精品解析：江西吉安市泰和县2025－2026学年度第二学期期末学业质量检测八年级数学试卷

2025～2026学年度第二学期期末学业质量检测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在数轴上．表示的解集用不等式表示为（　　） A. 2＜x＜4 B. ﹣2＜x≤4． C. ﹣2≤x＜4 D. ﹣2≤x≤4． 3. 因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的方程=3的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. m＜ B. m＜且m≠ C. m＞﹣ D. m＞﹣且m≠﹣ 5. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 6. 如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 8. 因式分解：a3－a=______． 9. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为_________． 10. 阅读，正如一束阳光，孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界，某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是x米／分，则可列出正确的方程为______． 11. 如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为______． 12. 已知等腰△ABC中，BD⊥AC，且BD=AC，则等腰△ABC的顶角度数为________________． 三、（本大题共5小时，每小题6分，共30分） 13. （1）因式分解：； （2）解方程：． 14. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上 15. 化简求值：，再从-1、0、1、2中选取一个你喜欢的a的值代入求值． 16. 如图，在四边形中，∥,=2,为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹) （1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线； （2）在图2中，若BA=BD, 画出△ABD的AD边上的高 . 17. 如图，在平行四边形中，点分别在的延长线上，且．连结，交于点，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，试说明为等腰三角形． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展“党史学习”活动，为给同学们提供学习资料，计划购买《中国共产党简史》和《论中国共产党历史》两种图书，已知《论中国共产党历史》的单价比《中国共产党简史》的单价多16元，且学校用1950元购买《中国共产党简史》的数量是用1050元购买《论中国共产党历史》的数量的三倍． （1）求两本书的单价； （2）为让更多同学参加学习活动，学校决定购进这两种书共200本，但总费用不超过7000元．求最多可购买《论中国共产党历史》的本数． 20. 已知分式． （1）化简分式； （2）若的值为方程的解，求该分式的值． 五、（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）请把表示图2面积的多项式因式分解：______（直接列出等式即可）； （2）若，，求的值； （3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 22. 如图，在中，，，，点P沿AB边从点A开始以2cm秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间． （1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形． （2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形． 六、（本大题共12分） 23. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 七、附加题（本大题共10分） 24. 数学活动课上，老师让同学们准备两个等腰直角三角形纸片，将直角顶点重合到一起，利用图形的旋转开展探究活动． （1）当两个等腰直角三角形纸片如图1放置时，，，点和点分别在和上，且，则与的数量关系是______，位置关系是______； （2）将图1中的绕着点顺时针旋转，连接，在旋转过程中与的数量关系和位置关系与（1）中是否发生变化？请结合图2加以证明； （3）将绕着点顺时针旋转到图3的位置，过点作于点，延长交于点．求证：为的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末学业质量检测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 如图，在数轴上．表示的解集用不等式表示为（　　） A. 2＜x＜4 B. ﹣2＜x≤4． C. ﹣2≤x＜4 D. ﹣2≤x≤4． 【答案】B 【解析】 【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右＜向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：由图示可看出，从-2出发向右画出的折线且表示-2的点是空心圆，表示x>-2；从4出发向左画出的折线且表示4的点是实心圆，表示x≤4，不等式组的解集是指它们的公共部分． 所以这个不等式组的解集是：． 故选B． 【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 3. 因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，利用平方差公式把原式化为，再整理即可． 【详解】解： ． 故选：D． 4. 若关于x的方程=3的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. m＜ B. m＜且m≠ C. m＞﹣ D. m＞﹣且m≠﹣ 【答案】B 【解析】 【分析】先去分母解方程，根据方程的解为正数列不等式即可 【详解】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9， 整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=， 已知关于x的方程=3的解为正数， 所以﹣2m+9＞0，解得m＜， 当x=3时，x==3，解得：m=， 所以m的取值范围是：m＜且m≠． 故选：B． 【点睛】本题考查含参数的分式方程解法，不等式，分式有意义条件，解题的关键是掌握含参数的分式方程解法，不等式，分式有意义条件． 5. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数． 【详解】∵， ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， . 故答案为D. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 6. 如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】先证明△ABD≌△CDB，△BEP≌△PGB，△HPD≌△FDP，再利用全等三角形的面积相等，得出 ，即． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EFBC，HGAB， ∴AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC， ∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形， ∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC， ∴△ABD≌△CDB， ∴； 同理可得：，，， ∴ 即，也即． 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的面积相等结合面积做差得出结论是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1. 故答案为：x≠1． 8. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 9. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象，找直线在上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时， ， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值大小的问题是解答本题的关键． 10. 阅读，正如一束阳光，孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界，某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是x米／分，则可列出正确的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是米/分，则：甲同学的速度为米/分，由题意，得： 故答案为：． 11. 如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，过点作于．根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于． 由作图可知，平分， ，， ， 根据垂线段最短可知，的最小值为2， 故答案为：2 12. 已知等腰△ABC中，BD⊥AC，且BD=AC，则等腰△ABC的顶角度数为________________． 【答案】90°或30°或150° 【解析】 【分析】根据题意画出图形，利用BD⊥AC，且BD=AC求出该直角三角形另一锐角的度数，由此得到答案． 【详解】解：如图1，∵BD⊥AC，AB=BC， ∴，AD=CD=AC， ∵BD=AC， ∴AD=BD=CD， ∴， ∴； 如图2，∵BD⊥AC， ∴， ∵AB=AC，BD=AC， ∴BD=AB， ∵； 如图3， ∵BD⊥AC， ∴， ∵AB=AC，BD=AC， ∴BD=AB， ∴， ∴； 故答案为：90°或30°或150°． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30度直角边等于斜边一半的性质，熟记等腰三角形的性质依据题意画出图形辅助解答问题是解题的关键． 三、（本大题共5小时，每小题6分，共30分） 13. （1）因式分解：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分解因式，解分式方程，掌握提取公因式和完全平方公式以及去分母，解分式方程，是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式，即可； （2）通过去分母，合并同类项移项，未知数系数化为1，检验，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）． 方程两边同乘，得， 解得：， 经检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 14. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上 【答案】 ，数轴表示如下： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， 15. 化简求值：，再从-1、0、1、2中选取一个你喜欢的a的值代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据分式的运算法则化简算式，之后根据分式有意义的条件选择恰当的数代入化简后的算式求值即可 ． 【详解】解：原式= = = = = =， 且且 ∴当时，上式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，计算过程中注意分式有意义的条件是解题关键． 16. 如图，在四边形中，∥,=2,为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹) （1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线； （2）在图2中，若BA=BD, 画出△ABD的AD边上的高 . 【答案】(1)作图见解析；（2）作图见解析. 【解析】 【分析】（1）根据AB=2CD，AB=BE，可知BE＝CD，再根据BE//CD，可知连接CE，CE与BD的交点F即为BD的中点，连接AF，则AF即为△ABD的BD边上的中线； （2）由（1）可知连接CE与BD交于点F，则F为BD的中点，根据三角形中位线定理可得EF//AD，EF=AD，则可得四边形ADFE要等腰梯形，连接AF，DE交于点O，根据等腰梯形的性质可推导得出OA=OD，再结合BA=BD可知直线BO是线段AD的垂直平分线，据此即可作出可得△ABD的AD边上的高 . 【详解】（1）如图AF是△ABD的BD边上的中线； （2）如图AH是△ABD的AD边上的高. 【点睛】本题考查了利用无刻度的直尺按要求作图，结合题意认真分析图形的成因是解题的关键. 17. 如图，在平行四边形中，点分别在的延长线上，且．连结，交于点，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，试说明为等腰三角形． 【答案】（1） 证明：平行四边形， ∴， ∵点分别在的延长线上，且， ， 四边形是平行四边形． （2） 证明：四边形是平行四边形， ， 为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，推出，即可得证； （2）根据平行四边形的性质，得到，进而得到，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知，，从而可求，进而可证，即得出； （2）设相交于点F，则．由等边对等角结合三角形内角和定理可求出，从而可求出，进而可得． 【小问1详解】 证明：由题意可知，， ∴，即． 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，设相交于点F， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． 19. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展“党史学习”活动，为给同学们提供学习资料，计划购买《中国共产党简史》和《论中国共产党历史》两种图书，已知《论中国共产党历史》的单价比《中国共产党简史》的单价多16元，且学校用1950元购买《中国共产党简史》的数量是用1050元购买《论中国共产党历史》的数量的三倍． （1）求两本书的单价； （2）为让更多同学参加学习活动，学校决定购进这两种书共200本，但总费用不超过7000元．求最多可购买《论中国共产党历史》的本数． 【答案】（1）每本《中国共产党简史》的价格是26元，每本《论中国共产党历史》的价格是42元；（2）最多可购买《论中国共产党历史》112本． 【解析】 【分析】（1）设每本《中国共产党简史》的价格是x元，则每本《论中国共产党历史》的价格是（x+16）元，根据数量＝总价÷单价，结合学校用1950元购买《中国共产党简史》的数量是用1050元购买《论中国共产党历史》的数量的三倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买《论中国共产党历史》m本，则购买《中国共产党简史》的本数为（200﹣m）本，根据总费用不超过7000元，列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）设每本《中国共产党简史》的价格是x元，则每本《论中国共产党历史》的价格是（x+16）元， 由题意得：， ＝， 8x＝208， 解得：x＝26， 经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意， 此时，x+16＝26+16＝42， ∴每本《中国共产党简史》的价格是26元，每本《论中国共产党历史》的价格是42元； （2）设购买《论中国共产党历史》m本，则购买《中国共产党简史》的本数为（200﹣m）本， 由题意，得26（200﹣m）+42m≤7000， 解得：m≤112.5， ∵m为正整数， ∴最多可购买《论中国共产党历史》112本． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式． 20. 已知分式． （1）化简分式； （2）若的值为方程的解，求该分式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，分式的混合运算． （1）根据分式混合运算法则，先算小括号里面的分式减法，然后再算分式的除法即可； （2）先把分式方程转变为整式方程，解分式方程求出x的值，然后检验，把分式方程的解代入（1）中化简后的分式，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：对于方程， 去分母，得， 解得． 检验：把代入，得， 分式方程的解为， 原分式的值为． 五、（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）请把表示图2面积的多项式因式分解：______（直接列出等式即可）； （2）若，，求的值； （3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【答案】（1） （2） （3），图形见解析 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用： （1）两种方法表示出图形的面积，即可得出结果； （2）利用（1）中结论求解即可； （3）根据多项式，由2个边长为的小正方形和7个边长为的长方形和3个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知：； 【小问2详解】 ，，， ． ； 【小问3详解】 如图所示， ． 22. 如图，在中，，，，点P沿AB边从点A开始以2cm秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间． （1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形． （2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形． 【答案】（1）当时，△PAQ是等边三角形 （2）当或时，△PAQ是直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，，根据等边三角形的性质可得，列出方程，解方程即可求解； （2）根据题意，分或，两种情况讨论，根据含30度角的直角三角形的性质，列出方程，解方即可求解． 【小问1详解】 解： ，， ∵当△PAQ是等边三角形时，，即，解得． ∴当时，△PAQ是等边三角形； 【小问2详解】 ∵△PAQ是直角三角形， ∴或， 当时，有， ，即， ∴，解得（秒）， 当时，有，， 即 ∴， 解得（秒）． ∴当或时，△PAQ是直角三角形． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 六、（本大题共12分） 23. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，同角或等角的余角相等， 对于（1），①根据“同角的余角相等”得，再根据“角角边”可得答案； ②根据全等三角形的对应边相等得出，再根据得出答案； 对于（2），先根据“角角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（3），仿照上述过程解答即可． 【小问1详解】 证明：①∵， ∴． ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴； ②由①得， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：． 由上述可知， ∴, ∴． 七、附加题（本大题共10分） 24. 数学活动课上，老师让同学们准备两个等腰直角三角形纸片，将直角顶点重合到一起，利用图形的旋转开展探究活动． （1）当两个等腰直角三角形纸片如图1放置时，，，点和点分别在和上，且，则与的数量关系是______，位置关系是______； （2）将图1中的绕着点顺时针旋转，连接，在旋转过程中与的数量关系和位置关系与（1）中是否发生变化？请结合图2加以证明； （3）将绕着点顺时针旋转到图3的位置，过点作于点，延长交于点．求证：为的中点． 【答案】（1）相等，垂直； （2） 不发生变化，理由如下： 如图1，延长交于点P，交于点， ∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴； （3） 证明：如图2，分别过两点作交于点，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可证， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即M为的中点． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据线段的和差可得，延长，交于点，由，得到． （2）延长交于点P，交于点，证明 得到，进而得到，即可求解； （3）分别过两点作交于点，交的延长线于点，， ，得到，再证明，即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 延长，交于点， ∵， ∴， ∴与的数量关系是相等，位置关系是垂直， 故答案为：相等，垂直； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $