暑假作业11 重难专题05：利用导数解决不等式问题(含比较大小、证明不等式、不等式恒成立或有解）（巩固培优,3知识7题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 聚焦导数解决不等式问题，构建“策略-构造-应用”三阶方法体系，逻辑递进覆盖恒成立、双变量等核心题型，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式恒（能）成立|2策略+5题|分离参数法、分类讨论法|从单变量最值到参数范围，建立“恒成立⇔最值”逻辑链| |双变量问题|4类转化+6题|∀∀/∀∃/∃∃等量词转化|通过值域关系深化多变量问题等价处理| |函数构造|3类形式+多题|eⁿˣf(x)、xⁿf(x)等模型|基于导数结构特征构建辅助函数，强化数学语言表达| |比较大小/证明不等式|5+11题|构造函数比大小、放缩法|从基础比较到数列型证明，实现方法迁移与综合应用|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业11 重难专题05：利用导数解决不等式问题（含比较大小、证明不等式、不等式恒成立或有解） 【知识点1 不等式恒（能）成立问题求解策略】 1.分离参数法 (1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 2.a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min； a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 2．分类讨论法 对于不适合分离参数的不等式，常常把参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究函数单调性、最值，从而得出参数范围. 【知识点2 双变量恒（能）成立问题求解策略】 “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，可按如下规则转化：一般地，已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]，y＝g(x)，x∈[c，d]， 1.若∀x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，总有f(x1)＜g(x2)成立，故f(x)max＜g(x)min. 2.若∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)＜g(x2)成立，故f(x)max＜g(x)max. 3.若∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)＜g(x2)成立，故f(x)min＜g(x)max. 4.若∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)，则f(x)的值域是g(x)的值域的子集. 【知识点3 函数的构造】 1. 出现f'(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；出现f'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 2.出现nf(x)＋xf'(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；出现xf'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 3.函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式： (1)若F(x)＝f(x)sin x，则F'(x)＝f'(x)sin x＋f(x)cos x； (2)若F(x)＝，则F'(x)＝； (3)若F(x)＝f(x)cos x，则F'(x)＝f'(x)cos x－f(x)sin x； (4)若F(x)＝，则F'(x)＝. 【题型1 比较大小】 1．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南周口·期末）已知定义在上的函数满足，则下列各式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·四川成都·期中）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型2 解不等式】 1．（25-26高二上·山西长治·期末）已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·四川南充·期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南京·三模）已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·天津·期末）已知，，且，则实数的取值范围是__． 6．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________． 【题型3 不等式恒成立问题】 1．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）若当时，，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3．（2026·宁夏吴忠·三模）已知函数. (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围. 4．（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）设函数在及时取得极值． (1)求出的值； (2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 5．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数， (1)若函数在点处的切线与直线互相垂直，求实数的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【题型4 不等式有解问题】 1．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．若在上有解，则当实数取最小值时，的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 3．（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 4．（25-26高二下·河北张家口·阶段检测）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 5．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； 【题型5 证明非数列型不等式】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知，证明：． 2．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线斜率； (2)当时，求证：． 3．（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 4．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知函数 (1)求出的极值点，零点，并画出的大致图象； (2)证明：. 5．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：. 6．（25-26高二下·山西朔州·阶段检测）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若是函数的极值点，求证：． 【题型6 证明数列型不等式】 1．（24-25高二上·河南商丘·期末）已知函数， (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)求证：  . 2．（2025·陕西咸阳·三模）已知关于的函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：当时， 3．（25-26高二下·四川南充·期中）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)求证： 【题型7 双变量不等式问题】 1．（25-26高二下·福建漳州·期中）已知函数，当时，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_________． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 5．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数. (1)证明：； (2)若对任意的，，都有恒成立，求的取值范围. 6．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在上单调递增，求实数 的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数 的取值范围． 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京西城·阶段检测）若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江西抚州·期中）已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 5．（2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽·三模）已知函数的极小值点为3，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D．    7．（多选）（25-26高二下·江西上饶·阶段检测）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A．是的极值点 B．是的极大值点 C．的单调递减区间是 D． 8．（多选）（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知函数，，则（   ） A．曲线过定点 B．有2个极值点 C．在区间上单调递减 D． 9．（25-26高二下·天津蓟州·期中）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为______． 10．（25-26高一下·北京·期中）已知函数，若对于任意，都有，则实数取值范围是______. 11．（25-26高二下·河北衡水·期末）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则，，的大小关系是________． 12．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知，函数，（是自然对数的底数）． (1)讨论函数极值点的个数； (2)若对任意的恒成立，求实数的值； (3)在第（2）小题的条件下，若存在，使得，求实数的取值范围． 13．（2026·江苏·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. (1)求的极值； (2)证明：. 14．（2026·山东滨州·二模）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 15．（25-26高二下·广东·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：对于任意正整数，都有． 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式，在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）设函数，给定下列命题，则下列选项正确的是（   ） A．函数的最小值为 B．不等式的解集为 C．函数在单调递增，在单调递减 D．若恒成立，则实数 4．已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是 ． 5．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知函数 (1)当时，求f（x）的单调区间； (2)当时，设为的从小到大的第个极值点， （i）证明：数列是等差数列； （ii）若证明： 6．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，定义迭代序列，证明：； (3)若近似解与真实根的误差小于，求最少迭代次数. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业11 重难专题05：利用导数解决不等式问题（含比较大小、证明不等式、不等式恒成立或有解） 【知识点1 不等式恒（能）成立问题求解策略】 1.分离参数法 (1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 2.a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min； a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 2．分类讨论法 对于不适合分离参数的不等式，常常把参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究函数单调性、最值，从而得出参数范围. 【知识点2 双变量恒（能）成立问题求解策略】 “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，可按如下规则转化：一般地，已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]，y＝g(x)，x∈[c，d]， 1.若∀x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，总有f(x1)＜g(x2)成立，故f(x)max＜g(x)min. 2.若∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)＜g(x2)成立，故f(x)max＜g(x)max. 3.若∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)＜g(x2)成立，故f(x)min＜g(x)max. 4.若∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)，则f(x)的值域是g(x)的值域的子集. 【知识点3 函数的构造】 1. 出现f'(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；出现f'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 2.出现nf(x)＋xf'(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；出现xf'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 3.函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式： (1)若F(x)＝f(x)sin x，则F'(x)＝f'(x)sin x＋f(x)cos x； (2)若F(x)＝，则F'(x)＝； (3)若F(x)＝f(x)cos x，则F'(x)＝f'(x)cos x－f(x)sin x； (4)若F(x)＝，则F'(x)＝. 【题型1 比较大小】 1．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在某点处的导数即过该点处的切线的斜率， 由图知，. 2．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，构造辅助函数，对求导得， 因为恒成立，且，因此，即是上的单调递增函数. 由，得. 选项A： 因为单调递增，故，即，整理得，A错误； 选项B： 因为单调递增，故，即，得，B错误； 选项C： 因为单调递增，故，即，整理得，C错误； 选项D： 因为单调递增，得，即. 因为，所以成立，故 D 正确. 3．（25-26高二下·河南周口·期末）已知定义在上的函数满足，则下列各式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，， 则， 又， 则，即在上单调递增， 所以，即，即． 4．（25-26高二下·四川成都·期中）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设函数，则，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 而，，， 又因为，且在上单调递减，所以， 即. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可知， 设，则， 因为在上都是减函数，所以也是减函数， 当时，， 所以在上单调递减，可得 ， ，所以． 【题型2 解不等式】 1．（25-26高二上·山西长治·期末）已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据的图象可知在上的单调递增区间是， 所以不等式的解集为． 故选：C 2．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，， 则当时，单调递增， ，即，又， ，解得． 3．（25-26高二下·四川南充·期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，可得， 因为，可得，所以在单调递减， 又因为，可得， 则不等式，即，可得， 即，所以，即不等式的解集为. 4．（2026·江苏南京·三模）已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 分情况讨论不等式的解： 当时，，不等式， 与前提矛盾，故此时不等式无解； 当时，，对其求导得. 当时，，即在上单调递增. 又， 因此. 综上，的解为. 将代入得，解得，即. 5．（25-26高二下·天津·期末）已知，，且，则实数的取值范围是__． 【答案】 【解析】根据题意，，其导数， 又由，则必有， 即函数在上为减函数， 若，必有， 解得，即的取值范围为． 6．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】设，则. 因为， 所以，即在上单调递减. 又， 则， 即不等式的解集. 【题型3 不等式恒成立问题】 1．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式可整理为， 设函数， 令，解得：，，解得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 则实数的取值范围是. 2．（2025高三·全国·专题练习）若当时，，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，，则可转化为，即， 令，则， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 故， 所以，解得， 则的取值范围是， 故选：C． 3．（2026·宁夏吴忠·三模）已知函数. (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）当时，，， 设点的坐标，由题意得：，解得：， 所以，因此点的坐标为. （2）， 令，则， 因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 即：a的取值范围是. 4．（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）设函数在及时取得极值． (1)求出的值； (2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）对函数求导可得， 因为在和处取得极值，所以是方程的两个根， 由韦达定理：,解得. 将代入导函数得：， 当时，当时，当时， 和处导数值变号，故为极值点，所以. （2）由，得，, 时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增，，，， 因此在上的最小值为. 任意都满足，等价于最小值大于， 即：，解得：，所以的取值范围是. 5．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数， (1)若函数在点处的切线与直线互相垂直，求实数的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) . 【解析】（1）函数的定义域为， 所以， 得，由，解得. （2）由题意得，在上恒成立. ①当时，不等式可化为， 令，则， 当时， . 所以函数在上单调递增. 所以在处取得最小值 ， 故实数的取值范围. ②当 时，由得， 此时，不符合题意. 综上，的取值范围为 . 【题型4 不等式有解问题】 1．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是. 故选：A 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．若在上有解，则当实数取最小值时，的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为在上有解，所以在上有解， 化简得．因为， 即在）上有解． 因为，设，则在上有解， 因为， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以的最小值为，此时， 当且仅当，即时，有最大值0. 故选:C． 3．（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1），，， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）由（1）知， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 又在上有解，所以. 4．（25-26高二下·河北张家口·阶段检测）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． （2）由有解，可得有解． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故的取值范围为． 5．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减． (2) 【解析】（1）因为，所以， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． （2）若存在，使得， 即存在，使得成立， 因为时，，故存在，使得， 令，其中， 则， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故， 所以实数的取值范围为：. 【题型5 证明非数列型不等式】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知，证明：． 【答案】证明见解析 【解析】令，则， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以． 所以，命题得证． 2．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线斜率； (2)当时，求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【解析】（1）由，可得， 所以切线斜率为． （2）令， 则， 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以当时，，即当时，． 3．（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）定义域为，，，又， 在处的切线方程为. （2）令， 则，在上单调递减， ，即当时， 4．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知函数 (1)求出的极值点，零点，并画出的大致图象； (2)证明：. 【答案】(1)极小值点，无极大值，零点为1，图象见解析； (2)证明见解析 【解析】（1）由，则，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值点为，无极大值； 又，，，，， 所以函数的零点为1. （2）令，则， 当时，，即单调递减， 当时 ，，即单调递增， 所以，即， 所以，得证. 5．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由题，，所以切线斜率为. 因为切点为， 所以切线方程为，即. （2）证明：令，则， 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以当时，，即当时，. 6．（25-26高二下·山西朔州·阶段检测）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若是函数的极值点，求证：． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2)； (3)见解析 【解析】（1）由函数，可得其定义域为， 求导得，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由，其中 可得，即， 由对任意恒成立，即在恒成立， 令，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为. （3）证明：由， 可得， 令，可得在上恒成立， 所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增， 因为是的极值点，所以存在使得，即， 又由，所以， 则， 所以. 【题型6 证明数列型不等式】 1．（24-25高二上·河南商丘·期末）已知函数， (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)求证：  . 【解析】（1） 因为对任意的恒成立， 设 ，所以在恒成立， 设， 在恒成立，所以在上为增函数， 所以在恒成立，所以函数为增函数； 所以，所以的取值范围为. （2）（2）由（1）知，令，， ∴当时，，且当且仅当时 令，则 即，， ，，， 2．（2025·陕西咸阳·三模）已知关于的函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：当时， 【解析】（1）由得 知当时在上单调递减 当时， 当时在上单调递增， 当时在上单调递减. （2）由（1）知时在上单调递减，在上单调递增， ，即有， ， 以上各式相加得， 3．（25-26高二下·四川南充·期中）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)求证： 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）当时， ，又，故曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为 当，即时，，函数在单调递减 当，即时， 若，令，得， 于是函数在和单调递减，在单调递增； 若，令，得（舍）. 函数在上单调递增，在单调递减. 综上，当时，在上单调递减 当时，在和上单调递减， 在上单调递增. 当时，在上单调递增，在单调递减． （3）（3）由（2）知，当时，函数在上单调递减， 所以当时， 即，所以 将代入上式， 可得，即 分别取， 于是． 将上述个式子左右分别相加， 可得 . 【题型7 双变量不等式问题】 1．（25-26高二下·福建漳州·期中）已知函数，当时，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，即， 所以函数在单调递增，所以在上恒成立， 则在上恒成立，所以在上恒成立， 又，所以. 2．（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，令得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以时，单调递增，即， 而时，， 由题意可知，所以，即. 故选：A 3．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】由题意，函数在上单调递增，所以在上恒成立， 因为，要使对任意恒成立，则对任意恒成立， 记，易知在上为减函数，所以，因此， 综上，实数的取值范围是． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】， 又，，则， 即对于，，且时，恒成立， 所以函数在上单调递减， 因，则在上恒成立， 即在上恒成立，又， 所以，所以实数的取值范围为 5．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数. (1)证明：； (2)若对任意的，，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）函数的定义域为，， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， （2）因为， 所以， 令， 所以对任意的，，都有恒成立等价于在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以恒成立， 又当时，的最大值为， 所以. 6．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在上单调递增，求实数 的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数 的取值范围． 【答案】(1)极小值0，无极大值 (2) (3) 【解析】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增． 因为时，，所以在上单调递减． 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得， 由在单调递增，得在上恒成立， 即在上恒成立， 因此，． 设，，， 则在上单调递增，于是， 即， 所以的取值范围为． （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，． 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得． 由，得，函数在上单调递减， 则． 因此，解得， 所以 的取值范围为． 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因不等式有解，则，得， 则实数m的取值范围为. 故选：C 2．（25-26高三上·北京西城·阶段检测）若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为函数总在直线的上方， 所以在上恒成立. 因为， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以， 由. 故选：C 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，，， 令，有， 当时，，则在上单调递减. 因为，所以，即. 4．（25-26高二下·江西抚州·期中）已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，或，即或. 由图可得，当或时，单调递增，则；当时，单调递减，则； 由，解得；由，解得. 不等式的解集为. 5．（2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵对数函数定义域上单调递增，且，所以， ， 令函数，，且， 则导数，当时，，函数单调递减， ∴，即， ∴. 6．（2026·安徽·三模）已知函数的极小值点为3，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 令，解得或， 当时，， 此时当时，；当时，； 当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取极小值，不满足题意； 当时，， 函数在R上单调递增，不存在极小值，不满足题意； 当时，， 当时，；当时，； 当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且函数的极小值点为3，所以， 所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，    所以的解集为. 7．（多选）（25-26高二下·江西上饶·阶段检测）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A．是的极值点 B．是的极大值点 C．的单调递减区间是 D． 【答案】AD 【解析】由导函数图象可知， 当或时，，当时，， 所以函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为，选项C正确； 是的极大值点，选项B正确； 在的左右两边导数符号不变， 所以不是的极值点，选项A错误； 在上单调递增，所以，选项D错误. 8．（多选）（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知函数，，则（   ） A．曲线过定点 B．有2个极值点 C．在区间上单调递减 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，当时，参数取任意实数时，都有，可得曲线过定点；对于选项B与选项C，通过求导，讨论导函数的零点分布即可判断；对于D，由函数的单调性即可判断. 【解析】对于A，由，可知曲线过定点，故A正确； 对于B，C,由求导得，因, 由，可得或；由，可得, 故在和上单调递增；在上单调递减， 所以有2个极值点，故B正确，C错误； 对于D，因为在上单调递增，所以由，得，故D正确. 9．（25-26高二下·天津蓟州·期中）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】由图象得在和上单调递增，在上单调递减， 即当时，当时， 即当时，解得， 当时，解得， 综上可得不等式的解集为. 10．（25-26高一下·北京·期中）已知函数，若对于任意，都有，则实数取值范围是______. 【答案】 【解析】函数的定义域为，， 由题意可知，对于任意，都有， 则函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，即恒成立， 由幂函数性质可知，当时，，所以， 故实数取值范围是. 11．（25-26高二下·河北衡水·期末）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则，，的大小关系是________． 【答案】 【解析】构造函数，其中，则． 因为，所以，则函数在上单调递增． 因为，所以． 因为， 所以． 12．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知，函数，（是自然对数的底数）． (1)讨论函数极值点的个数； (2)若对任意的恒成立，求实数的值； (3)在第（2）小题的条件下，若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，极值点的个数为；当时，极值点的个数为 (2) (3) 【解析】（1）当时，由知单调递增，所以极值点的个数为； 当时，对有，对有， 所以在上递减，在上递增，所以恰有个极值点. 综上，当时，极值点的个数为； 当时，极值点的个数为； （2）根据已知有，所以，故. 此时由（1）中得到的单调性，可知仅在处取得最小值. 假设，则，但，这导致矛盾，所以，即. 当时，由（1）中得到的单调性知在处取得最小值，所以，确实满足条件. 综上，的值为. （3）此时，，根据（2）的结论，我们有. 设，则. 再设，则. 情况一：若，则对有，故在上递增，从而对有. 从而在上递增，这就意味着对都有. 从而对任意，都有，不满足条件； 情况二：若，令是两个正数和中较小的一个，则对有. 故在上递减，从而对有. 从而在上递减，这就意味着，所以存在使得，满足条件. 综合以上两种情况，可知的取值范围是. 13．（2026·江苏·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. (1)求的极值； (2)证明：. 【答案】(1)极小值为0，无极大值. (2)见解析 【解析】（1），求导可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）证明：因为，，所以在点处的切线方程为，即，所以， 设，求导可得， 设，求导可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为，即，在上单调递减， 因为， 所以当时，，， 当时，，， 综上所述，. 14．（2026·山东滨州·二模）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）若，则，， 则，， 所以过点的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数有最小值，即， 若存在，使，则成立， 即，即， 令， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有最小值，即， 所以在区间恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 因为， 所以当 时， 成立，故的取值范围为. 15．（25-26高二下·广东·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：对于任意正整数，都有． 【答案】(1)当时，的递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2);(3)见解析 【解析】（1）由，得函数的定义域为. . 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，得； 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增. 综上，当时，的递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由，，得； ，. 对恒成立，等价于在恒成立. 令，则； 令，即，解得. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，取得最大值，即； 在恒成立，，即的取值范围是. (3)由（1）得，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，即. 当时，，即，得； 令，则； . 当时，显然成立， 当时，； ，； 综合可知. 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】比较与的大小： 构造函数，定义域为， 求导得，当时，， 故，在上单调递增， 因此，即，整理得； 比较与的大小： 构造函数，定义域为，求导得， 当时，，故，所以在上单调递增， 因此，即，整理得， 所以． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式，在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，在上恒成立， 构造函数，令， 其， 令， 则 当时，有， 所以在上单调递减， ①当时，，故单调递减，，符合题意． ②当时，令，可得当时， ，故，此时，不符合题意． ③当时，令，可得当时， ，且，故， 即，此时，不符合题意． 综上，的取值范围为， 故选：C． 3．（多选）（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）设函数，给定下列命题，则下列选项正确的是（   ） A．函数的最小值为 B．不等式的解集为 C．函数在单调递增，在单调递减 D．若恒成立，则实数 【答案】BD 【解析】因为函数， 所以， 则当时，单调递减；当时，单调递增； 则函数的最小值为，故A错误； 因为，所以不等式的解集为，故B正确； 因为，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，故C错误； 恒成立，则恒成立， 则恒成立，令，则， 当时，单调递增；当时，单调递减； 则，则，故D正确. 4．已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】令，则 ， 所以在上单调递增． 由于当，当， 而， 故在上，不等式与同解， 即，又，得，即， 所以原不等式的解集为． 5．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知函数 (1)当时，求f（x）的单调区间； (2)当时，设为的从小到大的第个极值点， （i）证明：数列是等差数列； （ii）若证明： 【解析】（1）时，， ， 令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的单调递增区间为， 的单调递减区间为. （2）（i）因为 ； 其中， 令，则， 所以，则当时，， 所以数列为等差数列. （ii）要证：，即证：， 即证：， 即证：，即证：， 因为，所以，则， 令， 所以，令，解得. 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以， 所以，不等式得证. 6．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，定义迭代序列，证明：； (3)若近似解与真实根的误差小于，求最少迭代次数. 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【解析】（1）将代入函数中： ，所以切点为. 对求导得， 即， 故切线方程为，即. （2）迭代序列是牛顿法求方程的公式， 已知，， 令，得，即， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增. 计算几个特殊点的值： ，，，， 因为、，且在上单调递增，所以在上有唯一实根，记为，， 又因为、，且在上单调递减，所以在上有唯一实根，记为，. 已知，，，则无法直接计算， ， 由于在上单调递增，，， ，要证明，说明迭代收敛于负根，且序列始终在左侧. 设，由于，通常牛顿法要求初始值不在极值点. 假设从之后的迭代有意义，且考虑且接近0的情况， 图像如图所示， 说明函数下凸， 牛顿法从根左侧开始会单调递增收敛于根. 由于，，若迭代序列在范围内， 则且，此时， 由于在是凹函数，牛顿迭代线位于曲线下方，迭代值不会超过根. 由于，，若，则， 故，由牛顿法在凹函数区间内的性质，序列单调递增且收敛于的根， 因，迭代值在达到根之前始终小于， 即. （3）真实根， 迭代计算:，，，故令， 则， 第4次迭代误差，满足精度要求，故最少需要迭代4次. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $