和解得，符合条件的有个； 当，时，由和解得，符合条件的有个； 当，时，由和解得，符合条件的有个； 当，时，由和解得，符合条件的有个； 当，时，由解得，与矛盾； 当，时，由解得，与矛盾； ∴符合条件的共，故④错误． 综上，正确的说法共个． 20．(1)1 (2)证明见解析 (3)小红的计算结果不正确，理由见解析 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、归纳与类比、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）（2）设奇数为（为整数），展开平方后整理变形，根据整除的性质证明结论； （3）根据的奇偶性，分析判别式被除的余数，将2026除以得到余数，对比即可判断结果是否正确． 【详解】（1）解：奇数的平方被4除余数为1， 证明见（2）； （2）证明：整数为奇数时，设（其中为整数）， ， 是整数， 是整数， 能被整除， 被除所得余数为； （3）解：小红的计算结果不正确，理由如下： 由题意得，设整系数一元二次方程为（，a，b，c均为整数）， ∴， 当为偶数时，由题干可得，能被整除， ∵是的整数倍， ∴能被整除，即被除余数为； 当为奇数时，由（2）可知，被除余数为， ∵是的整数倍， ∴被除余数为， ∴任意整系数一元二次方程的判别式被除的余数只能是或， ，即2026被除余数为，不满足上述结论， 小红的计算结果不正确． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【2026 暑期预习・分层讲练】2026-2027 学年人教版九年级数学上册 第三课 公式法解一元二次方程（原卷）基础提升中考拓展三合一 一、基础题夯实 1．（2026·辽宁大连·二模）一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 2．（2026·甘肃白银·三模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河南三门峡·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 4．（2026·河南平顶山·三模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数的值：________．（写出一个即可） 5．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）解方程： (1) (2) 6．（2026·四川广元·三模）已知关于x的一元二次方程 的系数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则方程根的情况正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 7．（2026·河南平顶山·三模）当时，关于x的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 8．（2026·北京顺义·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·河南平顶山·三模）下列方程中，无实数根的是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是3，求m的值． 11．（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为3，求的值． 12．（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知整式． (1)化简； (2)若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 13．（25-26九年级上·广东清远·期末）小明在解方程时，解答过程如下： ． ．…第一步 ．…第二步 ．…第三步 ．…第四步 ，．…第五步 (1)解方程过程中，第二步变形的依据是 ； (2)请你用“公式法”解该方程． 14．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 二、中档题突破 15．（2026·上海松江·模拟预测）已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（     ） A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根： C．该方程一定有一个实数根为； D．该方程一定有一个实数根为． 16．（2026·四川成都·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 17．（25-26八年级下·安徽安庆·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)当时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于的正整数，求出满足条件的所有的值；若没有，请说明理由． 18．（2026·福建三明·模拟预测）对于一元二次方程（），若满足，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)当，，时，求相应的“勾系一元二次方程”的根； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 三、困难题探究 19．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）已知整式，其中，为正整数，，…，，为整数，且，，下列说法： ①满足条件的单项式有3个； ②当时，满足条件的整式有19个； ③满足条件的二次二项式有16个； ④当且时，满足方程有实数解，这样的有15个． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（2026·浙江台州·二模）【发现】 数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除． 证明过程如下：整数为偶数时，设（其中为整数）， ， 因为是整数， 所以能被4整除． 【类比】 探究奇数的平方被4除所得余数的情况． 小明通过举例发现： (1)奇数的平方被4除余数为__________． 证明过程如下：整数为奇数时，设（其中为整数）， …… (2)请补全证明过程． 【应用】 (3)小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．（注：整系数一元二次方程是指关于的方程，其中，，均为整数，且） 作业第1页，共2页 作业第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $