暑假作业08 一元线性回归模型（巩固培优）高二数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 一元线性回归模型 1．求解经验回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用经验回归直线过点(，)． 2．根据经验回归方程计算的值，仅是一个预测值，不是真实发生的值． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．一种动物的后代数（单位：只）在一定范围内与温度（单位：℃）有关，测得一组数据（）可用模型拟合.利用变换得到的线性回归方程为，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．有人调查了某高校14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到如下数据表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 利用最小二乘法计算的儿子身高关于父亲身高的回归直线为. 根据以上信息进行的如下推断中，正确的是（   ） A．当时，，若一位父亲身高为，则他儿子长大成人后的身高一定是 B．父亲身高和儿子身高是正相关，因此身高更高的父亲，其儿子的身高也更高 C．从回归直线中，无法判断父亲身高和儿子身高是正相关还是负相关 D．回归直线的斜率可以解释为父亲身高每增加，其儿子身高平均增加 3．5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） A．由题中数据可知，变量y与x正相关 B．线性回归方程中 C．时，残差为0.02 D．可以预测时该商场5G手机销量约为1.72（千只） 4．一组样本数据在一条直线附近波动，拟合的回归直线记为，满足：.令，得到新样本数据，且，则直线的方程为（    ） 附：. A． B． C． D． 5．对于两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，…，，下列说法中错误的是 A．由样本数据得到的回归方程必过样本中心点 B．残差的平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用来刻画回归效果，越小，说明拟合效果越好 D．若样本点呈条状分布，则变量和之间具有比较好的线性相关关系 6．为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率y（%）与复工时间x（x的取值为5，10，15，20，25，30天）的回归关系：模型（1），模型（2），设两模型的决定系数依次为和.若两模型的残差图分别如下，则（     ） A．< B．= C．> D．、关系不能确定 二、多选题 7．关于相关系数r，下面说法正确的是（    ） A． B．若，则两个变量线性不相关 C．若，则一个变量增加，另一个变量有减少的趋势 D．越小，变量之间的线性相关程度越高 8．下列四个命题中为真命题的是（    ） A．若随机变量服从二项分布，则 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．已知一组数据，，，…，的方差是5，则，，，…，的方差也是5 D．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 三、填空题 9．r是相关系数，当|r|越接近于1，线性相关程度 ． 10．已知变量y与x线性相关，由样本点求得的回归方程为，若点在回归直线上，且，，则 ． 四、解答题 11．为打造“四态融合、产村一体”，望山、见水、忆乡愁的美丽乡村，增加农民收入，某乡政府统计了景区农家乐在2012年-2018年中任选年的接待游客人数（单位：万人）的数据，结果如下表： 年份 年份代号 接待游客人数（单位：万人） (1)根据数据说明变量，是正相关还是负相关； (2)求相关系数的值，并说明年份与接待游客人数之间线性关系的强弱．（值精确到） 附：线性回归方程的斜率的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，一般地，当的绝对值大于时，认为两个变量之间有较强的线性相关程度． 参考数据：，，，． 一、单选题 1．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度随时间变化的函数模型，小明每隔分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据、、、，绘制了如图所示的散点图．小明选择了如下个函数模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，函数模型一：；函数模型二：，下列说法不正确的是（    ） A．变量与具有负的相关关系 B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，故模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况 C．若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点 D．当时，通过函数模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为，则残差为 2．已知变量，的5对样本数据为，，，，，用最小二乘法得到经验回归方程：，过点，的直线方程为：，则（    ） A． B．样本数据的残差为 C． D． 二、多选题 3．下列说法正确的是（    ） A．已知且，则 B．已知，则越小，越大 C．已知，且，则， D．若变量y关于x的线性回归方程为且，，则 三、填空题 4．为研究变量x，y的相关关系，收集得到如下数据： x 1 2 3 4 5 y 60 若由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为，并据此计算在样本点处的残差为0，则 ． 四、解答题 5．为助力四川新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据： 单价x（元/件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y（万件） 90 84 83 80 75 68 (1)根据以上数据，求y关于x的线性回归方程； (2)若该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？ （参考公式：回归方程，其中，）． 6．某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量（单位：万辆）的散点图如下： 记年份代码为 (1)根据散点图判断，模型①与模型②，哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程； (3)预测2023年该公司新能源汽车销售量． 参考数据： 34 55 979 657 2805 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 一元线性回归模型 1．求解经验回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用经验回归直线过点(，)． 2．根据经验回归方程计算的值，仅是一个预测值，不是真实发生的值． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．一种动物的后代数（单位：只）在一定范围内与温度（单位：℃）有关，测得一组数据（）可用模型拟合.利用变换得到的线性回归方程为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】经过变换后将非线性问题转化为线性问题，在求样本点的中心，回归直线一定过该点，即可求出参数 【详解】经过变换得到.由题意，，， 所以回归方程的图象经过，从而，所以，. 故选：B 2．有人调查了某高校14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到如下数据表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 利用最小二乘法计算的儿子身高关于父亲身高的回归直线为. 根据以上信息进行的如下推断中，正确的是（   ） A．当时，，若一位父亲身高为，则他儿子长大成人后的身高一定是 B．父亲身高和儿子身高是正相关，因此身高更高的父亲，其儿子的身高也更高 C．从回归直线中，无法判断父亲身高和儿子身高是正相关还是负相关 D．回归直线的斜率可以解释为父亲身高每增加，其儿子身高平均增加 【答案】D 【分析】由回归直线中的为估计值并不绝对，可排除A、B，可排除C. 【详解】对A选项：为估计值，并不一定，故错误； 对B选项：同上，该值为估计值，并不绝对，故错误； 对C选项：由，故可判断父亲身高和儿子身高是正相关，故错误； 都D选项：回归直线的斜率可以解释为父亲身高每增加，其儿子身高平均增加，故正确. 故选：D. 3．5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） A．由题中数据可知，变量y与x正相关 B．线性回归方程中 C．时，残差为0.02 D．可以预测时该商场5G手机销量约为1.72（千只） 【答案】B 【分析】对于A，利用表中的数据分析即可求解；对于B，利用平均数的定义及样本中心，结合样本中心在回归直线上即可求解；对于C，利用预测值和残差的定义即可求解；对于D，利用回归方程即可求出预测值. 【详解】对于A，从数据看随的增加而增加，所以变量y与x正相关，故A正确； 对于B，由表中数据知， 所以样本中心点为， 将样本中心点代入中得，故B错误； 对于C，线性回归方程为， 所以，，故C正确； 对于D，当时该商场5G手机销量约为（千只），故D正确. 故选：B. 4．一组样本数据在一条直线附近波动，拟合的回归直线记为，满足：.令，得到新样本数据，且，则直线的方程为（    ） 附：. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用最小二乘法公式求解线性回归方程. 【详解】由， 则直线的方程为. 故选：A. 5．对于两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，…，，下列说法中错误的是 A．由样本数据得到的回归方程必过样本中心点 B．残差的平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用来刻画回归效果，越小，说明拟合效果越好 D．若样本点呈条状分布，则变量和之间具有比较好的线性相关关系 【答案】C 【分析】由线性回归方程一定过样本中心点，在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，相关指数表示拟合效果的好坏，指数越接近1，拟合效果越好，即可判断； 【详解】解：由样本数据得到的回归方程必过样本中心，故A正确， 残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B正确， 相关指数越大，拟合效果越好，故C不正确， 如果样本点呈条状分布，则变量和之间具有比较好的线性相关关系，故D正确 故选：C 6．为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率y（%）与复工时间x（x的取值为5，10，15，20，25，30天）的回归关系：模型（1），模型（2），设两模型的决定系数依次为和.若两模型的残差图分别如下，则（     ） A．< B．= C．> D．、关系不能确定 【答案】A 【分析】根据残差点图分析拟合效果，从而得到答案. 【详解】根据残差点图，模型（2）残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽度窄，拟合精度较高，所以<， 故选：A. 二、多选题 7．关于相关系数r，下面说法正确的是（    ） A． B．若，则两个变量线性不相关 C．若，则一个变量增加，另一个变量有减少的趋势 D．越小，变量之间的线性相关程度越高 【答案】ABC 【分析】根据相关系数的定义以及性质即可求解. 【详解】,故A正确，若，则两个变量线性不相关，故B正确，若，则一个变量增加，另一个变量有减少的趋势，C正确，越大，变量之间的线性相关程度越高，故D错误， 故选：ABC 8．下列四个命题中为真命题的是（    ） A．若随机变量服从二项分布，则 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．已知一组数据，，，…，的方差是5，则，，，…，的方差也是5 D．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 【答案】ABC 【分析】根据二项分布的期望公式，即可判断A；根据正态分布的对称性，即可判断B；根据方差的运算，即可判断C；将代入线性回归方程，即可求出的值. 【详解】对于A，由于，则，故A正确； 对于B，因为， 所以， 故，故B正确； 对于C，因为的方差与的方差相同，故C正确； 对于D，根据回归方程必过样本中心点，可得，解得，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 9．r是相关系数，当|r|越接近于1，线性相关程度 ． 【答案】越强 【分析】根据相关系数的概念即可得解； 【详解】解：相关系数的范围是：，越接近于1，表示线性相关程度越强： 故答案为：越强 10．已知变量y与x线性相关，由样本点求得的回归方程为，若点在回归直线上，且，，则 ． 【答案】6 【分析】依题意，可得点在回归直线上，求得，将条件代入回归方程求出，利用平均数公式即可求得. 【详解】由题意，点在回归直线上，代入可得，，解得， 因，且样本中心点在回归直线上，将条件代入得：， 故，解得． 故答案为：6. 四、解答题 11．为打造“四态融合、产村一体”，望山、见水、忆乡愁的美丽乡村，增加农民收入，某乡政府统计了景区农家乐在2012年-2018年中任选年的接待游客人数（单位：万人）的数据，结果如下表： 年份 年份代号 接待游客人数（单位：万人） (1)根据数据说明变量，是正相关还是负相关； (2)求相关系数的值，并说明年份与接待游客人数之间线性关系的强弱．（值精确到） 附：线性回归方程的斜率的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，一般地，当的绝对值大于时，认为两个变量之间有较强的线性相关程度． 参考数据：，，，． 【答案】(1)正相关 (2)，年份与接待游客人数之间有较强的线性相关程度 【分析】（1）利用最小二乘法计算，即可判断变量与是正相关； （2）利用最小二乘法计算，进而判断相关性的强弱. 【详解】（1）由题中数据可得，，， 则， 变量的值随着的值增加而增加， 故与之间是正相关； （2）由已知得，           故年份与接待游客人数之间有较强的线性相关程度． 一、单选题 1．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度随时间变化的函数模型，小明每隔分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据、、、，绘制了如图所示的散点图．小明选择了如下个函数模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，函数模型一：；函数模型二：，下列说法不正确的是（    ） A．变量与具有负的相关关系 B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，故模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况 C．若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点 D．当时，通过函数模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为，则残差为 【答案】C 【分析】根据题中所给散点图，根据正负相关的概念即可判断A选项；根据水温的变化情况，以及指数函数的单调性，即可判断B选项；根据最小二乘法可求出的回归方程一定经过，即可判断C选项；根据残差的定义可判断D选项． 【详解】对于A选项，观察散点图，变量与具有负的相关关系，A对； 对于B选项，由于函数模型二中的函数， 在时，函数单调递减，且递减速度越来越慢， 所以，模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况，B对； 对于C选项，若选择函数模型二，利用最小二乘法求出的回归方程一定经过，C错； 对于D选项，根据残差的定义可知，残差真实值预测值，故残差为，D对. 故选：C. 2．已知变量，的5对样本数据为，，，，，用最小二乘法得到经验回归方程：，过点，的直线方程为：，则（    ） A． B．样本数据的残差为 C． D． 【答案】D 【分析】对于A，由回归方程必过样本中心点可知，只需求出样本中心就可以求出，进一步由直线方程的知识求出即可判断；对于B，由残差的定义即可判断；对于CD，由最小二乘法的意义即可判断. 【详解】对于A选项，由已知可得，，， 根据经验回归方程，可知，所以. 根据已知，可求出， 则直线的方程为，整理可得， 所以，故A选项错误； 对于B项，由已知，经验回归方程为， 样本数据的预测值为， 所以样本数据的残差为，故B项错误； 对于C、D选项，根据最小二乘法的意义，可知， 故D项正确. 故选：D. 二、多选题 3．下列说法正确的是（    ） A．已知且，则 B．已知，则越小，越大 C．已知，且，则， D．若变量y关于x的线性回归方程为且，，则 【答案】BCD 【分析】利用正态分布的性质判断AB；利用二项分布的期望与方差列式判断C；利用线性回归方程必过样本中心列式判断D. 【详解】对于A，因为且， 所以，故A错误; 对于B，因为， 所以越小，的概率曲线越集中于对称轴处， 而， 所以越大，故B正确； 对于C，因为，所以，， 而， 所以，解得，故C正确; 对于D，变量y关于x的线性回归方程为，且，， 所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 4．为研究变量x，y的相关关系，收集得到如下数据： x 1 2 3 4 5 y 60 若由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为，并据此计算在样本点处的残差为0，则 ． 【答案】290 【分析】先利用残差的计算公式求出，再根据回归直线过样本点的中心求出，即可得解． 【详解】因为在样本点处的残差为0， 所以，得， 则y关于x的线性回归方程为． 因为，所以， 所以． 故答案为： 四、解答题 5．为助力四川新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据： 单价x（元/件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y（万件） 90 84 83 80 75 68 (1)根据以上数据，求y关于x的线性回归方程； (2)若该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？ （参考公式：回归方程，其中，）． 【答案】(1) (2)单价定为8.25元时，工厂获得利润最大 【分析】（1）求出，代入公式求出，得到线性回归方程； （2）设获得的利润为L万元，表达出利润关于的关系式，配方后得到最大利润. 【详解】（1），． ， ， ∴， ∴， 所以回归直线方程为 （2）设工厂获得的利润为L万元，则， 所以该产品的单价定为8.25元时，工厂获得利润最大． 6．某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量（单位：万辆）的散点图如下： 记年份代码为 (1)根据散点图判断，模型①与模型②，哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程； (3)预测2023年该公司新能源汽车销售量． 参考数据： 34 55 979 657 2805 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【答案】(1) (2) (3)预测2023年该公司新能源汽车销售量万辆 【分析】（1）根据散点图结合一次函数、二次函数的图象特征分析判断； （2）换元令，结合题中数据与公式运算求解； （3）令，代入回归方程运算求解. 【详解】（1）由散点图可知：散点图与一次函数偏差较大，与二次函数较接近，故模型②更适合. （2）令，则，， 对于回归方程， 可得：，， 故回归方程为，即. （3）由（2）可得：， 令，则， 预测2023年该公司新能源汽车销售量万辆. / 学科网（北京）股份有限公司 $$