2025-2026学年高二下学期暑期数学夯实专项作业专题一：一元函数的导数及其应用

**基本信息** 以“命题透视-思维建模-知识精练”为框架，系统构建导数应用的方法体系，覆盖从图像分析到实际建模的知识逻辑链，培养数学思维与建模意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数几何意义|选择2/4、填空16|切线方程构建、公切线条件转化|导数定义→几何意义→切线方程推导| |单调性与极值|选择3/6/8、填空17|求导分析趋势、极值点判定|导数运算→单调性判断→极值最值求解| |综合应用|多选11/13、解答19/21|函数性质与导数综合、参数范围讨论|概念生成→性质推导→综合问题解决| |实际建模|选择4、填空18|物理运动模型、体积优化问题|实际问题→数学建模→导数工具应用|

专题一 一元函数的导数及其应用 高二暑期数学夯实专项作业 专题一 一元函数的导数及其应用 · 命题透视：结合函数图像，综合考查单调性 · 思维建模：求导分析趋势，搭建变化模型 · 知识精练：巧用导数运算，求解极值最值 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 2.已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 4．某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（    ）. A． B． C． D． 5．已知正实数a，b满足，则ab的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知不等式对任意的恒成立，则正数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8.已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 10.过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 11.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 12．若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（    ） A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增 C．， D．， 13. 已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（    ） A． B．是偶函数 C． D．在上是减函数 14．已知函数，则（     ） A．函数的图象关于原点中心对称 B．存在，使得 C．函数的图象与函数的图象没有公共点 D．函数极值点个数为3 三、填空题： 15．已知是函数的导函数，且，则________. 16．曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 17.已知函数没有极值点，则______． 18．某校开展阳光体育活动，羽毛球筒的盖子如图呈圆锥漏斗形状，已知圆锥的母线长是，它的值是固定的，该圆锥的高为，当盖子体积最大时，______． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．已知函数及点. (1)若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； (2)若过点与的图象相切的直线恰有条，求的值. 20.已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 21．已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $专题一 一元函数的导数及其应用 高二暑期数学夯实专项作业 专题一 一元函数的导数及其应用【解析】 · 命题透视：结合函数图像，综合考查单调性 · 思维建模：求导分析趋势，搭建变化模型 · 知识精练：巧用导数运算，求解极值最值 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，又因为，所以， 即，解得，故C正确. 故选：C. 2.已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，则单调递减，图像可知，， 若，则单调递增，由图像可知， 故不等式的解集为． 故选：C 3．定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数定义，两边取导数可得，据此求解即可. 【解析】因为定义在上的奇函数，所以， 两边取导数可得，即， 所以， 因为时，，所以时，， 所以. 故选：C. 4．某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求解即可得答案. 【解析】由题可得瞬时速度, 当位移时，可得，解得：,所以, 所以, 则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为， 故选：A 5．已知正实数a，b满足，则ab的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得到，构造函数，求导确定单调性即可求解. 【解析】对两边取自然对数，得， 即， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以方程的解只有一个， 又因为， 所以， 所以． 故选：D. 6．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即： ，即 ， 因为时，所以， 令，则只需（），， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值， 且，则. 则实数的取值范围是. 故选：B. 7．已知不等式对任意的恒成立，则正数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令，易知在单调递增， ，，，， 令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，故， 又，的取值范围. 故选：B. 8.已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得在上恒成立，且能取等， 即在上恒成立，且能取等， 令，则的最小值为0， 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，解得． 故选：C. 9．已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设切点坐标为. 由题意得， 所以函数的图像在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 则，由题意可知，这个方程有三个不等实根. 设，则， 由得，由得或. 所以函数在和上单调递减， 在上单调递增，又当趋近于正无穷时，趋近于； 当趋近于负无穷，趋近于正无穷，且， 所以的大致图象如图， 所以要使直线与函数的图象有三个交点， 则. 故选：C 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 10.过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】设曲线上一点， 因为，所以. 所以曲线在处切线的斜率为. 所以曲线在处切线方程为. 由切线过点，得， 整理得：. 由该方程无解，得， 即，解得. 故选：BC 11.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【解析】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 12．若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（    ） A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增 C．， D．， 【答案】BC 【分析】先根据切线斜率条件求导，由得，确定，再分析其零点、导数与单调性，结合函数在各区间的增减性，逐一判断选项． 【解析】，， 因为函数的图象在点处的切线的斜率为， 所以，解得， 所以，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 对于A，由，得，，A错误； 对于B，区间，即是， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，B正确； 对于C，当时，，所以， 因为在区间上单调递减，所以，C正确； 对于D，， ，所以恒成立， 即对所有成立，D错误． 故选：BC. 13. 已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（    ） A． B．是偶函数 C． D．在上是减函数 【答案】ACD 【分析】令判断A，令可判断B，令，所给等式两边取导数可判断C，对两边取导数，再令可求出，即可得出函数单调性判断D. 【解析】令，可得，故A正确； 令，可得，即，所以函数为奇函数，故B错误； 令，则，两边取导数可得， 即，故C正确； 由，对两边求导，， 令，可得，又，所以， 当时，，所以在上是减函数，故D正确. 故选：ACD. 14．已知函数，则（     ） A．函数的图象关于原点中心对称 B．存在，使得 C．函数的图象与函数的图象没有公共点 D．函数极值点个数为3 【答案】BC 【解析】对于A：定义域为，且， 故是偶函数，图象关于轴对称，不关于原点中心对称，A错误； 对于B：令，因为， ， 由零点存在性定理，，使得，即，B正确； 对于C：假设与有公共点，则，整理得， 即， 由于，且，故等式恒不成立，方程无实根， 即两个图象没有公共点，C正确； 对于D：分母恒正， 导函数零点由分子决定，是一个根； 对任意正整数，在区间内，都存在一个零点， 结合奇函数性质，也对应无穷多个零点，故的极值点有无穷多个，不是3个，D错误. 故选：BC. 三、填空题： 15．已知是函数的导函数，且，则________. 【答案】 【解析】因为，所以， 则，故， 所以，故. 故答案为：. 16．曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 【答案】 【解析】，. 设曲线与曲线在点处有公切线， 所以，即，解得，. 所以，正数的值为5. 故答案为：5. 17.已知函数没有极值点，则______． 【答案】1 【详解】函数的定义域为且函数没有极值点，即函数是单调函数， 所以函数至多有一个零点， 令，则或或， ∴，即， ∴. 故答案为：1. 18．某校开展阳光体育活动，羽毛球筒的盖子如图呈圆锥漏斗形状，已知圆锥的母线长是，它的值是固定的，该圆锥的高为，当盖子体积最大时，______． 【答案】 【解析】已知圆锥的母线长是，高为， 由题意可知，所以，其中是圆锥底面圆的半径， 则圆锥体积，对求导得， 令，即，解得，即， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此在时取极大值，也是最大值， 因此当盖子体积最大时，. 故答案为：. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．已知函数及点. (1)若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； (2)若过点与的图象相切的直线恰有条，求的值. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）因为点在的图象上，所以， 又，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设过点的直线与的图象切于点， 则切线的斜率， 所以的方程为， 将点的坐标代入得， 因为过点与的图象相切的直线恰有条， 所以关于的方程有两个不等的实根. 设，则， 令，得，或；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 的极大值为,的极小值为, 因为方程有两个不等实根，则，或， 即的值为或. 20.已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围； （2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围. 【解析】（1）由题意，， 在与中，，解得， ∴， ∵， ∴，解得或或 ∴不等式的解集为. （2）由题意及（1）得，， 在中，，∴ ∵直线为在点的切线， ∴直线的方程为：，即， ∵是过点且垂直于的直线， ∴直线的方程为：，即， 在中，，与、在第一象限内均无公共点， ∴与无正实数解， 分离参数得，，， ∴直线与与曲线在内均无交点， 而， 当时，解得（舍）或， ∴当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取最小值，， 当时，，当时，， ∴且，即或， ∴实数的取值范围为. 21．已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 【解析】（1）当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，无极小值. （2）由得：， ，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，在上单调递减， 此时的最小值为； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减； ，，， 当时，，此时； 当时，，此时； ③当，即时，在上单调递增， 此时的最小值为； 综上所述：当时，在上单调递减，最小值是； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 此时若，最小值为；若，最小值为； 当时，在上单调递增，最小值是. 学科网（北京）股份有限公司 $