精品解析：江西新余市分宜县2025-2026学年下学期八年级数学期末质量监测试卷

2025-2026学年度第二学期八年级数学学科期末质量监测试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 若三角形的三边a，b，c满足下列条件，则其中直角三角形是（ ） A. B. ，， C. ，， D. ， 3. 如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4. 如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（ ） A. （）班成绩比（）班成绩集中 B. （）班成绩的上四分位数是分 C. （）班有同学的成绩超过分 D. （）班的最低分低于（）班的最低分 5. 、两地相距，小江和小渝沿同一条路线骑自行车从地匀速驶向地，两人离开地的距离与小渝出发时间之间的关系如下图所示，根据图中信息，下列说法不正确的是（ ） A. 小江比小渝晚出发1小时 B. 小渝的速度是 C. 当小渝和小江的距离是时， D. 小江出发40分钟后追上小渝 6. 如图1，在菱形中，点P为对角线上一动点，沿路径以的速度运动，同时点Q从B出发沿路径以的速度运动．设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示．若，则图2中m的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 8. 如图，正五边形与正方形的边重叠在一起，则的度数为___________． 9. 已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． 10. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 11. 勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则图中空白部分的面积是_____． 12. 在矩形中，，，点是折线上的动点（且点不与点重合），当的长为整数时，则的长是___________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答下列问题： （1）计算：． （2）如图，和的顶点，，，在同一直线上．求证：． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图，在正方形中，点M为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，在上作出点E，使； （2）在图2中，在的延长线上作出点F，使． 16. 已知一次函数（）的图象经过点，． （1）求一次函数解析式； （2）将该一次函数的图象向下平移5个单位长度后经过点，求的值． 17. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，过作，交于，交于，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 19. 材料阅读题：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：；． 观察上面解题过程，并回答下列问题： （1）________； （2）若a是的小数部分，化简； （3）利用上面的解法，请化简：． 20. 每年的11月9日是中国的全国消防日，为提高学生的安全意识，某中学开展了消防知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格），数据整理如下： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 8.35 中位数 8 c 众数 a 9 合格率 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出统计表中a，b，c的值：            ，            ，            ； （2）请求出七年级抽取的20名学生成绩的平均数； （3）若该校八年级有学生800人，请估计该校八年级学生成绩合格的人数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某公园为了提升服务质量，预购进两类功能不同的机器人A，B共40台．两类机器人因为功能不同，因此价格也不相同．其中A种机器人每台6万元，购买B种机器人所需费用（万元）与购买数量（台）之间存在的函数关系如图所示． （1）求与的函数关系式； （2）在购买计划中，购买B种机器人的数量不超过25台，但不少于A种机器人的台数，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用． 22. 数学课上，我们探究过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．以下是对此定理的探究及证明过程： 已知：如图①，在中，，分别是，的中点． 求证：且． （1）【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙三位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：如图②，延长至点，使，连接 乙：如图③，延长到点，使，连接，，． 丙：如图④，作于点，延长，使，延长，使，连接，． 三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线定理的是___________． A．仅甲、乙 B．仅乙 C．仅乙、丙 D．甲、乙、丙 （2）【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整． （3）【定理应用】如图⑤，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点和点，使，连接，，并分别找到和的中点，．若测得，，则，两地间的距离为 ． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期八年级数学学科期末质量监测试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断选项，最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数不含能开得尽的因数或因式。 【详解】解： A选项：，被开方数含能开得尽的因数，不是最简二次根式； B选项：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； C选项：的被开方数含分母，不是最简二次根式； D选项：，被开方数含能开得尽的因数，不是最简二次根式 ． 2. 若三角形的三边a，b，c满足下列条件，则其中直角三角形是（ ） A. B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，逐一计算即可得出结论． 【详解】解：对选项A，设，，， ，，， A不是直角三角形， 对选项B，最长边为， ，，， B不是直角三角形， 对选项C，最长边为， ，， ，符合勾股定理的逆定理， C是直角三角形， 对选项D，最长边为， ，，， D不是直角三角形． 3. 如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵在锐角三角形中，是边上的中线 ∴ 由作图得， ∴四边形是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4. 如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（ ） A. （）班成绩比（）班成绩集中 B. （）班成绩的上四分位数是分 C. （）班有同学的成绩超过分 D. （）班的最低分低于（）班的最低分 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：、观察箱线图知：（）班成绩的箱线图宽度较窄，则（）班成绩比（）班成绩集中，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的下四分位数是分，上四分位数约为分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最大值约为分，没有同学的成绩超过分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最低分约为分，（）班成绩的最低分约为分，，即（）班的最低分低于（）班的最低分，故原说法正确，符合题意． 5. 、两地相距，小江和小渝沿同一条路线骑自行车从地匀速驶向地，两人离开地的距离与小渝出发时间之间的关系如下图所示，根据图中信息，下列说法不正确的是（ ） A. 小江比小渝晚出发1小时 B. 小渝的速度是 C. 当小渝和小江的距离是时， D. 小江出发40分钟后追上小渝 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取知识，一元一次方程的应用等知识，根据函数图象即可判断A、B选项；分两种情况讨论：分别列方程求解，即可判断C选项．设小江出发a小时追上小渝，列方程求解，即可判断D选项； 【详解】解：．根据图中信息可知小江比小渝晚出发1小时，说法正确，故该选项不符合题意； ．小渝的速度是，说法正确，故该选项不符合题意； ．小江的速度为，相遇之前小渝和小江的距离是时，或，解得，相遇之后，，解得，原说法错误，故该选项符合题意； ．设小江出发a小时追上小渝，，解得，小时分钟，原说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图1，在菱形中，点P为对角线上一动点，沿路径以的速度运动，同时点Q从B出发沿路径以的速度运动．设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示．若，则图2中m的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数图形的性质，根据菱形的性质得到，结合题意，，则，由二次函数图形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 点P的运动路径以的速度运动，点Q的运动路径以的速度运动，设运动时间为， ∴，， 如图所示，过点作于点， 在中，， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，， ∵， ∴， ∴， 故选：C ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 8. 如图，正五边形与正方形的边重叠在一起，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式，求出正五边形一个内角的度数、正方形一个内角的度数，进而求得的度数，根据正多边形性质得，然后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：正五边形的内角和：， ， 正方形的内角和：， ， ， 正五边形与正方形的边重叠在一起， ， ． 9. 已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题根据离差平方和的分解关系，总离差平方和等于组间离差平方和与组内离差平方和的和，已知总离差平方和与组间离差平方和，通过有理数减法计算即可得到组内离差平方和． 【详解】解：根据离差平方和分解，可得组内离差平方和总离差平方和组间离差平方和 代入数据计算得． 10. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出a值，再根据图象得到直线在直线的上方部分的点的横坐标取值范围即可求解． 【详解】解：将点代入中，得，解得， ∴， 由图象知，当时，直线在直线的上方， ∴关于x的不等式的解集为 ． 11. 勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则图中空白部分的面积是_____． 【答案】60 【解析】 【分析】延长，交于点，先证出，再求出的长，然后根据图中空白部分的面积等于求解即可． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵为的斜边，，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∵四边形，，均为正方形， ∴，，，， ∴四边形是长方形，， ∴，点共线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵，，， ∴四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∴图中空白部分的面积是 ． 12. 在矩形中，，，点是折线上的动点（且点不与点重合），当的长为整数时，则的长是___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，点在折线上运动，不与点重合．分两种情况：当点在上运动时，当点在上运动时，分别结合勾股定理计算即可得出结果，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点是折线上的动点（且点不与点重合）， ∴当点在上运动时，如图： ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵的长为整数， ∴当时，，此时（负值不符合题意，舍去），此时； 当时，，此时（负值不符合题意，舍去），此时； 当点在上运动时，如图： ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵的长为整数， ∴当时，，此时（即点与点重合），此时； 综上所述，当为整数时，的长为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答下列问题： （1）计算：． （2）如图，和的顶点，，，在同一直线上．求证：． 【答案】（1）； （2）证明：连接交于点， ∵四边形，四边形都是平行四边形， ∴，， ， 即． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）连接交于点，根据平行四边形的性质得到，，即可证明． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 略． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 15. 如图，在正方形中，点M为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，在上作出点E，使； （2）在图2中，在的延长线上作出点F，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，正确作图是解答本题的关键． （1）连接交于点，连接并延长交于点，则点为的中点，可得四边形是平行四边形，则； （2）在（1）的基础上连接交于点，连接并延长交于点，由互相垂直平分得，得，根据证明得，再证明，可证明四边形是平行四边形，可得． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所作． 16. 已知一次函数（）的图象经过点，． （1）求一次函数解析式； （2）将该一次函数的图象向下平移5个单位长度后经过点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）根据平移性质，得出平移后的解析式为，再把代入进行计算，即可求得m的值． 【小问1详解】 解：将，代入中得， 解得：， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，一次函数表达式为， 将该函数图象向下平移5个单位长度，得， 将代入中，得， 解得． 17. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际中的应用，正确理解勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可知，利用勾股定理即可解答； （2）结合题意得出，则，再利用勾股定理，算出的长，的大小即为物体升高的高度． 【小问1详解】 解：由题可知，，， 绳长， 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：由题可知，滑块向左是水平滑动，则， ， 在直角三角形中， ， ， 物体升高， 答：物体升高了． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，过作，交于，交于，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件和矩形的性质易证，进而可得四边形是平行四边形，又因为，从而结论得证； （2）设，由已知和矩形的性质可得，在中，利用勾股定理可求出的值，进而可求出菱形的周长． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形，对角线和相交于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：设， ∵四边形是菱形， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴菱形的周长． 19. 材料阅读题：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：；． 观察上面解题过程，并回答下列问题： （1）________； （2）若a是的小数部分，化简； （3）利用上面的解法，请化简：． 【答案】（1） （2） （3）22 【解析】 【分析】（1）根据分母有理化化简即可解答； （2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可； （3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴， ∴； 【小问3详解】 解： 20. 每年的11月9日是中国的全国消防日，为提高学生的安全意识，某中学开展了消防知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格），数据整理如下： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 8.35 中位数 8 c 众数 a 9 合格率 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出统计表中a，b，c的值：            ，            ，            ； （2）请求出七年级抽取的20名学生成绩的平均数； （3）若该校八年级有学生800人，请估计该校八年级学生成绩合格的人数． 【答案】（1）8；；9 （2）七年级抽取的20名学生成绩的平均数为7.75分 （3）估计该校八年级学生成绩合格的有760人 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义可知a、c的值，根据七年级学生成绩统计图可知b的值； （2）根据平均数的运算法则计算即可； （3）用800乘以八年级学生成绩合格率即可． 【小问1详解】 解：根据七年级学生成绩统计图可知，8分的占，比例最大，故众数； 合格率； 根据八年级学生成绩统计图可知，位于最中间的两个成绩都是9分，故中位数； 【小问2详解】 解：（分）． 答：七年级抽取的20名学生成绩的平均数为7.75分； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校八年级学生成绩合格的有760人． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某公园为了提升服务质量，预购进两类功能不同的机器人A，B共40台．两类机器人因为功能不同，因此价格也不相同．其中A种机器人每台6万元，购买B种机器人所需费用（万元）与购买数量（台）之间存在的函数关系如图所示． （1）求与的函数关系式； （2）在购买计划中，购买B种机器人的数量不超过25台，但不少于A种机器人的台数，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用． 【答案】（1）； （2）购买B种机器人台，购买A种机器人台，总费用最低，最低费用为万元． 【解析】 【分析】（1）分段利用待定系数法求解即可； （2）设购买B种机器人台，则购买A种机器人台，总费用为元，先根据题意列出不等式组求得，再列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时， 设与的函数关系式为， 将代入得，解得， ∴与的函数关系式为； 当时， 设与的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴与的函数关系式为； 综上，与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设购买B种机器人台，则购买A种机器人台，总费用为元， 根据题意得， 解得， 根据题意得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的最小值（万元）． ， 此时购买B种机器人台，购买A种机器人台． 22. 数学课上，我们探究过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．以下是对此定理的探究及证明过程： 已知：如图①，在中，，分别是，的中点． 求证：且． （1）【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙三位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：如图②，延长至点，使，连接 乙：如图③，延长到点，使，连接，，． 丙：如图④，作于点，延长，使，延长，使，连接，． 三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线定理的是___________． A．仅甲、乙 B．仅乙 C．仅乙、丙 D．甲、乙、丙 （2）【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整． （3）【定理应用】如图⑤，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点和点，使，连接，，并分别找到和的中点，．若测得，，则，两地间的距离为 ． 【答案】（1）D （2）见解析 （3）26 【解析】 【分析】（1）观察三位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理； （2）由，，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质有，，结合，可得，四边形是平行四边形，即可得； （3）先证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得为的中点，再根据为的中点，可得是的中位线，从而可得，就可得． 【小问1详解】 解：观察三位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理． 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∴， ， ． 【小问3详解】 解：连接并延长，交延长线于P，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴（）， ∴，， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，两地间的距离为． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）①直线为，②不变，；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据，过点作交于点，过点作交于点，得出，证明，即可证出． （2）①当时，则直线为直线，先求出，，则，过点E作于，如图所示：证明，得出，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为． ②根据当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动，得出，过点作于，证明，得出，再根据，即可求解； （3）根据点C的位置分两种情况：①如图，过作轴交于点，过作轴于点，先求出点的坐标是，点的坐标是，得出，根据，得出，则，证明，则，求出，待定系数法求出直线的解析式为，再令，即可求出； ②如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点，根据，得出，证出，证明，则，设，则，得出，根据点在直线的图象上，代入求解即可． 【详解】解：（1）． 证明：，过点作交于点，过点作交于点， ， ， 在和中 ， ， ∴． （2）①当时，则直线为直线， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 过点E作于，如图所示： ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把与代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． ②当变化时，的面积是定值，， 理由如下： ∵当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 变化时，的面积是定值，； （3）①如图，过作轴交于点，过作轴于点， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则，解得：， 则； ②如图， 如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴． 综上，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、一次函数解析式求解、坐标与图形、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $