精品解析：江西省吉安市泰和县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

泰和县2024～2025学年度第二学期期末学业质量检测 八年级数学试卷 一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 计算的结果等于（ ） A. B. a C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握同分母分式的加减法则是解题的关键．根据同分母分式加减法则计算即可得解． 【详解】解： , 故选：C； 3. 已知，下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴, 故B符合题意； C、∵， ∴， 故C不符合题意； D、∵， ∴不一定成立 故D不符合题意； 故选：B． 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键． 根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解）逐项判断即可得． 【详解】解：A. 是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B. 是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C. 把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意； D. 等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 5. 一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，那么关于x的不等式kx＋b>0的解集是（ ） A. x<1 B. x<－2 C. x>1 D. x>－2 【答案】D 【解析】 【分析】一次函数y=kx+b的图像在x轴上方时，y＞0，再根据图像写出解集即可． 【详解】解：当不等式kx+b＞0时，一次函数y=kx+b的图像在x轴上方，故x＞-2． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是能正确利用数形结合的方法解决问题． 6. 如图，已知中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，再根据基本作图可判断垂直平分，则，然后证明，得到． 【详解】解：∵，，， ， 为直角三角形，， 由作法得垂直平分， ， ， ，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 当______时，分式的值为零． 【答案】0 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件，分子为0，分母不为0，即可得到答案． 【详解】解：当分式的值为零时， 有，解得 ， 此时， 故答案为0． 【点睛】本题考查分式值为0的条件，掌握分子为0，分母不为0是解题的关键． 8. 已知一个正n边形的一个外角为，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的外角及外角和等知识点，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键，根据正多边形的性质及多边形的外角和列式计算即可． 【详解】解：∵一个正n边形的一个外角为， ∴， 故答案为：9． 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 10. 若点与点关于原点对称，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 11. 如果分式方程有增根，那么的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根所满足的条件，增根满足的条件：①增根是化简后对应整式方程的根，②使最简公分母的值为零；据此进行求解即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得， ， 解得：， 原方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，等腰三角形纸片ABC中，AD⊥BC与点D，BC=2，AD=，沿AD剪成两个三角形．用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形中较长对角线的长为__________． 【答案】2或或 【解析】 【分析】分别以AC，AD， BD为对角线拼成平行四边形，然后利用勾股定理求解 【详解】解：由题意可知，等腰△ABC中，AD⊥BC ∴BD=CD=，AC= ①当以AC边为对角线时，此时平行四边形ADCB为矩形，两对角线长度相等为2； ②当以AD边为对角线时，此时平行四边形BDCA的较长对角线是BC， 过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E 此时四边形BEDA为矩形 ∴BE=AD=，DE=AB=1，EC=DE+CD=2 ∴在Rt△BEC中， ③当以BD为对角线时，此时平行四边形ADCB的较长对角线是AC 过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E 此时四边形DECB是矩形 ∴DE=BC=AD=，CE=BD=1，AE=AD+DE= ∴在Rt△AEC中，AC= 综上，平行四边形中较长对角线的长为2或或 故答案为：2或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定及勾股定理的应用，掌握相关性质定理正确推理计算，利用分类讨论思想解题是关键． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）因式分解：； （2）； 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了因式分解以及分式的加减． （1）根据提公因式法和平方差公式因式分解即可； （2）利用同分母分式的加法法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为；不等式组的所有整数解为 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法，先分别解出各个一元一次不等式，再结合“大取大、小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”取不等式组解集，最后写出其所有整数解即可得到答案． 【详解】解：， 由①得，即，解得； 由②得，即，解得； 不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解为． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法、理解并灵活运用“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”求不等式组的解集是解决问题的关键． 15. 如图，在中，平分的面积为8，求的面积． 【答案】的面积 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键．根据三角形的面积公式求出，则，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：的面积为8， ， 解得， 平分， ， 的面积． 16. 如图，在中，D是边的中点，E是外一点，，，请用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹） （1）在图1中，画出的边上的中线； （2）在图2中，已知，画出的边上的高． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）连接交于点F，连接，即可得到的边上的中线； （2）连接交于点F，连接交于点O，连接并延长交于点H，则为上的中线，根据等腰三角形的性质可得的边上的高． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． 17. 如图，已知平分，于E，于F，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质得到，再利用证明即可． 【详解】证明：∵平分，于E，于F， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，熟知直角三角形全等的判定条件和角平分线上的点到角两端的距离相等是解题的关键． 四、解答题．（每小题8分，共24分） 18. 先阅读小年解分式方程的过程，然后回答问题： 第一步：去分母，得， 第二步：去括号，得， 第三步：移项，得， 第四步：合并同类项，得， 第五步：系数化为1，得， 第六步：经检验，原方程的解为． （1）第一步的依据是______； （2）小轩的解题过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； （3）原分式方程正确的解为______． 【答案】（1）等式的基本性质 （2）三，常数2前的符号移项未变号 （3）1.5 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意解分式方程要检验． （1）（2）观察解分式方程的步骤，找出每一步的依据和错误，进行解答即可； （3）按照解分式方程的一般步骤解分式方程，求出的值，然后进行检验即可． 【小问1详解】 解：第一步的依据是等式的基本性质， 故答案为：等式的基本性质； 【小问2详解】 解：小轩的解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因常数2前的符号移项未变号， 故答案为：三，常数2前的符号移项未变号； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 检验：把代入， 是原分式方程的解， 故答案为：1.5． 19. 如图1，在中，D、E分别为、的中点，延长至点F，使，连接和． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，当是等边三角形且边长是12时，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：、分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， ， 四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得，，再由，得，即可得出结论； （2）过点作于，由等边三角形的性质得，，则，再由含角的直角三角形的性质得，由勾股定理得，然后由，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于，如图2所示： 是等边三角形，为的中点 ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形为平行四边形是解题的关键． 20. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【答案】（1）甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元 （2）购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需费用最少为10万元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点， （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式是解决此题的关键． 【小问1详解】 设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元； 【小问2详解】 设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时， ∴w取得最小值为10万元， 此时，， 答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元． 五、解答题（每小题9分，共18分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（−4，1），B（−2，4），C（−2，1）． （1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，写出顶点C1的坐标； （2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，2），画出平移后对应的△A2B2C2，写出顶点C2的坐标； （3）在x轴上有一点P，使得PA＋PA2的值最小，请作图，直接写点P的坐标． 【答案】（1）作图见解析，；（2）作图见解析，；（3）作图见解析， 【解析】 【分析】（1）找到以点O为旋转中心旋转180°，的对应点,顺次连接，则△A1B1C1即为所求，根据坐标系写出点的坐标即可； （2）根据题意，点A的对应点A2的坐标为（0，2），可知平移方式为向右平移4个单位向上平移1个单位，进而可得的坐标，顺次连接，则△A2B2C2即为所求，根据坐标系写出点的坐标即可； （3）根据轴对称求线段和最值问题，作关于的对称点，连接与轴交于点，点即为所求，根据两点待定系数法求解析式，令，进而即可求得点的坐标． 【详解】（1）如图，找到以点O为旋转中心旋转180°，的对应点,顺次连接，则△A1B1C1即为所求，点的坐标为； （2）如图，点A的对应点A2的坐标为（0，2），可知平移方式为向右平移4个单位向上平移1个单位，进而可得的坐标，顺次连接，则△A2B2C2即为所求，点的坐标为； （3）如图，作关于的对称点，连接与轴交于点，点即为所求，点的坐标为． 关于轴对称的点为 又，设的解析式为 则 解得 的解析式为 令，解得 ． 【点睛】本题考查了画旋转图，平移作图，轴对称的性质，坐标与图形，掌握旋转、平移、轴对称的性质是解题的关键． 22. 如图，在中，，是高，点是边上的动点，，． （1）求，的长； （2）直接写出是等腰三角形时，的长． 【答案】（1）， （2）或或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，面积法，等腰三角形的性质，能根据等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键． （1）由勾股定理得，由三角形面积得，即可求解； （2）分类讨论：当时，当时，当时，结合勾股定理等，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得 ， ， ， 解得：． 【小问2详解】 解：当时， ， ， ， ， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为或或． 六、解答题 23. 【方法回顾】 如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明的依据是（_____） A． B． C． D． ②证明四边形是平行四边形的依据是_______； 【类比迁移】 （2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点G，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】 （3）如图3，四边形与四边形均为正方形，连接，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系．（不要求证明） 【答案】（1）①A；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：在和中， ， ， ， , , ； （3）， 【解析】 【分析】（1）①根据判断全等三角形的方法，证明，即可解答； ②利用全等三角形的性质，得到，，可得，，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）延长交于点，延长使得，证明，再利用全等三角形的性质和正方形的性质，证明，利用角度转换即可得到，． 【详解】（1）①解： D，E分别是边的中点， ， 在与中， ， ， 故选：A； ②， ，， ， 点是的中点， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）略 （3）如图，延长交于点，延长使得， 根据（2）中原理，可得， ，， 四边形与四边形均为正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰和县2024～2025学年度第二学期期末学业质量检测 八年级数学试卷 一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果等于（ ） A. B. a C. 1 D. 3. 已知，下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，那么关于x的不等式kx＋b>0的解集是（ ） A. x<1 B. x<－2 C. x>1 D. x>－2 6. 如图，已知中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 当______时，分式的值为零． 8. 已知一个正n边形的一个外角为，则________． 9. 因式分解：__________． 10. 若点与点关于原点对称，则____________． 11. 如果分式方程有增根，那么的值是___________． 12. 如图，等腰三角形纸片ABC中，AD⊥BC与点D，BC=2，AD=，沿AD剪成两个三角形．用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形中较长对角线的长为__________． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）因式分解：； （2）； 14. 解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解． 15. 如图，在中，平分的面积为8，求的面积． 16. 如图，在中，D是边的中点，E是外一点，，，请用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹） （1）在图1中，画出的边上的中线； （2）在图2中，已知，画出的边上的高． 17. 如图，已知平分，于E，于F，且．求证：． 四、解答题．（每小题8分，共24分） 18. 先阅读小年解分式方程的过程，然后回答问题： 第一步：去分母，得， 第二步：去括号，得， 第三步：移项，得， 第四步：合并同类项，得， 第五步：系数化为1，得， 第六步：经检验，原方程的解为． （1）第一步的依据是______； （2）小轩的解题过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； （3）原分式方程正确的解为______． 19. 如图1，在中，D、E分别为、的中点，延长至点F，使，连接和． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，当是等边三角形且边长是12时，求四边形的面积． 20. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 五、解答题（每小题9分，共18分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（−4，1），B（−2，4），C（−2，1）． （1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，写出顶点C1的坐标； （2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，2），画出平移后对应的△A2B2C2，写出顶点C2的坐标； （3）在x轴上有一点P，使得PA＋PA2的值最小，请作图，直接写点P的坐标． 22. 如图，在中，，是高，点是边上的动点，，． （1）求，的长； （2）直接写出是等腰三角形时，的长． 六、解答题 23. 【方法回顾】 如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明的依据是（_____） A． B． C． D． ②证明四边形是平行四边形的依据是_______； 【类比迁移】 （2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点G，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】 （3）如图3，四边形与四边形均为正方形，连接，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系．（不要求证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $