1.1 空间向量及其运算【重点•题型】精讲-2026-2027学年高二上学期数学（人教A版选择性必修第一册）

本讲义聚焦空间向量及其运算核心知识点，系统梳理空间向量的概念、线性运算、共线与共面向量、数量积、夹角及模长，从定义到运算再到应用，构建递进式学习支架，帮助学生逐步掌握空间向量的理论与方法。 资料通过多样化题型（如正方体、正四面体模型题），培养学生用数学眼光观察空间形式，借助共线共面定理和数量积运算发展数学思维，用向量语言精准描述几何关系。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题1.1 空间向量及其运算 【知识点一、空间向量的有关概念】 1．空间向量 (1)、定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)、长度或模：空间向量的大小． (3)、表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 【知识点二、空间向量的线性运算】 1.向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2.空间向量的数乘运算 ①、定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②、运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【知识点三、共线向量】 1.定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． 2.方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. 3.共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. 4.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 【知识点四、共面向量】 1.定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． 2.共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 3.空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 4.共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 【知识点五、空间向量的数量积】 1、定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0. 2、常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. 3、数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 【知识点六、夹角问题】 1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 知识点诠释： （1）规定: （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。 2.利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 【知识点七、空间向量的模长】 1.定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 重难点题型1 空间向量的有关概念 1．（2026高二·全国·专题练习）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量共线的判定 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 2．（25-26高二上·天津河北·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 3．（24-25高二上·河南商丘·阶段检测）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假、零向量与单位向量、空间向量的有关概念 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 4．（2026高二下·全国·专题练习）（多选）下列说法错误的是（    ） A．零向量没有方向 B．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 C．若空间向量满足，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念、零向量与单位向量 【分析】根据零向量的性质、向量相等的条件、向量的模与方向关系等知识点，需要逐一分析每个命题是否符合向量的定义和性质. 【详解】零向量的方向是任意的，并不是没有方向，故A错误． 若两个空间向量相等，方向相同，大小相等即可，起点和终点不需要一定相同，故B错误． 根据传递性，选项C显然正确． 对于D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故D错误． 故选：ABD. 5．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】空间向量共线的判定、空间向量的有关概念 【分析】根据共线向量以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC 6．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列命题是假命题的是（    ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量共线的判定 【分析】对于A，根据空间向量的性质分析判断，对于B，根据相等向量的定义分析判断，对于C，根据向量的性质分析判断，对于D，根据共线向量的定义分析判断. 【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，由知，，且与同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B是假命题； 对于C，空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：ABC 重难点题型2 空间向量的线性运算 1．（2026高二·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.88 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【详解】在空间四边形中，， 则. 2．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【详解】. 3．（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示、空间向量的数乘运算、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 4．（多选题）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ） A．； B．； C．； D．． 【答案】ABCD 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用向量加法的运算，对四个式子逐一计算出结果，由此得出正确选项. 【详解】对于A,； 对于B，； 对于C,； 对于D,． 故选：ABCD. 5．（24-25高二下·四川成都·阶段检测）如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，则_______，_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用基底表示向量、空间向量加减运算的几何表示 【分析】由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得、，即可求，再由知，即可求. 【详解】在中，，，则， 在中，，，则， ∵在中，E是CD的中点， ∴，而，即， ∴在中，. ∴直线AE，BF的方向向量分别为、. 故答案为：，. 6．（24-25高二上·河南南阳·阶段检测）如图，在正六棱柱中.    （1）化简：______； （2）化简：______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】由题意，根据空间向量的线性运算分别计算即可求解. 【详解】（1） . （2） 故答案为： 7．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是______.（填序号）. ①；                        ②； ③；                        ④. 【答案】①②③ 【难度】0.94 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据向量的加法运算法则即可逐一求解. 【详解】,,, ,故①②③均正确，④错误， 故答案为：①②③ 重难点题型3 空间向量共线的应用 1．（2026高二·全国·专题练习）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、由空间向量共线求参数或值 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 2．（25-26高二上·广西玉林·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 3．（25-26高二上·吉林·开学考试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 【答案】0 【难度】0.65 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 4．（24-25高三上·河南新乡·阶段检测）如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，动点P满足，当四面体外接球的体积最小时，________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由空间向量共线求参数或值、多面体与球体内切外接问题 【分析】确定球心过线段的中点，且与底面垂直的直线上，再通过直线上的动点与直线上的点间最短距离，求得半径最小值即可求解； 【详解】 由可知点为上的动点， 由正方体性质可知，四面体的外接球球心在过线段的中点，且与底面垂直的直线上， 所以直线与直线平行， 若四面体的外接球体积最小，必须外接球半径最小， 设正四面体的棱长为4，得直线与直线间的距离为， 所以直线上的动点与直线上的点间最短距离为． 故四面体的外接球的半径最小为， 此时，又,则圆心到底面的距离， 所以点到底面的距离， 则符合条件的点有两个所以． 故答案为： 5．（24-25高二上·贵州毕节·阶段检测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则__________ 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案． 【详解】因为三点共线，所以， 因为，，不共面，三点共线， 所以有， 故，解得， 所以． 故答案为：2 重难点题型4 空间向量共面的应用 1．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）若构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判定空间向量共面 【分析】根据空间向量基本定理逐项判断即可． 【详解】对于A，假设，，共面，则存在不全为零的实数，使， 即，则共面与构成空间的一组基底矛盾， 因此，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B不正确； 对于C，因为，所以，，共面，故C不正确； 对于D，因为，所以，，共面，故D不正确； 故选：A． 2．（25-26高二下·江苏·期末）已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.71 【知识点】充要条件的证明、空间中的点（线）共面问题、空间向量共面求参数 【详解】，，， 设， 则，解得， 则“”是“A，B，C，M四点共面”的充要条件. 3．（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：B. 4．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量共面求参数 【分析】根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案. 【详解】由于点P与共面, 三点不共线, 故存在实数，使得， 则, 即， 而，故，解得， 故选：A 5．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）（多选题）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【难度】0.72 【知识点】判定空间向量共面 【详解】对于A，易得，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B错误； 对于C，因为， 所以，，共面，故C错误； 对于D，假设，，共面， 则存在实数，，使得， 因为，，不共面，所以， 该方程组无解，所以假设不成立，故D正确. 6．（25-26高二下·湖南·期中）（多选题）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面 【分析】根据空间向量的基本定理及其推论，以及向量的共面定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以共面，又因为有公共点，所以四点共面； 对于B，因为，所以四点共面； 对于C，因为，所以，即直线和可能异面，四点不一定共面； 对于D，因为，所以，所以四点共面． 故选：ABD． 7．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 【答案】/ 【难度】0.75 【知识点】空间向量共面求参数、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】借助空间向量线性运算及四点共面条件计算即可得. 【详解】由，则， 则， 由A，B，C，P四点共面，则，解得. 8．（2026高二·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平面向量基本定理的应用、空间向量共面求参数、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 9．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】利用空间向量的共面定理建立方程，求解参数即可. 【详解】因为四点共面，所以，解得. 故答案为： 10．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数_____________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】首先把换成以为起点的，整理得到关于、、的线性表达式.，然后用空间四点共面的向量判定定理，的线性组合系数和为1，据此列方程求解. 【详解】已知，得， 四点共面时，系数和为1，即 计算得 故答案为： 重难点题型5 求空间向量的数量积运算 1．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以， 即， 所以， 解得. 2．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】空间向量数量积的应用 【详解】 在直四棱柱中，，， , . 3．（25-26高二下·江苏·期末）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 4．（2026高二·全国·专题练习）在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、求空间向量的数量积、求投影向量 【分析】先建立空间直角坐标系，并用坐标表示向量 和 ，再求出空间向量的点积及模长，最后运用向量在另一向量上的投影向量公式求解即可. 【详解】 设正方体棱长为 ，且 为 中点，并以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， ， 所以， ， 所以向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 5．（25-26高二下·上海·期末）如图，在棱长为1的正方体中，______． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积 【详解】因为，， 所以， ， . 6．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【详解】因为为底面内一点，且， 所以，解得，则， 又， 可得 . 重难点题型6 利用空间向量的数量积，求夹角 1．正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示、空间向量数量积的应用 【分析】根据空间向量的数量积运算和夹角余弦公式计算即可. 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 2．（25-26高二下·江苏·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知O为正方形ABCD的中心，分别为的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由二面角大小求线线角或线面角、空间向量数量积的应用、求二面角 【分析】应用向量夹角求法及数量积的运算律求. 【详解】翻折后如图所示，易知，， 结合已知有，，，， 易知，，设正方形边长为2， 所以，， 所以的值为 故答案为： 4．（25-26高一下·四川攀枝花·阶段检测）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、向量夹角的计算 【分析】先由数量积的定义式结合运算律求出与的点积，再计算其模长，然后由夹角公式计算可得. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故. 故答案为：. 重难点题型7 利用空间向量的数量积，求模长 1．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】由，结合向量数量积的运算即可求解. 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 4．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求空间中两点间的距离、空间向量数量积的应用 【分析】由得，，即得，又，再由，利用数量积的运算即可求解. 【详解】由，，，得，， 得到，又所以， ， ，∴. 4．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知数量积求模、空间向量数量积的应用 【分析】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. 5．（25-26高二下·全国·期末）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】用向量解决线段的长度问题、空间向量数量积的应用 【详解】是平行四边形，是对角线交点， 则， 已知， ， ． 6．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据向量模的运算公式，结合向量数量积的运算律运算求解即可 【详解】解：因为是两两垂直的单位向量， 所以， 所以 故答案为：3． 7．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知二面角的棱上有两点，，若二面角的大小为，且，则__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】将向量分解为，利用向量模长公式展开计算，结合二面角的大小得到向量夹角，进而求出的长度. 【详解】由题意可知，且，，二面角的大小为， 故与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为. 所以 因此. 故答案为： 重难点题型8 综合应用 1．（2026高二·全国·专题练习）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、空间向量共面求参数、空间共面向量定理的推论及应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 2．（25-26高二下·江苏·期中）（多选题）金刚石，俗称“金刚钻”，它是一种由碳元素组成的矿物，是自然界中天然存在的最坚硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示，，若正四面体的棱长为2，则（   ）    A．为四面体外接球的球心 B．正四面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值是 D． 【答案】ACD 【难度】0.66 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求二面角、求空间向量的数量积 【分析】根据正四面体外接球的特征可判断A,B，求出二面角的平面角可判断C，利用数量积的运算公式可判断D. 【详解】对于A，因为，所以为四面体外接球的球心，A正确； 对于B，设底面正三角形的外接圆半径为，则，即， 正四面体的高为，设外接球的半径为，则， 解得，所以正四面体外接球的表面积为，B不正确； 对于C，取的中点 M，连接， 因为和都是正三角形，所以，就是二面角的平面角， 因为，所以，C正确； 对于D，在中，，，由余弦定理可得， 所以，D正确. 3．（2026高三·全国·专题练习）（多选题）已知正四面体的棱长为2，点分别为的中点，则（   ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C． D．该正四面体的内切球体积为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、求空间向量的数量积 【分析】取的中点，利用线面垂直的判定性质判断A；利用定义法求出异面直线夹角余弦判断B；利用空间向量数量积运算律计算判断C；利用体积法求出内切球的半径，进而求出球的体积判断D. 【详解】对于A中，因为点分别为的中点，所以， 取的中点，分别连接， 因为，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以，所以A正确； 对于B，取的中点，连接，因为为的中点，所以， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角所成的角， 因为正四面体的棱长为，可得， 在中，可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为，所以B正确； 对于 C，设向量，则，且， 则， 因为，， 所以， 所以C错误； 对于D，设正四面体的底面正的中心为，连接， 在等边中，可得， 在直角中，可得， 即正四面体的高为， 所以正四面体的体积为， 又由正四面体的表面积为， 设正四面体的内切球的半径为， 根据等体积法，可得，即，解得， 所以内切球的体积为，所以D正确. 4．（25-26高二下·上海·期末）设、、、是空间中互不平行的单位向量，记集合，. 若对于任意不同的、，均有，记中模最小的向量为，则最大值为___________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模、空间向量数量积的应用 【详解】因为是空间中互不平行的单位向量，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即、、两两正交，可构成一组正交基底， 设，， 所以， ， ， 所以， 又， ， 所以，因为， 设，则， 因为，所以，解得， 因此，所以，且，满足最小性. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2026高二·全国·专题练习）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 2．（2026高二·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 3．（2025高二·全国·专题练习）在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】空间向量共线的判定 【分析】直接根据正方体的性质可解. 【详解】如图，在正方体中，. 故选：A. 4．若，，，则､､（    ） A．可组成锐角三角形 B．可组成直角三角形 C．可组成钝角三角形 D．不构成三角形 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量共线的判定 【分析】由共线定理判断是否共线可知. 【详解】由题知， 所以共线 所以､､不构成三角形. 故选：D 5．（2026高二·全国·专题练习）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 6．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、求投影向量 【详解】由，得，因此， 向量在向量上的投影向量， 故B正确. 7．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、空间向量数量积的应用 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 8．（2026高二·全国·专题练习）在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用 【详解】 ， ，，， , ． 9．（25-26高二下·江苏·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】由空间向量的线性运算及数量积运算求解． 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 二、多选题 10．（25-26高二上·全国·期末）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、空间向量的有关概念、空间向量共线的判定 【分析】根据共面向量的定义可判断A选项；利用向量的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项, 【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，若，则和的模相等，方向不一定相同， 若，则和的模相等，方向也相同， 所以是向量的必要不充分条件，故B为真命题； 对于C，向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：AC. 11．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】用定义求向量的数量积、空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用向量的线性运算与数量积定义逐项分析即可. 【详解】对于,由题意得，错误； 对于,，正确； 对于,，正确； 对于,，错误. 故选： 12．（2026·江西·模拟预测）如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（     ）    A．直线与直线所成角为 B．平面平面 C． D．平行六面体的体积为 【答案】BCD 【难度】0.45 【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、证明面面平行、空间向量数量积的应用 【分析】根据题意，可得平面，则，可判断A；根据面面平行的判断定理判断B；根据，则解得，进而求得，判断C；过点作于点，则平面，故为平行六面体的高，求体积判断D. 【详解】连接，∵底面是边长为1的菱形，， 平面平面，， 平面，平面， 平面，，A错误； ，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，同理可知平面， 又平面， 平面平面B正确； 平面平面， ， 则， 即， 又， 设的长度为，故，解得，负值舍去， 又， 故   ， C正确； ， 又， 故，故， 过点作于点，则， 平面平面，， 平面为相交直线， 平面，故为平行六面体的高， 菱形的面积为， 则平行六面体的体积为D正确． 13．（25-26高二上·广东潮州·期末）下列命题中正确的有（   ） A．向量与向量方向相反 B．正方体的棱长为1，则 C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D．若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 【答案】ABD 【难度】0.72 【知识点】坐标计算向量的模、空间向量的有关概念、判定空间向量共面、求投影向量 【分析】根据相反向量的定义可判断A；根据数量积公式，求得的值，即可判断B；根据四点共面的判定，即可判断C；根据投影向量的公式计算即可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以，所以向量与方向相反，故A正确； 对于B，因为在正方体中，两两夹角为， 所以， ， 所以，故B正确； 对于C，若，由于，所以，，，四点不共面，故C不正确； 对于D，因为，向量，的夹角为， 所以向量在向量方向上投影向量的模为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 14．（25-26高二上·青海海南·阶段检测）如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简：______，______，______．    【答案】 【难度】0.94 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据向量的线性运算即可. 【详解】； ； ； 故答案为：；；. 15．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 16．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， 17．（24-25高二上·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为______.    【答案】 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、空间向量数量积的应用 【分析】根据垂直关系可得平面，，根据空间向量数量积求得，，根据夹角公式即可得结果. 【详解】因为平面平面，， 且平面平面，平面，可得平面， 又因为平面，则， 即，，， 则，，且，，， 因为， 则， 即， 又因为， 可得， 所以向量与夹角的余弦值为. 故答案为：. 18．（25-26高二上·江西九江·期末）在平行六面体中，若，，，则______. 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】运用空间向量基底法，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以，即 设， 代入得， 即，解得或（舍去）， 故. 故答案为：1 19．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 【答案】 【难度】0.72 【知识点】空间向量数量积的概念辨析 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在上的投影向量为，模为. 根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在平面内的投影向量为，模为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 空间向量及其运算 【知识点一、空间向量的有关概念】 1．空间向量 (1)、定义：在_______，具有_______和_______的量叫做空间向量． (2)、长度或模：空间向量的_______． (3)、表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：_______，其模记为|a|或||. 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 0 单位向量 相反向量 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 a＝b 【知识点二、空间向量的线性运算】 1.向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2.空间向量的数乘运算 ①、定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向_______； 当λ<0时，λa与向量a方向_______； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的_______倍． ②、运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【知识点三、共线向量】 1.定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做_______或平行向量． 2.方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的_______． 规定：零向量与任意向量_______，即对任意向量a，都有0∥a. 3.共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使_______. 4.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 【知识点四、共面向量】 1.定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． 2.共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使______________ 3.空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有______________. 4.共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 【知识点五、空间向量的数量积】 1、定义：已知两个非零向量a，b，则______________叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为_______. 2、常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. 3、数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 【知识点六、夹角问题】 1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则_______叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 知识点诠释： （1）规定: （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。 2.利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 【知识点七、空间向量的模长】 1.定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：______________ 将其推广： ；。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 重难点题型1 空间向量的有关概念 1．（2026高二·全国·专题练习）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 2．（25-26高二上·天津河北·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 3．（24-25高二上·河南商丘·阶段检测）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026高二下·全国·专题练习）（多选）下列说法错误的是（    ） A．零向量没有方向 B．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 C．若空间向量满足，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 5．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 6．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列命题是假命题的是（    ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则与共线 重难点题型2 空间向量的线性运算 1．（2026高二·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 3．（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ） A．； B．； C．； D．． 5．（24-25高二下·四川成都·阶段检测）如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，则_______，_______． 6．（24-25高二上·河南南阳·阶段检测）如图，在正六棱柱中.    （1）化简：______； （2）化简：______. 7．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是______.（填序号）. ①；                        ②； ③；                        ④. 重难点题型3 空间向量共线的应用 1．（2026高二·全国·专题练习）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二上·广西玉林·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·吉林·开学考试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 4．（24-25高三上·河南新乡·阶段检测）如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，动点P满足，当四面体外接球的体积最小时，________． 5．（24-25高二上·贵州毕节·阶段检测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则__________ 重难点题型4 空间向量共面的应用 1．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）若构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 2．（25-26高二下·江苏·期末）已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 4．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）（多选题）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（25-26高二下·湖南·期中）（多选题）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 8．（2026高二·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 9．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 10．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数_____________． 重难点题型5 求空间向量的数量积运算 1．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 2．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（25-26高二下·江苏·期末）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（2026高二·全国·专题练习）在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·上海·期末）如图，在棱长为1的正方体中，______． 6．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 重难点题型6 利用空间向量的数量积，求夹角 1．正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知O为正方形ABCD的中心，分别为的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为____________. 4．（25-26高一下·四川攀枝花·阶段检测）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 重难点题型7 利用空间向量的数量积，求模长 1．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 5．（25-26高二下·全国·期末）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 6．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． 7．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知二面角的棱上有两点，，若二面角的大小为，且，则__________. 重难点题型8 综合应用 1．（2026高二·全国·专题练习）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 2．（25-26高二下·江苏·期中）（多选题）金刚石，俗称“金刚钻”，它是一种由碳元素组成的矿物，是自然界中天然存在的最坚硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示，，若正四面体的棱长为2，则（   ）    A．为四面体外接球的球心 B．正四面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值是 D． 3．（2026高三·全国·专题练习）（多选题）已知正四面体的棱长为2，点分别为的中点，则（   ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C． D．该正四面体的内切球体积为 4．（25-26高二下·上海·期末）设、、、是空间中互不平行的单位向量，记集合，. 若对于任意不同的、，均有，记中模最小的向量为，则最大值为___________. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2026高二·全国·专题练习）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 2．（2026高二·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 4．若，，，则､､（    ） A．可组成锐角三角形 B．可组成直角三角形 C．可组成钝角三角形 D．不构成三角形 5．（2026高二·全国·专题练习）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 8．（2026高二·全国·专题练习）在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·江苏·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 10．（25-26高二上·全国·期末）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 11．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·江西·模拟预测）如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（     ）    A．直线与直线所成角为 B．平面平面 C． D．平行六面体的体积为 13．（25-26高二上·广东潮州·期末）下列命题中正确的有（   ） A．向量与向量方向相反 B．正方体的棱长为1，则 C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D．若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 三、填空题 14．（25-26高二上·青海海南·阶段检测）如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简：______，______，______．    15．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 16．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 17．（24-25高二上·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为______.    18．（25-26高二上·江西九江·期末）在平行六面体中，若，，，则______. 19．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $