1.1 空间向量及其运算 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算核心知识点，系统梳理空间向量的概念、线性运算、共线与共面向量、夹角及数量积等内容，从基础概念到运算规律再到应用，构建递进式学习支架。 资料以正方体、正四面体等几何体为实例，设计概念辨析、线性运算、数量积计算等题型，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），通过推理证明发展逻辑思维（数学思维）。课中助力教师系统教学，课后课时精练帮助学生巩固提升，强化应用意识（数学语言）。

1.1 空间向量及其运算 【基础回顾】 ( 1 / 67 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 空间向量的有关概念 （1）在空间中， 我们把具有大小和方向的量叫作空间向量。 注意：平面向量是在二维平面中，而空间向量是在三维空间当中。 （2）向量的长度（模）：向量的大小叫作向量的长度或模，其模记为 或 . （3）特殊向量 长度为 0 的向量叫作零向量，记为0. 模长为 1 的向量称为单位向量。 方向相同且模相等的向量称为相等向量。 与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为 . 知识点 2: 空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法运算法则： 与平面向量的运算一样， 空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为： （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律： 交换律： . 结合律： . （3） 的方向和长度 当 时， 与向量 方向相同；当 时， 与向量 方向相反。 的长度是 的长度的 倍。 即 （4）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： 分配律： 结合律： . 其中 . 知识点 3: 共线向量 （1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫作共线或平行向量。 （2）共线向量定理：对于空间任意两个向量 的充要条件是存在实数 ，使 . 注意：因为零向量与任意向量平行，即对任意向量 ，都有 . 所以共线定理中的 不可丢掉，否则实数 不存在，但依然有 . （3）方向向量：如图， 是直线 上一点，在直线 上取非零向量 ，则对于直线 上任意一点 ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 ，使得 ，把与向量 平行的非零向量称为直线 的方向向量。 直线 上任意一点都可以由直线 上一点和它的方向向量去表示。 知识点 4: 共面向量 （1）定义：平行于同一个平面的向量叫作共面向量。 （2）共面向量定理：若两个向量 不共线，则向量 与向量 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使 . （3）空间一点 位于平面 内的充要条件：存在有序实数对 ， 使 . （4）共面向量定理的推论： 空间中的一点 与不共线的三点 共面的充要条件是存在唯一的有序实数组 ，使得 且 ，其中 为空间任意一点。 知识点 5: 空间向量的夹角 （1）夹角的定义 已知两个非零向量 ，在空间任取一点 ，作 ，则 叫作向量 的夹角记作 . （2）夹角的范围 空间任意两个向量的夹角的取值范围是 . 特别地当 时两向量同向共线; 当 时两向量反向共线; 当 时,两向量垂直，记作 . 知识点 6: 向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量 ， 则 叫作 的数量积记作 ，即 . 规定：零向量与任何向量的数量积为 0 . （2）投影向量 如图①，在空间，向量 向向量 投影由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 内进而利用平面上向量的投影,得到与向量 共线的向量 ，向量 称为向量 在向量 上的投影向量. 类似地，可以将向量 向直线 投影 （如图②. 如图③，向量 向平面 投影，就是分别由向量 的起点 和终点 作平面 的垂线，垂足分别为 ，得到向量 ，向量 称为向量 在平面 上的投影向量 这时，向量 的夹角就是向量 所在直线与平面 所成的角。 (3)向量数量积的性质 ①由 可得向量自身的数量积就是其模的平方。 ② 的充要条件是 为非零向量） ③两个非零向量 的夹角可由 的数量积表示 . ④对于任意向量 ，总有 ，并且只有当 时，等号成立。 ⑤ （4）向量数量积的运算律 数乘结合律： ; 交换律： ; 分配律： . 题型一 空间向量的概念及线性运算 1．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 2．在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 3．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 4．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 5．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】. 故选：B 6．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 7．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据空间向量的线性运算即可得结果. 【详解】因为，为SC的中点， 所以， 故选：C. 8．（多选）在棱长为2的正方体中，点满足，则下列结论正确的是（   ） A．当时，对于任意，三棱锥的体积是定值 B．当时，平面截正方体所得的截面的面积为 C．若且，则当取得最小值时， D．若，则三棱锥外接球表面积为 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意得点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又，即可判断； 对于B，由题意得，，故点为线段的中点，设的中点为,连接，平面截正方体所得的截面为,利用面积公式即可求解； 对于C，设的中点为,设的中点为，则，故点的轨迹为线段， 易得,,作关于的对称点，即可求解 对于D，，故点为线段的靠近C的三等分点， 利用外接球球心的特点即可求出球心的位置及半径，即可求解 【详解】当时, 即点在线段上运动， 点到平面的距离为定值，又，故A正确； 当时，， 故点为线段的中点，设的中点为,连接， 平面截正方体所得的截面为 梯形中，，易得其面积为,B正确； 若,，,设的中点为, 设的中点为，则，故点的轨迹为线段. 易得,,如图：作关于的对称点， 此时，即.故C错误； 若,，故点为线段的靠近C的三等分点， 如图：设的中点为R，设的中点为S，连接，因为， 则外接球的球心在上，设为,则，故在的中垂面上， 又点为线段的靠近C的三等分，则点O为线段的靠近R的三等分点， 所以 故三棱锥外接球表面积为.故D正确 故选：ABD 9．（多选）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用向量的线性运算与数量积定义逐项分析即可. 【详解】对于,由题意得，错误； 对于,，正确； 对于,，正确； 对于,，错误. 故选： 10．（多选）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ） A．； B．； C．； D．． 【答案】ABCD 【分析】利用向量加法的运算，对四个式子逐一计算出结果，由此得出正确选项. 【详解】对于A,； 对于B，； 对于C,； 对于D,． 故选：ABCD. 题型二 求空间向量的数量积 1．在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据几何体特征以及二面角定义，利用向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】设的中点为，连接，如下图所示： 因为且，所以， 又因为，二面角的大小为，所以； . 故选：B 2．在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立空间直角坐标系，并用坐标表示向量 和 ，再求出空间向量的点积及模长，最后运用向量在另一向量上的投影向量公式求解即可. 【详解】 设正方体棱长为 ，且 为 中点，并以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， ， 所以， ， 所以向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 3．三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】A 【分析】三棱锥中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又分别是的中点，再根据数量积的定义求解． 【详解】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ， 故选：A. 4．在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形， 故选:C． 5．如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】由平面可得，再结合空间向量的线性运算、数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由平面，平面，得， 由题可知， . 故选：B 6．已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】把用表示，然后根据向量数量积的运算律结合正四面体的性质即可求解. 【详解】因为分别是的中点，所以， 所以 . 故选：C 7．已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】设，，，可得，，然后利用数量积的定义及运算法则即可求. 【详解】因为四面体的各棱长均为1，则该四面体为正四面体， 如图，设，，，    则， 又， ， ∴. 故选：A. 8．（多选）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】BC 【分析】利用向量的平行四边形法则，将转化为之间的关系，结合向量的数量积公式即可求解. 【详解】如图，设，则，所以，，， 又，，所以 ，因为，所以的值可能为4和5. 故选：BC. 9．（多选）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用空间向量数量积的定义分别求解即可. 【详解】因为E，F分别是AB，AD的中点，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：ABC. 10．（多选）如图，平行六面体，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，以及向量的数量积和模的计算公式，逐项求解，即可求解. 【详解】由题意知，平行六面体中，且， 对于A，由，所以A正确； 对于B，由， 则 ，所以，所以B错误； 对于C，由，所以C正确； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：ACD. 题型三 空间向量的共线问题（求参） 空间向量共线的充要条件： ① . 则存在唯一实数 ，使 ; ②若存在唯一实数 ，使 ， ，则 . 证明空间三点共线的思路： （1）存在实数 ，使 成立。 2）对空间任一点 ，有 【例题精讲】 1．在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据正方体的性质可解. 【详解】如图，在正方体中， . 故选：A. 2．在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 3．已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意可设，即， 所以，解得， 所以. 4．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 5．在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，设正四面体的棱长为4，则，， ，则为正三角形，所以， 由余弦定理得， ， 故. 6．如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】应用空间向量加法和数乘运算，再结合四点共面列式计算求解参数. 【详解】以为空间向量的一组基底， 则 ， 因为，则， 因为四点共面，所以，故． 故选：B. 7．（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【答案】BCD 【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解 【详解】当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确． 故选：BCD． 8．（多选）如图，正四棱柱中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为 B．当时，的最小值为 C．若直线与所成角为，则动点的轨迹长为 D．当时，三棱锥外接球半径的取值范围是 【答案】BCD 【分析】当时，由平面向量线性运算法则可知点在线段上，利用等体积法求出体积可判断A；当时，由共线定理可得点在线段上，根据对称性将的最值转化成平面几何问题，即可求得最小值；若直线与所成角为，可知点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆弧，即可计算出其轨迹长度；当时，取的中点为，由共线定理可知三点共线，利用几何法即可找出球心位置，进而写出半径的表达式，利用二次函数的性质求出半径的取值范围. 【详解】对于A，取相交于点的中点为，如下图所示： 当时，即， 由平面向量线性运算法则可知，点在线段上，又, ；即A不正确； 对于B，当时，由，利用共线定理可得，三点共线，即点在线段上； 由对称性可知，线段上的点到两点之间的距离相等，所以； 取平面进行平面距离分析，如下图所示： 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 此时点为线段的中点，即的最小值为，故B正确； 对于C，由图可知，与所成角都为，由可知，点在平面内， 若直线与所成角为，在线段上取点，使，则直线与所成角为； 则点的轨迹是以为圆心，半径为，且在平面内的半圆弧，如下图所示： 所以动点的轨迹长为，故C正确； 对于D，当时，取的中点为，即； 由可知，三点共线，即点在线段上，如下图所示： 易知三棱锥外接球球心在直线上，设球心为； 作于点，设，易知， 因为，则，得，则， 设外接球半径为，则，解得； 所以， 由二次函数的性质可知，当时，半径最小为；当时，半径最大为； 又，所以半径的取值范围是，即D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于根据向量线性运算法则和共线定理的应用，确定点的位置，再根据几何体特征利用对称性即可求得距离之和的最小值，利用几何法即可找出球心位置，进而写出半径的表达式，利用二次函数的性质求出半径的取值范围. 9．（多选）在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱的中点，点在底面内运动（含边界），且平面，则（   ） A．若，则平面 B．点到直线的距离为 C．若，则 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】分别取棱，，，的中点M，N，P，Q作出图形，确定平面，及点G的轨迹．对于A，由条件得点G为棱的中点P，根据线面平行的性质判定即可；对于B，由，可得点G到的距离即为与间的距离，求解即可判断；对于C，连，与的交点即为点G，求解即可得出；对于D，设面，根据对称性可知，为的中点，由已知得为直线与平面所成的角，即可求解判断. 【详解】分别取棱，，，的中点M，N，P，Q， ∵点E，F分别为棱，的中点，∴， ∵，∴， ∵平面，平面，∴， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴，同理， ∵平面，∴平面， 根据条件平面，可得平面即为平面， 于是点G的轨迹即为线段 对于A，若，则点G在上， 又点G的轨迹即为线段，则点G为棱的中点P， 连，∵，∴为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，∵点F，Q分别为棱，的中点，∴， ∴正六边形的边长为， 设正六边形的中心， 则均是边长为的正三角形， ∵, ∴，即与间的距离， 因为，所以点G到的距离即为与间的距离， 所以点G到的距离为，所以 B错误； 对于C，连，交点为， ∵，则点G在上， 又点G的轨迹即为线段，则点G为与的交点， ∵分别为的中点，则， 此时，于是满足，所以C正确； 对于D，设平面，根据对称性可知，为的中点， ∴， ∵平面，∴为直线与平面所成的角， 又， ∴， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确， 故选：ACD. 题型四 空间向量的共面问题 （1）证明空间三个向量共面常用的方法 证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合， 即若 ，则 共面； （2）对空间四点 ， ， ， 可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ① ②对空间任一点 ，其中 ③ 或 或 【例题精讲】 1．已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，，， 设， 则，解得， 则“”是“A，B，C，M四点共面”的充要条件. 2．已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用四点共面可得，由此解得，再利用基本不等式即可求解． 【详解】由题可知，存在实数，使得， 又，，，所以， 解得，，所以， 当且仅当时取等号． 3．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：B. 4．已知为空间中四点，任意三点不共线，且 ，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 5．已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形给定向量移动式，再利用共面向量定理的推论列式计算得解. 【详解】由，得， 则，由在所在平面内，得， 所以. 故选：B 6．已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案. 【详解】由于点P与共面, 三点不共线, 故存在实数，使得， 则, 即， 而，故，解得， 故选：A 7．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法及线性运算及四点共面结论得出点在平面内，再应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】如图，由点为的中点，可得， 所以. 因为，所以点在平面内， 的最小值就是三棱锥的高， 由， 得，得. 故选：C. 8．（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【详解】对于A，易得，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B错误； 对于C，因为， 所以，，共面，故C错误； 对于D，假设，，共面， 则存在实数，，使得， 因为，，不共面，所以， 该方程组无解，所以假设不成立，故D正确. 9．（多选）下列命题中正确的有（   ） A．向量与向量方向相反 B．正方体的棱长为1，则 C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D．若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 【答案】ABD 【分析】根据相反向量的定义可判断A；根据数量积公式，求得的值，即可判断B；根据四点共面的判定，即可判断C；根据投影向量的公式计算即可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以，所以向量与方向相反，故A正确； 对于B，因为在正方体中，两两夹角为， 所以， ， 所以，故B正确； 对于C，若，由于，所以，，，四点不共面，故C不正确； 对于D，因为，向量，的夹角为， 所以向量在向量方向上投影向量的模为，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选）在正四棱锥中，已知分别为的中点，，则下列说法正确的有（    ） A． B．不存在，使得平面 C．若平面 平面，则 D．若四点共面，则 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定定理证明平面，可得，即可判断选项A；利用线面垂直的判定定理可判断选项B；利用面面平行的性质定理可得，即可判断选项C；利用三点共线与向量的关系以及向量的数乘关系可判断选项D. 【详解】对A，连接交于点，连接， 因为在正四棱锥中，底面为正方形， 所以， 又因为，为中点，所以， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，A正确； 对B， 因为，为中点，所以， 因为为正方形，所以， 又因为，平面，所以平面， 则平面，所以当，即点与重合时，平面，B错误； 对C，连接，因为平面 平面，平面 平面，平面 平面， 所以根据面面平行的性质定理可知， 又因为分别为的中点，所以为中点，所以，C正确； 对D，因为四点共面，所以四边形为平面四边形， 所以连接交于点， 在中，因为共线， 所以， 由于对称性可知，为中点， 又因为所以, 所以， 所以，解得，D正确； 故选：ACD. 题型五 数量积的应用（求长度、距离及夹角） 线段长度的计算应用公式： . 1．在四面体中，，平面且平面，给出下列三个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】B 【分析】建系，根据向量内积以及向量模的计算公式进行计算验证即可. 【详解】将设为原点，平面为平面，由平面， 得 ， ， ， . 因为，所以 ，推出， ①因为，所以 ，推出， 因此， ， ， 三者相等，①正确. ②因为，所以， 化简得​，但不一定有 . 举反例：取 ，满足和， 计算得 ， ，②错误. ③因为，，推出. ， ， 则 . 故，③正确. 综上，正确结论为①③. 2．如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 3．线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，，即得，又，再由，利用数量积的运算即可求解. 【详解】由，，，得，， 得到，又所以， ， ，∴. 4．如图是缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，，分别为，的中点，且，，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过，，又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知垂直关系将线段表示为向量和，再利用向量数量积为零的性质计算模长，得到各段长度相等后，求和得出总长度. 【详解】依题意，，， 所以，，， 又， 所以 ， 所以， 同理可得， 所以丝线缠一圈的长度为． 故选：C. 5．在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， ，，， , ． 6．如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且与，与的夹角均为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为基底向量，可得，结合空间向量的数量积运算求解即可. 【详解】由图可知：，且，则 由题意可得：， 因为， 则 ， 所以. 故选：B． 7．如图所示，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且.已知的夹角是，，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则且，由，平方化简得到，求得，即可得到答案. 【详解】因为，且，的夹角为，且，， 设，则且， 由， 可得 ， 又由 ， 所以，所以，即线段的长度的取值范围为. 故选：A. 8．（多选）在正四棱柱中，，，其中，，，则下列命题正确的是（） A．当时，平面 B．当且时，P点的轨迹长度为π C．当时，二面角正切值的最大值为2 D．当时，的最小值为 【答案】AC 【分析】A选项，推出点在线段上，证明线线平行，得到线面平行，面面平行，进而证明出结论；B选项，推出点在平面中以为直径的半圆上；C选项，推出点在线段上，作出辅助线，找到二面角的平面角，得到，由于，故，C正确；D选项，利用空间向量的数量积计算，结合基本不等式及二次函数的最值，即可得出结果. 【详解】A选项，当时，，， 故点在线段上， 因为，，所以四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可证，故平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面，A正确； B选项，当且时，在平面中以为直径的半圆上， ，可得，所以轨迹长度B错误； C选项，当时，， 故，即，， 故点在线段上， 过点作交于点，过点作⊥于点，连接， 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面，则平面， 又平面，故⊥， 故为二面角的平面角， ， 由于，故， 二面角正切的最大值为2，C正确； D选项，当时， 因为，， 所以， 当时取等，所以D错误. 9．（多选）已知等腰，，取，中点，，将沿翻折至，使得为正三角形，若底面，则下列说法正确的是（   ） A．四棱锥存在外接球 B． C． D．四棱锥的体积为 【答案】ABD 【分析】根据折叠前后的线段关系，线面垂直的性质，为正三角形，结合勾股定理可得，从而可判断四棱锥是否存在外接球，即可判断A；利用四边形内的角度关系，结合余弦定理与可得线段的值，即可判断B；根据空间向量数量积的运算性质计算的值，即可判断C；求解四边形的面积，计算四棱锥的体积，即可判断D. 【详解】由题意可知，， 因为为正三角形，， 所以， 又底面，所以， 则，故四棱锥的外接球球心为，故A正确； 由于，则， 所以在平面中，，则①， 在中，由余弦定理得：②， 在中，由余弦定理得：③， 由①②③可得 又，所以，，故B正确； 由③可得，则为锐角，所以， 所以， 因为， 则 ，故C错误； 由可得， 则四边形的面积 故四棱锥的体积为，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选）如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（    ） A．存在点，使得 B．直线与平面所成的最大角为 C．若不共面，则四面体的体积的最大值为 D．若，则点的轨迹的长为 【答案】ACD 【分析】对于A：当点为中点时，利用向量证明即可；对于B：当点位于点时，此时线面角为，大于；对于C：当点位于点（或棱上）时，体积最大，为；对于D：先判断出点的轨迹为四段圆弧，然后求出长度即可. 【详解】对于选项A：当点为中点时， ， 所以，故A正确； 对于选项B：当点位于点时，为直线与平面所成角，故B错误； 对于选项C：当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远， 此时四面体的体积最大，以点为例， 此时，故C正确； 对于选项D：若，如图， 在棱上取点，使，在棱上取点使， 在棱上取中点，则， 则点的轨迹由圆弧构成， 且其所在圆的半径依次为，，圆心角依次为， 圆弧的长分别为， 故点的轨迹的长为，故D正确； 故选：ACD. 课时精练 一、单选题 1．在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法法则和数乘运算可得． 【详解】． 故选：B. 2．在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量线性运算计算即可. 【详解】 因为底面是平行四边形，，所以是、的中点. 由向量的平行四边形法则可得，，， 所以. 故选：D. 3．已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四点共面的向量关系，即可求得答案. 【详解】因为，，，四点共面，且， 所以，解得. 故选：A 4．如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义即可求解. 【详解】，. 故选：B 5．在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以 . 所以. 故选：B 6．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算及数量积运算求解． 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 7．如图，在三棱锥中，两两垂直，,在棱上，在棱上，在棱上，且 ，平面平面，点为线段上的一个动点（不包括端点），则（    ）    A．4 B．2 C．3 D．不确定 【答案】B 【分析】根据空间向量共面，可得，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】因为点在平面内，所以， 又因为 所以； 又因为点在平面内， 所以， 因为， 所以， 由空间向量基本定理得：， 解得，即， 所以 ， 因为两两垂直， 所以， 所以， 故选:B． 8．如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（   ） A． B．7 C． D．9 【答案】C 【分析】根据式子，即可求出的长为. 【详解】因为，所以， 因为二面角为，所以，即， 所以 ， 所以，即的长为. 故选：C. 二、多选题 9．（多选）若空间向量为非零向量，下列命题正确的有（    ） A．若，则. B．向量在向量上投影向量为. C．若不共线，则共面的充要条件是存在唯一实数对，使得. D．若向量两两夹角相同且是单位向量，则的取值范围为. 【答案】BC 【详解】 对于A，如图，在正方体中，不妨设， 此时，但是，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，根据共面向量基本定理，可知C正确； 对于D，设向量之间的夹角为，因， 则，因，则， 故的取值范围为，故D错误. 10．（多选）将正方形沿对角线折成直二面角，则（   ） A． B．，所成的角为 C．为等边三角形 D．与平面所成角为 【答案】ABC 【分析】根据直二面角的性质、线面垂直的判定定理，结合异面直线所成角的定义、线面角的定义、空间向量数量积的运算性质逐一判断即可. 【详解】设与相交于点O，折成的直二面角为，如图所示， 对于选项A， 因为，，且，、平面， 所以平面， 又平面，所以，即选项A正确； 对于选项B， ， 所以， 因为异面直线夹角的取值范围为， 所以，所成的角为，即选项B正确； 对于选项C，设正方形的边长为2，则， 所以， 所以为等边三角形，即选项C正确； 对于选项D，因为平面，所以即为与平面所成角，而为等腰直角三角形，所以，即选项D错误． 故选：ABC 11．（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量线性运算判断A；结合A可得，再根据数量积的运算律判断B；根据，则为异面直线与所成的角，即可判断C；计算，即可判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为， 所以 ， 所以，即，故B错误； 对于C：因为，，所以， 所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故C错误； 对于D：因为，， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：AD 三、填空题 12．已知二面角的棱上有两点，，若二面角的大小为，且，则__________. 【答案】 【分析】将向量分解为，利用向量模长公式展开计算，结合二面角的大小得到向量夹角，进而求出的长度. 【详解】由题意可知，且，，二面角的大小为， 故与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为. 所以 因此. 故答案为： 13．已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 【答案】 【详解】因为为底面内一点，且， 所以，解得，则， 又， 可得 . 14．在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________. 【答案】 【分析】设正方体的中心为，连接，设，连接，由已知线面关系可证得平面，从而可得，，根据空间向量的数量积计算，从而可得其最小值. 【详解】设正方体的中心为，连接，设，连接，    因为正方体中，所以平面， 因为平面， ， 又平面，所以平面， 因为P是棱的中点，正方体的中心为， 所以，则四边形为平行四边形，则， 故平面，由于平面， 则，， 所以， 因为，，所以， 因为，所以|，所以， 因为E，F是矩形内的任意两点，所以，当且仅当E，F为或的两端点时，等号成立， 则，即的最小值是. 故答案为：. 四、解答题 15．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 16．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得； （2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得. 【详解】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又 ， ． 17．在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由向量数量积的定义计算即可； （2）根据数量积为证明垂直； （3）由，再计算模长即可. 【详解】（1）. （2）证明：因为 ， 所以. （3）因为， 所以， . 所以. 18．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据即可求解； （2）由题意可得，根据空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，为线段上靠近的三等分点， 所以,， 所以 . （2）因为底面边长和侧棱长都等于2， 所以， 所以 . 19．如图，在直三棱柱中，，，点分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）连接，设与交于点，连接，根据三角形中位线以及线面平行的判定定理证明即可； （2）利用已知条件及线面垂直的性质先证明，然后利用向量数量积证明，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）证明：连接，设与交于点，连接，如图所示： 因为是平行四边形，所以是的中点， 又是中点，在中，是中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）证明：因为是中点，且，所以， 在直三棱柱中，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 在直三棱柱中， 因为，所以四边形为正方形， 又，， 且，是中点， 设，则， 所以 ， 所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面 平面. $ 1.1 空间向量及其运算 【基础回顾】 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 空间向量的有关概念 （1）在空间中， 我们把具有大小和方向的量叫作空间向量。 注意：平面向量是在二维平面中，而空间向量是在三维空间当中。 （2）向量的长度（模）：向量的大小叫作向量的长度或模，其模记为 或 . （3）特殊向量 长度为 0 的向量叫作零向量，记为0. 模长为 1 的向量称为单位向量。 方向相同且模相等的向量称为相等向量。 与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为 . 知识点 2: 空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法运算法则： 与平面向量的运算一样， 空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为： （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律： 交换律： . 结合律： . （3） 的方向和长度 当 时， 与向量 方向相同；当 时， 与向量 方向相反。 的长度是 的长度的 倍。 即 （4）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： 分配律： 结合律： . 其中 . 知识点 3: 共线向量 （1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫作共线或平行向量。 （2）共线向量定理：对于空间任意两个向量 的充要条件是存在实数 ，使 . 注意：因为零向量与任意向量平行，即对任意向量 ，都有 . 所以共线定理中的 不可丢掉，否则实数 不存在，但依然有 . （3）方向向量：如图， 是直线 上一点，在直线 上取非零向量 ，则对于直线 上任意一点 ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 ，使得 ，把与向量 平行的非零向量称为直线 的方向向量。 直线 上任意一点都可以由直线 上一点和它的方向向量去表示。 知识点 4: 共面向量 （1）定义：平行于同一个平面的向量叫作共面向量。 （2）共面向量定理：若两个向量 不共线，则向量 与向量 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使 . （3）空间一点 位于平面 内的充要条件：存在有序实数对 ， 使 . （4）共面向量定理的推论： 空间中的一点 与不共线的三点 共面的充要条件是存在唯一的有序实数组 ，使得 且 ，其中 为空间任意一点。 知识点 5: 空间向量的夹角 （1）夹角的定义 已知两个非零向量 ，在空间任取一点 ，作 ，则 叫作向量 的夹角记作 . （2）夹角的范围 空间任意两个向量的夹角的取值范围是 . 特别地当 时两向量同向共线; 当 时两向量反向共线; 当 时,两向量垂直，记作 . 知识点 6: 向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量 ， 则 叫作 的数量积记作 ，即 . 规定：零向量与任何向量的数量积为 0 . （2）投影向量 如图①，在空间，向量 向向量 投影由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 内进而利用平面上向量的投影,得到与向量 共线的向量 ，向量 称为向量 在向量 上的投影向量. 类似地，可以将向量 向直线 投影 （如图②. 如图③，向量 向平面 投影，就是分别由向量 的起点 和终点 作平面 的垂线，垂足分别为 ，得到向量 ，向量 称为向量 在平面 上的投影向量 这时，向量 的夹角就是向量 所在直线与平面 所成的角。 (3)向量数量积的性质 ①由 可得向量自身的数量积就是其模的平方。 ② 的充要条件是 为非零向量） ③两个非零向量 的夹角可由 的数量积表示 . ④对于任意向量 ，总有 ，并且只有当 时，等号成立。 ⑤ （4）向量数量积的运算律 数乘结合律： ; 交换律： ; 分配律： . 题型一 空间向量的概念及线性运算 1．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 2．在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 4．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 8．（多选）在棱长为2的正方体中，点满足，则下列结论正确的是（   ） A．当时，对于任意，三棱锥的体积是定值 B．当时，平面截正方体所得的截面的面积为 C．若且，则当取得最小值时， D．若，则三棱锥外接球表面积为 9．（多选）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ） A．； B．； C．； D．． 题型二 求空间向量的数量积 1．在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 设正方体棱长为 ，且 为 中点，并以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， ， 所以， ， 所以向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 3．三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 4．在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 6．已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 7．已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 8．（多选）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 9．（多选）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）如图，平行六面体，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 空间向量的共线问题（求参） 空间向量共线的充要条件： ① . 则存在唯一实数 ，使 ; ②若存在唯一实数 ，使 ， ，则 . 证明空间三点共线的思路： （1）存在实数 ，使 成立。 2）对空间任一点 ，有 【例题精讲】 1．在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 2．在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 5．在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 7．（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 8．（多选）如图，正四棱柱中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为 B．当时，的最小值为 C．若直线与所成角为，则动点的轨迹长为 D．当时，三棱锥外接球半径的取值范围是 9．（多选）在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱的中点，点在底面内运动（含边界），且平面，则（   ） A．若，则平面 B．点到直线的距离为 C．若，则 D．直线与平面所成角的正弦值为 题型四 空间向量的共面问题 （1）证明空间三个向量共面常用的方法 证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合， 即若 ，则 共面； （2）对空间四点 ， ， ， 可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ① ②对空间任一点 ，其中 ③ 或 或 【例题精讲】 1．已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 4．已知为空间中四点，任意三点不共线，且 ，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．（多选）下列命题中正确的有（   ） A．向量与向量方向相反 B．正方体的棱长为1，则 C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D．若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 10．（多选）在正四棱锥中，已知分别为的中点，，则下列说法正确的有（    ） A． B．不存在，使得平面 C．若平面 平面，则 D．若四点共面，则 题型五 数量积的应用（求长度、距离及夹角） 线段长度的计算应用公式： . 1．在四面体中，，平面且平面，给出下列三个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．③ B．①③ C．①② D．①②③ 2．如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 3．线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 4．如图是缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，，分别为，的中点，且，，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过，，又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈的长度为（     ） A． B． C． D． 5．在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且与，与的夹角均为，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且.已知的夹角是，，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）在正四棱柱中，，，其中，，，则下列命题正确的是（） A．当时，平面 B．当且时，P点的轨迹长度为π C．当时，二面角正切值的最大值为2 D．当时，的最小值为 9．（多选）已知等腰，，取，中点，，将沿翻折至，使得为正三角形，若底面，则下列说法正确的是（   ） A．四棱锥存在外接球 B． C． D．四棱锥的体积为 10．（多选）如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（    ） A．存在点，使得 B．直线与平面所成的最大角为 C．若不共面，则四面体的体积的最大值为 D．若，则点的轨迹的长为 课时精练 一、单选题 1．在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）      A． B． C． D． 5．在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 7．如图，在三棱锥中，两两垂直，,在棱上，在棱上，在棱上，且 ，平面平面，点为线段上的一个动点（不包括端点），则（    ）    A．4 B．2 C．3 D．不确定 8．如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（   ） A． B．7 C． D．9 二、多选题 9．（多选）若空间向量为非零向量，下列命题正确的有（    ） A．若，则. B．向量在向量上投影向量为. C．若不共线，则共面的充要条件是存在唯一实数对，使得. D．若向量两两夹角相同且是单位向量，则的取值范围为. 10．（多选）将正方形沿对角线折成直二面角，则（   ） A． B．，所成的角为 C．为等边三角形 D．与平面所成角为 11．（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 三、填空题 12．已知二面角的棱上有两点，，若二面角的大小为，且，则__________. 13．已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 14．在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________. 四、解答题 15．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 16．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 17．在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 18．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 19．如图，在直三棱柱中，，，点分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. $1.1空间向量及其运算 题型一 空间向量的概念及线性运算 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A A B B C ABD BC ABCD 题型二 求空间向量的数量积 题号 1 2 3 4 5 7 8 9 10 答案 B D A B BC ABC ACD 题型三 空间向量的共线问题（求参） 题号 2 3 4 5 7 8 9 答案 B B D B B BCD BCD ACD 题型四 空间向量的共面问题 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C B A C AD ABD ACD 题型五 数量积的应用（求长度、距离及夹角） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A B A AC ABD ACD 课时精练 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A B B C B C 二、多选题 题号 9 10 11 1/8 答案 BC ABC AD 三、填空题 12. 【答案】7 【分析】将向量CD分解为CA+AB+BD,利用向量模长公式CDP=CD·CD展开计算，结合二面角的大小 得到向量夹角，进而求出CD的长度. 【详解】由题意可知CD=CA+AB+BD,且AC⊥l,BD⊥1，二面角Q-I-B的大小为3， 放与AB的夹角为号，C丽与D的夹角为。AB与5励的夹角为子 所以CDP=(CA+AB+BDP =|GAP+|AB+|BD2+2CA·A+2CA·BD+2AB·BD =32+62+42+0+2×3×4×c0s2L+0 3 =9+36+16+2×3×4× 因此CD=V49=7. 故答案为：7 A B U 13.【答案】 【详解因为O为底面ABCD内一点，且Pò=入内+号PB+号P心入∈R, 3 所以A+了片1，解得-后则P0-后顾+号历+号元 6 3 2 2/8 又网防=庇防=1×1×cs号号m=1, 可得Pò-P8=侣i+}PB+P心P阳 =i丽++元=子 14.【答案】-4 【分析】设正方体ABCD-A1B,C1D1的中心为O,连接OP,OE,OF,设A,C1nB,D1=O1,连接OO1,由 已知线面关系可证得OP⊥平面BDD1B1,从而可得OP⊥OE,OP⊥OF,根据空间向量的数量积计算 P它·P,从而可得其最小值 【详解】设正方体ABCD-A1BC1D1的中心为O,连接OP,OE,OF,设A1C1nBD1=O1,连接OO1, B Ph:- -F A E B 因为正方体ABCD-A1BCD1中，所以A1C11BD1,BB1⊥平面A1BC1D, 因为A1C1C平面A1BC1D,AC1⊥BB1, 又BB1nB1D1=B1,BB1,B1D1C平面BDD1B,所以A1C1⊥平面BDD1B1, 因为P是棱AA1的中点，正方体ABCD-A1B,C1D1的中心为O, 所以OO1/1A1P,OO1=A1P,则四边形0O1A1P为平行四边形，则A1O11OP, 故OP⊥平面BDD1B1,由于OE,OFC平面BDD1B, 则OP⊥OE,OP⊥OF, 3/8 所以PE.Pi=P0+OP0+O=PO+P0·OF+P0·OE+OE.O元， 因为OP⊥OE,OP LOF,所以PO·OF=PO·OE=0, 因为AB=4,所以PO=2V2,所以P驼.P=8+OE.OF, 因为B,F是矩形BDD1B1内的任意两点，所以OE·OF≥-12，当且仅当E,F为BD1或B1D的两端点时， 等号成立， 则PE·PF=8+OEOF≥-4，即P它·PF的最小值是-4 故答案为：-4. 四、解答题 【容案1+- 31 15. 2)3 【分析】(1)根据空间向量的加减运算求解即可： (2)根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解1(1)=-应=A+AN-应+AC到=A,+号丽-}店-花 =Ai+后恋-号成-a+岩6- (2)依题意，|a=b1=|c=2,ab=b·c=ac=2×2×cos60°=2， 则-0+六++5--- 12 4 3 6 =4+*1+-2-2- 6 3 16. 【答案】)V15 (2)-2 【分析】(1)利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得： 4/8 (2)利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得. 【详解】(1)·AC1=AA1+AB+AD,AB1=AA+AB, .应=A+A=AA++市， 克+*号0-4*41+2*22*3+2*2×5- 2 2 (2)由题意得BA·BE=BAA正-AB, 又由(1)可知A范=AB+号AD+AA, 则函·庇=函·3AD+AA-AB而-ABAA 又AB·AD=0,AB·AA1=2×2×cos60°=2， ∴.BA·B2=0-2=-2. 17.【答案】〔①10 (2)证明见解析 3/17 【分析】(1)由向量数量积的定义计算即可： (2)根据数量积为0证明垂直： (3)由AC=AC-AA=AB+AD-AA,再计算模长即可. 【详解】(1)AA·DC=AA·AB=5×4×cos60=10. (2)证明：因为AA·DB=AAAB-AD=AA'·AB-AA·AD =5×4×c0s60°-5×4×c0s60°=10-10=0， 所以AA⊥DB. (3)因为AC=AC-AA=AB+AD-AA, 5/8 所以AC=AB+AD-AA=AB+AD+AA2+2AB·AD-2AB.AA-2AD·AA, =16+16+25+0-2×4×5× -2×4×5×号=17. 2 所以AC=V17. D A B D B 18【答*1四丽=君-6+， 【分析】(1)根据MN=AN-AM=AA+A1N-AM即可求解： 好好好好好 (2)由题意可得a·b=a·c=b·c=2,根据空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】(1)因为M为BC的中点，N为线段A1B1上靠近A1的三等分点， 所以Aǚ=A恋+A心，AN=}AB=}AB, 所以MN=AN-AM=AA1+A,N-AM =i+号-+心=君丽花+A=君-6+c (2)因为底面边长和侧棱长都等于2，∠BAA=∠CAA1=60°， 所以āi=a=ic=2x2×号=2， 2 2 所以亦= 6 6/8 ×4+1×4+4+1×2-2-1×2 o 1 36 4 6 +1+4+ 1-2-2=5 33 19.【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】(1)连接AC1,设AC1与A1C交于点O,连接DO,根据三角形中位线以及线面平行的判定定理证 明即可； (2)利用己知条件及线面垂直的性质先证明CD⊥B,E,然后利用向量数量积证明B,E⊥AD,最后利用面 面垂直的判定定理证明即可。 【详解】(1)证明：连接AC1,设AC1与A:C交于点O,连接DO,如图所示： E B 因为ACC1A1是平行四边形，所以O是AC1的中点， 又D是AB中点，在△ABC1中，OD是中位线， 所以OD/BC, 因为ODC平面A1CD,BC1a平面A,CD, 所以BC1/I平面A,CD (2)证明：因为D是AB中点，且CA=CB,所以CD⊥AB, 在直三棱柱ABC-ABC1中，AA1⊥平面ABC,CDC平面ABC, 所以AA1⊥CD,又AA1nAB=A,AA1,ABC平面ABB1A, 7/8 所以CD⊥平面ABB1A1, 又B1EC平面ABB1A1,所以CD⊥B,E, 在直三棱柱ABC-A1B,C1中， 因为AB=AA1,所以四边形ABB1A1为正方形， xBE=B A+A E,A D=AA+AD, 且B1A1LA1A,AE⊥AD,E是AA1中点， 设AB=AA1=2,则B1A1=2,AD=1,A1E=1,A1A=2, 所以B,E·AD=B,A,+AEA1A+AD =B1A1A1A+B1A1·AD+A1E·A1A+A1E·AD =0+2×1×c0s180°+1×2×c0s0°+0=0， 所以BE⊥A1D→B1E⊥A1D, 因为A1DnCD=D,A1D,CDC平面A1CD, 所以BE⊥平面A1CD, 又B1EC平面EBC1, 所以平面EB,C1⊥平面A,CD 8/8