2025-2026学年高二下学期暑期数学夯实专项作业专题四：成对数据的统计分析

**基本信息** 以“命题透视-思维建模-知识精练”为框架，系统覆盖相关关系分析、回归模型构建及统计推断，强化用数学眼光观察数据规律、用数学思维构建模型的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相关关系识别|选择1-3、填空14|散点图直观判断、相关系数定量分析|从定性观察（散点图）到定量刻画（相关系数），构建“数据-关系-模型”认知链| |回归模型应用|选择4-8、填空15、解答18|最小二乘法参数估计、非线性回归线性化|以线性回归为基础，拓展至非线性模型转化，形成“建模-估计-预测”完整流程| |统计推断与检验|选择9、多选10-13、解答17、19|独立性检验步骤、列联表分析|从样本频率估计概率到独立性检验，培养基于数据的理性思维与数学表达能力|

专题四 成对数据的统计分析 高二暑期数学夯实专项作业 专题四 成对数据的统计分析【解析】 · 命题透视：依托两组数据，考查相关关系 · 思维建模：绘制散点图形，构建回归模型 · 知识精练：计算相关系数，预判变化趋势 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.某校数学建模兴趣小组为研究本地区儿子身高与父亲身高之间的关系，抽样调查后得出与线性相关，且经验回归方程为.调查所得的部分样本数据如下： 父亲身高 164 166 170 173 173 174 180 儿子身高 165 168 176 170 172 176 178 则下列说法正确的是（    ） A．儿子身高是关于父亲身高的函数 B．当父亲身高增加时，儿子身高增加 C．儿子身高为时，父亲身高一定为 D．父亲身高为时，儿子身高的均值为 【答案】D 【解析】由题意知父亲身高与儿子身高具有线性相关关系，不是函数关系，故A不正确； 当父亲身高增加时，儿子身高约增加，故B不正确； 当儿子身高为时，代入可得，父亲身高可能为，故C不正确； 若某父亲身高为，则其儿子的身高估计为，故D正确． 故选：D． 2．已知变量，之间的一组相关数据如下表所示： 6 8 10 12 6 3 2 据此得到变量，之间的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） A． 变量，之间成负相关关系 B．可以预测，当时， C． D．该回归直线必过点 【答案】C 【解析】对于A中，由，可得变量之间呈现负相关关系，所以A正确； 对于B中，当，可得，所以B正确； 对于C中，由表格中的数据，可得， 则，解得，所以C不正确； 对于D中，由，可得，所以该回归直线必经过点，所以D正确. 故选：C. 3．已知变量x和y满足经验回归方程，且变量x和y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（    ） 6 8 10 12 7 4 3 A． 变量x和y呈负相关 B．当时， C． D．该经验回归直线必过点 【答案】C 【解析】对A：由可得，故变量x和y呈负相关，故A正确； 对B：当时，，故B正确； 对C：由表可得，， 故，解得，故C错误； 对D：由，，故D正确. 故选：C. 4.下列说法中，正确命题的个数为（    ） ① 已知随机变量服从二项分布，若，则. ②对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. ③以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则、的值分别是和. ④若样本数据的方差为，则数据:的方差为16 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解析】对于①：因为服从二项分布，所以， 所以，解得，故①正确； 对于②：因为线性回归直线必过样本中心点，所以，可得，故②正确； 对于③：由两边取对数可得， 令，求得线性回归方程为，所以，，则，，故③正确； 对于④：若样本数据的方差为，则数据的方差为， 故④错误； 故正确的为①②③共个. 故选：D 5．下列说法正确的是（    ） A．若数据，，…，的方差为1，则数据，，…，的标准差为4 B．已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6 C．一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多 D．经验回归直线恒过，且在回归直线上的样本点越多，拟合效果越好 【答案】C 【解析】对于A项，若数据的方差为1，则数据的方差为，标准差为2， 故A项错误； 对于B项，由于，则该组数据的第40百分位数是第4个数据，为7，故B项错误； 对于C项，由于频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，故C项正确； 对于D项，应是偏差平方和越小，拟合效果越好，故D项错误； 故选：C 6．下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（    ） 第个月 1 2 3 繁殖数量 A． 百只 B．百只 C．百只 D．百只 【答案】B 【解析】由两边取自然对数得，令， 则，即与呈线性相关关系， ，， 回归直线必过样本点的中心，，解得， ，则，当时，． 故选：B 7.下列说法不正确的是（    ）． A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 【答案】A 【解析】对A：因为，所以第百分位数为,A错误； 对B：若随机变量服从正态分布，且， 则，则，B正确； 对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确； 对于D，样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确. 故选：A 8．已知变量 和 有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为 ，则（    ） 2 3 5 6 5 7 9 15 A． 经验回归直线必过点 B． C．对应的样本点的残差为 D．当时，预测值 【答案】D 【分析】先求即可判断A，由即可判断B，求出的残差即可判断C，由回归方程求出即可判断D. 【解析】由题意得：， 所以经验回归直线必过点，故A错误； 由，故B错误； 所以，当时，， 所以对应的样本点的残差为，故C错误； 当时，，故D正确. 故选：D. 9．某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲 15 52 乙 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得．则下列说法错误的是：（    ） A．以频率估计概率，有 B．以频率估计概率，有 C．若取，可以认为疗效与疗法独立 D．若取，可以认为疗效与疗法独立 【答案】C 【分析】先由题设求出表格中各行各列总数，再由古典概型即可计算求解判断AB；再由独立性检验思想即可分析判断CD. 【解析】由题设求出表格 疗法 疗 效 总数 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 总数 21 115 136 以频率估计概率，有，故A正确； 以频率估计概率，有，故B正确； 零假设：认为疗效与疗法独立，由题且， 所以若取小概率值，则零假设不成立，即不可以认为疗效与疗法独立； 若取小概率值，则没有充分的证据推翻零假设， 故可以认为疗效与疗法独立，故C错误，D正确. 故选：C. 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 10.下列命题正确的是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 B．设，若，，则 C．线性回归直线一定经过样本点的中心 D．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且 【答案】ABC 【解析】A：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确； B：由，得，解得，故B正确； C：线性回归直线一定经过样本点的中心，故C正确； D：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本， 所以由超几何分布的定义知服从超几何分布，得，故D错误； 故选：ABC. 11. 下列说法中正确的是（    ） A．一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱 C．数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第百分位数为79 D．已知随机变量，且，则的最小值为3 【答案】ACD 【解析】A.设原样本数据为，其平均数， 新样本数据为，其平均数，平均数不变. 原样本数据方差， 新样本数据方差，方差变小，选项A正确. B.在成对样本数据中，样本相关系数， 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 比如和，，时线性相关程度更强，选项B错误. C.除外，其他数据的最大值为80，最小值为41，， 因为，所以，故， 将数据从小到大排列为：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，81， 共11个数据， 因为，所以这组数据的第百分位数为第9个数，为79，选项C正确. D. 因为随机变量，且， 根据正态分布曲线关于直线对称可得，解得， 所以， 由得，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 选项D正确. 故选：ACD. 12．某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下： 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 常规培养法 合计 参考公式：，其中． 附：下列表述正确的是（    ） A．， B．零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异 D．常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 【答案】AC 【解析】对于A，根据表格数据可知：，，A正确； 对于B，为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异， 零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法无差异，B错误； 对于C，由题意得， 零假设不成立，依据小概率值的独立性检验， 认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异，C正确； 对于D，由表格数据知，常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为，D错误. 故选：AC. 13．某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将120名高血压患者按年龄分为“中青年组（<60岁）”和“老年组（岁）”，记录用药后的疗效（“有效”“无效”），得到如下列联表： 患者 疗效 总计 有效 无效 中青年组 10 40 50 老年组 40 30 70 总计 50 70 120 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 则下列说法中正确的有（    ） A．若在“老年组”中按疗效分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，则至少抽到1名“无效”患者的概率为 B．从所有患者中随机抽取1人，设事件“该人在中青年组”，事件“该药对此人有效”，则事件A与B相互独立 C．根据小概率值的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过 D．若将列联表中“中青年组有效”的人数改为15，“中青年组无效”的人数改为35，则所得值比原值大 【答案】AC 【分析】选项A，用分层抽样先确定抽出的“有效”和“无效”人数，再做组合概率；选项B，用独立事件定义检验是否等于；选项C，计算列联表的值，与临界值比较；选项D分别计算修改前后的值大小. 【解析】选项A，老年组中有效与无效的人数比为 按疗效分层抽样抽取7人，则应抽到：4人有效，3人无效， 再从这 7 人中随机抽取 2 人，至少抽到 1 名无效患者的概率为所以 A 正确； 选项B，设事件：表示“该人在中青年组”，事件：表示“该药对此人有效”， 则而 若相互独立，则应有 显然所以事件与不相互独立，B 错误； 选项C，由题中列联表， 所以 即 因为所以根据小概率值的独立性检验， 可以认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过，所以C正确； 选项D，若将“中青年组有效”改为 15，“中青年组无效”改为 35， 则新列联表中 此时 即，而原来的 所以修改后的值比原来的小，D 错误. 故选：AC. 三、填空题： 14．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下5个模拟函数：①；②；③；④；⑤，请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选 (填序号). 【答案】④ 【解析】根据表中数据，画出图象如下： 通过图象可看出，能比较近似的反映这些数据的规律． 故答案为：④． 15.某地新开了一条夜市街，每晚最多能接纳10万人.主办公司计划通过广告宣传提高客流量.通过调研，发现投入的广告费x与每晚客流量y存在如下关系： x/万元 1 2 3 4 5 y/千人 5 6 8.1 9 14.5 附，，，， 令，，，. 现用曲线拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，的最小二乘估计，依所求回归方程C为预测依据，则下列4个选项中，正确的序号是 . (1)曲线C经过点 (2) (3)若投入广告费9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力 (4)广告费每增加1万元，每晚客流量增加3000人 【答案】（2）（3） 【解析】由题可知，令，，， ， 所以， ，故（2）正确； 所以， 令，， 所以曲线C不经过点，故（1）错误； 当时，千人， 所以若投入广告费9万元，则每晚客流量为万人， 因为每晚最多能接纳10万人，所以会超过夜市接纳能力，故（3）正确； 由可知，当时，， 所以当广告费从5万元增加到6万元，客流量增加千人，故（4）错误. 故答案：（2）（3）. 16．设为方程的任意一组正整数解，分别为的平均数和中位数，记所有正整数解对应的值的算术平均数为，某班的数学老师方老师拟对全班35名学生进行奖励，取的几何平均值作为金额数给每个学生买同样的一件小礼品，则方老师需要付出的总金额数约为 ．（注：，结果保留一位小数） 【答案】 【解析】由于，所以； 方程的正整数解总数可理解为：将个分成组，需要个隔板， 则正整数解的组数为组， 不妨设这个数由小到大分别为,即则这三个数的 中位数为， 当时，则，，排列以后对应的组数为； 当时，则，，或，，排列以后对应的组数为； 当时，则，，或，，或，，排列以后对应的组数为； 当时，则，，排列以后对应的组数为； 故其中中位数为1，2，3，4的分别有3，9，13，3组， 所以，所以， 所以方老师需要付出的总金额数约为． 故答案为： 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 (1)根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； (2)用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关 (2) 【分析】（1）计算出卡方，并与临界值比较大小，结合独立性检验思想分析判断即可. （2）利用二项分布的概率公式计算即可求解. 【解析】（1）零假设：学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关. （2）使用发射白光的台灯的学生患近视的概率为， 记近视人数为，显然该类学生近视情况服从二项分布， 可得. 18.设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：（）与（天）之间近似满足关系式，其中，均为常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：令，，，，． 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 【答案】(1)，，； (2) 0 1 2 3 【分析】（1）令，则，求出，，计算， 由回归直线过点，求出，从而得到关于的回归方程. （2）求出的取值，求出的取值的概率， 列出的分布列，根据分布列求出随机变量的期望值. 【解析】（1）令，则， 因为，所以， 因为，所以，    ，， 通过上表计算可得：，    因为回归直线过点，所以， 则 关于的回归方程， 又， 故关于的回归方程； （2）（2）7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天， 从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天， 所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3， ；； ；.     所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的期望值. 19．某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组：，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图． (1)现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”．把随机抽取的参赛学生数据统计如下，将下列列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关． 科技知识达人 非科技知识达人 合计 附：（其中）． 男生 15 女生 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 合计 (2) 将频率视为概率，从所有参赛学生中随机抽取3人进行访谈，记这3人中是“科技知识达人”的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1)有的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关； (2) 的分布列为： 0 1 2 3 ． 【解析】（1）列联表补充完整如下： 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 35 50 女生 5 45 50 合计 20 80 100 零假设：能否获得“科技知识达人”称号与性别无关， 则， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即有的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关； （2）从所有参赛学生中任取一人是“科技知识达人”的概率， 由题意可知：，的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $专题四 成对数据的统计分析 高二暑期数学夯实专项作业 专题四 成对数据的统计分析 · 命题透视：依托两组数据，考查相关关系 · 思维建模：绘制散点图形，构建回归模型 · 知识精练：计算相关系数，预判变化趋势 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.某校数学建模兴趣小组为研究本地区儿子身高与父亲身高之间的关系，抽样调查后得出与线性相关，且经验回归方程为.调查所得的部分样本数据如下： 父亲身高 164 166 170 173 173 174 180 儿子身高 165 168 176 170 172 176 178 则下列说法正确的是（    ） A．儿子身高是关于父亲身高的函数 B．当父亲身高增加时，儿子身高增加 C．儿子身高为时，父亲身高一定为 D．父亲身高为时，儿子身高的均值为 2．已知变量，之间的一组相关数据如下表所示： 6 8 10 12 6 3 2 据此得到变量，之间的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） A． 变量，之间成负相关关系 B．可以预测，当时， C． D．该回归直线必过点 3．已知变量x和y满足经验回归方程，且变量x和y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（    ） 6 8 10 12 7 4 3 A． 变量x和y呈负相关 B．当时， C． D．该经验回归直线必过点 4.下列说法中，正确命题的个数为（    ） ① 已知随机变量服从二项分布，若，则. ②对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. ③以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则、的值分别是和. ④若样本数据的方差为，则数据:的方差为16 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．下列说法正确的是（    ） A．若数据，，…，的方差为1，则数据，，…，的标准差为4 B．已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6 C．一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多 D．经验回归直线恒过，且在回归直线上的样本点越多，拟合效果越好 6．下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（    ） 第个月 1 2 3 繁殖数量 A． 百只 B．百只 C．百只 D．百只 7.下列说法不正确的是（    ）． A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 8．已知变量 和 有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为 ，则（    ） 2 3 5 6 5 7 9 15 A． 经验回归直线必过点 B． C．对应的样本点的残差为 D．当时，预测值 9．某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲 15 52 乙 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得．则下列说法错误的是：（    ） A．以频率估计概率，有 B．以频率估计概率，有 C．若取，可以认为疗效与疗法独立 D．若取，可以认为疗效与疗法独立 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 10.下列命题正确的是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 B．设，若，，则 C．线性回归直线一定经过样本点的中心 D．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且 11. 下列说法中正确的是（    ） A．一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱 C．数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第百分位数为79 D．已知随机变量，且，则的最小值为3 12．某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下： 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 常规培养法 合计 参考公式：，其中． 附：下列表述正确的是（    ） A．， B．零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异 D．常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 13．某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将120名高血压患者按年龄分为“中青年组（<60岁）”和“老年组（岁）”，记录用药后的疗效（“有效”“无效”），得到如下列联表： 患者 疗效 总计 有效 无效 中青年组 10 40 50 老年组 40 30 70 总计 50 70 120 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 则下列说法中正确的有（    ） A．若在“老年组”中按疗效分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，则至少抽到1名“无效”患者的概率为 B．从所有患者中随机抽取1人，设事件“该人在中青年组”，事件“该药对此人有效”，则事件A与B相互独立 C．根据小概率值的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过 D．若将列联表中“中青年组有效”的人数改为15，“中青年组无效”的人数改为35，则所得值比原值大 三、填空题： 14．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下5个模拟函数：①；②；③；④；⑤，请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选 (填序号). 15.某地新开了一条夜市街，每晚最多能接纳10万人.主办公司计划通过广告宣传提高客流量.通过调研，发现投入的广告费x与每晚客流量y存在如下关系： x/万元 1 2 3 4 5 y/千人 5 6 8.1 9 14.5 附，，，， 令，，，. 现用曲线拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，的最小二乘估计，依所求回归方程C为预测依据，则下列4个选项中，正确的序号是 . (1)曲线C经过点 (2) (3)若投入广告费9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力 (4)广告费每增加1万元，每晚客流量增加3000人 16．设为方程的任意一组正整数解，分别为的平均数和中位数，记所有正整数解对应的值的算术平均数为，某班的数学老师方老师拟对全班35名学生进行奖励，取的几何平均值作为金额数给每个学生买同样的一件小礼品，则方老师需要付出的总金额数约为 ．（注：，结果保留一位小数） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 (1)根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； (2)用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 18.设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：（）与（天）之间近似满足关系式，其中，均为常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：令，，，，． 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 19．某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组：，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图． (1)现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”．把随机抽取的参赛学生数据统计如下，将下列列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关． 科技知识达人 非科技知识达人 合计 附：（其中）． 男生 15 女生 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 合计 (2) 将频率视为概率，从所有参赛学生中随机抽取3人进行访谈，记这3人中是“科技知识达人”的人数为，求的分布列与数学期望． 学科网（北京）股份有限公司 $