1.3 空间向量及其运算的坐标表示【重点•题型】精讲-2026-2027学年高二上学期数学（人教A版选择性必修第一册）

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，先构建空间直角坐标系（含右手系、点的坐标），再学习点的坐标求法与对称规律，进而系统梳理向量坐标运算（距离、中点、加减数乘、数量积、模长、夹角、平行垂直条件），形成从坐标系建立到向量运算应用的完整学习支架。 该资料按8大重难点题型分层设计，结合正方体等具体模型，通过坐标运算培养空间观念（数学眼光）和逻辑推理（数学思维），用坐标语言精确描述空间关系（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后学生可针对性练习，有效查漏补缺。

专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 【知识点一、空间直角坐标系】 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 【知识点二、空间直角坐标系中点的坐标】 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 【知识点三、空间向量的坐标运算】 1.空间两点的距离公式-若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 2.空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 3.向量加减法、数乘的坐标运算 若，则①; ②;③; 4.向量数量积的坐标运算 若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 5.空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1)、. (2)、. 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 6.空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 用坐标表示空间向量的步骤如下: 重难点题型1 空间直角坐标系中的坐标 1．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】由关于平面对称的点的坐标的特点可得结果. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. 2．（25-26高二·全国·暑假作业）已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标规律为：坐标保持不变，坐标和坐标取相反数，即对称点为， 所以，点关于轴的对称点的坐标是． 3．（2026高二·全国·专题练习）已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.89 【知识点】求空间图形上的点的坐标 【详解】由题，，， 所以，，， 因此点的坐标为. 4．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）（多选题）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【难度】0.68 【知识点】关于点对称的点的空间坐标、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、求空间图形上的点的坐标 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及已知可得，点的坐标为，A选项正确； 点关于点对称的点为，B选项错误； 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为，C选项正确； 点关于平面对称的点为，D选项正确； 5．（2026高二·全国·专题练习）（多选题）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】ABD 【难度】0.89 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【详解】由空间直角坐标系对称性知：点关于轴的对称点是， 点关于平面的对称点是， 点关于轴的对称点是， 点关于原点的对称点是. 所以选项ABD正确，选项C错误. 6．（25-26高二下·甘肃天水·阶段检测）点关于平面对称的点的坐标是________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的规律为：横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为原坐标的相反数. 【详解】已知点，横纵坐标不变，竖坐标取反得，因此所求对称点的坐标为. 重难点题型2 空间向量的加法、减法与数乘 1．（25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测）已知点，，若，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】设点，利用关系列出方程即可求解. 【详解】设点，则，, 由于，所以，解得：，所以点C的坐标为 故选：B 2．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量的坐标运算计算即可. 【详解】空间向量，则. 故选：D. 3．（25-26高二下·河南开封·开学考试）若向量，，则（    ） A．12 B．8 C．5 D．1 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据空间向量数量积的公式计算即可. 【详解】因为向量，， 所以. 4．已知向量，，，若，则实数______________． 【答案】11 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算 【详解】由题可得，，，解得，，．故填． 重难点题型3 空间向量的数量积 1．（25-26高二下·福建漳州·期中）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 2．（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用、求投影向量 【分析】由投影向量的定义，结合空间向量公式计算可求结果. 【详解】因为向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B． 3．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据投影向量的计算公式求解出结果. 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 故选：B. 4．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、空间向量模长的坐标表示、求投影向量 【分析】先求投影向量，再求模即可. 【详解】因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为：， 所以向量在向量上的投影长为：. 5．（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知，，则______. 【答案】22 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以. 故答案为：22. 6．（25-26高二上·海南儋州·期末）已知空间三点，，，则向量在向量上的投影向量的模为______. 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用、求投影向量 【分析】先求得和的坐标，再根据投影向量的模的公式求解即可. 【详解】空间三点，，， 则有，，， 所以，向量在向量上的投影向量的模为0. 故答案为：0 7．（25-26高二上·安徽安庆·期中）向量在向量上的投影向量的模为_____. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用、求投影向量 【分析】根据投影向量的概念，在上的投影向量为，再计算模长即可． 【详解】向量在向量上的投影向量为， 所以投影向量的模为． 故答案为：． 8．（25-26高二上·四川成都·期中）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为___________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据投影向量的求法，代入即可求得答案. 【详解】向量在向量方向上的投影向量为 . 故答案为： 重难点题型4 空间向量中模的计算 1．（2026高二·全国·专题练习）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示求出的值，可求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为，，且，则，解得， 所以，故，故， 故选：B. 2．（2026高二·全国·专题练习）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 3．（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知向量满足，，，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量数量积的应用、空间向量的数乘运算 【分析】由共线向量可设，再由数量积运算即可求解． 【详解】由，，得， 由得，，得，则， 得， 故选：C 4．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）设，，，，且，，____ ． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】空间向量模长的坐标表示、向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】先求出的值，再写出的坐标，进行计算即可. 【详解】因为⊥，所以， 解得，可得， 又因为，且， 所以，解得，，则， 又因为，所以， 由模长公式得． 5．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，若，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，可得出向量的坐标，再利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为空间向量，，且， 则，解得，， 所以，故. 6．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】由空间向量的减法运算及模运算求解. 【详解】,则. 故答案为: 7．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）已知向量，，则在方向上的投影向量是______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量数量积的应用 【分析】应用投影向量的定义求在方向上的投影向量. 【详解】由在方向上的投影向量是. 故答案为： 8．（2026高二上·广东·专题练习）已知_______ 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据向量坐标化运算和向量模的坐标运算即可得到答案. 【详解】， 则. 故答案为：5. 重难点题型5 空间向量中夹角的计算 1．（25-26高二下·全国·期末）已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.9 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量夹角余弦的坐标表示 【详解】由，，得， 又均不为，所以与的夹角为． 2．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据模长坐标公式及空间向量数量积坐标公式计算夹角余弦值求解参数. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得. 故选:B. 3．（25-26高二上·福建泉州·期末）在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.76 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、求异面直线所成的角 【分析】建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，利用空间向量的数量积计算即可. 【详解】如图， 设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 为的中点， ， ， ， ， 设异面直线与所成的角为， ， 即与所成的角的余弦值为. 故选：C 4．（2026高二·全国·专题练习）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】由向量的夹角公式结合向量的数量积与模长公式进行计算即可. 【详解】因为，则有， ， 解得，由题得，故. 故选：B 5．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，，，则与所成角的大小为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量夹角的公式即可得解. 【详解】由题意知，，， 设与所成角为， 则， 因为，所以， 所以与所成角的大小为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知向量，求______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量夹角坐标公式计算即可. 【详解】由题意得，， 所以. 故答案为： 7．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量共线的判定、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用数量积大于0求解，即可去除同向共线时的情况求解. 【详解】若，则， 当时，则，解得，此时，方向相同， 故的夹角为锐角时，且， 故答案为： 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，且，则______. 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】由空间向量夹角公式代入计算即可. 【详解】由题意得，， 整理得且，则. 故答案为：2 重难点题型6 空间向量平行的坐标表示 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 2．（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知向量与平行，则x，y的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，所以. 故选：B. 3．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知，若与平行，则（   ）． A．2 B．1 C．6 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及共线向量的坐标表示求解. 【详解】由，得，， 而与平行，则，所以. 故选：C 4．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知．若点共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】根据共线得到方程，求出，再求出，得到模长. 【详解】因为点共线，所以与共线， 所以，解得，， 故，， . 故选：B. 5．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）向量与共线，则_____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得解. 【详解】因为向量与共线，设，即， 所以，解得，故. 故答案为：. 6．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）已知空间向量，，若，则_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】由向量平行得到存在实数使得，进而建立关于的方程组求解参数，再根据空间向量的模的坐标公式计算得到答案. 【详解】已知空间向量，，若，则， 即，有，解得， 所以，则， 故答案为： 7．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知空间中三点共线，则的值为____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据题意，求得，由，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】由空间三点，可得， 因为三点共线，则存在实数，使得， 可得，解得，所以. 故答案为：. 8．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期中）已知空间向量，.若，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量共线的坐标表示可得出关于、的方程，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为空间向量，，且， 所以，解得，，故. 故答案为：. 重难点题型7 空间向量垂直的坐标表示 1．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 2．（25-26高二下·广东广州·期中）已知向量．若，则（   ） A． B．4 C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【详解】由题意，，即. 3．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示 【分析】先求出和的坐标，由两向量垂直得其数量积为零，从而求出的值. 【详解】由已知得. 因为， 所以，解得． 故选：C. 4．（25-26高二下·宁夏中卫·开学考试）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】根据向量垂直则向量的数量积为零，结合向量的坐标运算计算即可. 【详解】，因为，故， 得，解得. 故选：B. 5．（25-26高二下·上海·期末）已知向量，向量，若，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标运算 【详解】因为，所以， 即，解得. 6．（25-26高二上·贵州黔南·期末）已知空间向量，若，则___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算求解即可. 【详解】由题可得． 由，可知， 即，解得， 则，则． 故答案为： 7．（25-26高二上·湖南娄底·期末）已知空间向量，，且，则实数的值为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】计算得到，根据计算可得结果. 【详解】由题意，， 因为，所以，即， 化简可得，所以. 故答案为：. 8．（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）已知向量,，若与垂直，则实数k=______. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】由与垂直，得与的数量积为0，进而求出实数k的值. 【详解】因向量，，则，. 因为与垂直，所以， 即，整理得：，解得，或. 当时，，， 此时，即与垂直； 当时，，， 此时，即与垂直. 故答案为：或. 重难点题型8 综合应用 1．（2026高二·全国·专题练习）正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.64 【知识点】立体几何中的轨迹问题、空间位置关系的向量证明、空间向量垂直的坐标表示、求空间中两点间的距离 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段，进而求解即可. 【详解】以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 所以，设点， 所以， 由， 所以，所以， 又，所以， 所以点的轨迹为平面上的线段：，即图中线段， 所以. 2．（25-26高二上·甘肃武威·阶段检测）在正方体中，以D为圆心，正方体棱长为半径，分别在正方形ABCD和正方形内画圆，点M为弧AC上任一点，点N为弧上任一点，点M，N到平面的距离相等，且，则___________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】设正方体棱长为1，建系，由题意可设，则所求问题转化成向量夹角的余弦值，即，根据已知求n即可． 【详解】设正方体棱长为1，建系，由题意设，则, ∵和都是单位向量， ． ， 又 ． ． 答案：或 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【详解】∵ 空间直角坐标系中，点关于平面对称时，纵坐标与竖坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数. ∴ 点关于平面的对称点坐标为 2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算 【分析】由向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：B 3．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】直接根据投影向量的公式计算. 【详解】由投影向量的公式，在上的投影向量为. 故选：A 4．（2026高二·全国·专题练习）已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【分析】根据空间向量的模的计算公式求解即可 【详解】由题知，因为，所以， 解得 5．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   6．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 7．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 【答案】A 【难度】0.9 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【详解】由题意得，解得. 8．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、用空间基底表示向量、空间向量的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】 以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 二、多选题 9．（25-26高二下·河南许昌·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 【答案】AB 【难度】0.7 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据共线向量的坐标表示即可判断B；根据向量夹角的坐标表示即可判断C；对D，根据点在平面的投影可得点，由向量模长公式计算可判断D. 【详解】对于A，，，因为， 则，解得，故A正确； 对于B，，，则是直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，易知点在平面内的射影为， 可知，所以，故D错误. 10．（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．平面 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、球的表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】对于A，根据等积变换可求三棱锥的体积；对于选项B，可用反证法说明；对于选项C，可通过建立空间直角坐标系求出外接球的半径，从而得出表面积；对于选项D，作出过三点确定的平面与正方体相交形成的截面，进而求得截面的周长. 【详解】对于A，三棱锥的体积，故A正确； 对于B，因为，所以与不垂直， 所以与平面不可能垂直，故B错误； 对于C，坐标法：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设外接球的球心为，则 ， ， ， 求得，故C正确； 对于D，如图，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形为的中点（平行则四点共面）， 等腰梯形的周长为，D正确. 故选：ACD 三、填空题 11．（2026高二·全国·专题练习）点关于坐标平面对称的点的坐标是__________. 【答案】 【难度】0.95 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【详解】在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标规律是： 坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数 按照这个规律，对称点的坐标为． 12．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在空间直角坐标系中，，，，且，则___________． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量垂直得出数量积为0，再应用空间向量数量积坐标运算公式求解. 【详解】在空间直角坐标系中，，，，则， 又因为，所以，所以. 故答案为：1. 13．（25-26高二上·河北保定·期中）若向量，，，则的值为___________ 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示，以及空间向量数量积的坐标表示，求出结果. 【详解】因为，，所以， 因为，所以. 故答案为：5. 14．（25-26高二下·福建漳州·期中）已知，，则在上的投影向量为________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求投影向量 【详解】，， 在上的投影向量为. 15．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知向量，若，则________． 【答案】 【难度】0.93 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【详解】因为，所以， 即， 解得，则． 16．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【难度】0.72 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 17．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知向量，，若与共线，则的值为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】利用空间向量共线则相应坐标成比例，列方程即可求解. 【详解】因为向量与共线， 所以，解得. 故答案为： 18．（2026·河北·三模）已知空间向量，，且.则________. 【答案】 【难度】0.9 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【详解】因为，，且，所以，整理得，解得. 19．（25-26高二下·上海·期末）已知圆锥的半径为3，点为底面圆周上任意一点，点为圆锥侧面（不含边界）上任意一点，则的取值范围为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用空间坐标法求数量积后可得结论. 【详解】以为轴，为轴，底面上与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设圆锥的高为， 则，设，则， ，由得， 所以的取值范围为    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 【知识点一、空间直角坐标系】 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的_____________，y叫做点A的_____________，z叫做点A的_____________. 【知识点二、空间直角坐标系中点的坐标】 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是_____________； 点关于横轴(x轴)的对称点是_____________； 点关于纵轴(y轴)的对称点是_____________； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是_____________； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是_____________. 【知识点三、空间向量的坐标运算】 1.空间两点的距离公式-若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 2.空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为_____________. 3.向量加减法、数乘的坐标运算 若，则①; ②;③; 4.向量数量积的坐标运算 若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 5.空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1)、. (2)、. 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 6.空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 用坐标表示空间向量的步骤如下: 重难点题型1 空间直角坐标系中的坐标 1．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·全国·暑假作业）已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高二·全国·专题练习）已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）（多选题）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 5．（2026高二·全国·专题练习）（多选题）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 6．（25-26高二下·甘肃天水·阶段检测）点关于平面对称的点的坐标是_____________． 重难点题型2 空间向量的加法、减法与数乘 1．（25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测）已知点，，若，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南开封·开学考试）若向量，，则（    ） A．12 B．8 C．5 D．1 4．已知向量，，，若，则实数______________． 重难点题型3 空间向量的数量积 1．（25-26高二下·福建漳州·期中）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知，，则______. 6．（25-26高二上·海南儋州·期末）已知空间三点，，，则向量在向量上的投影向量的模为______. 7．（25-26高二上·安徽安庆·期中）向量在向量上的投影向量的模为_____. 8．（25-26高二上·四川成都·期中）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为___________. 重难点题型4 空间向量中模的计算 1．（2026高二·全国·专题练习）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二·全国·专题练习）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 3．（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知向量满足，，，则（   ） A． B．2 C． D．4 4．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）设，，，，且，，____ ． 5．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，若，则________． 6．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知，则______. 7．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）已知向量，，则在方向上的投影向量是______. 8．（2026高二上·广东·专题练习）已知_______ 重难点题型5 空间向量中夹角的计算 1．（25-26高二下·全国·期末）已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 3．（25-26高二上·福建泉州·期末）在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二·全国·专题练习）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，，，则与所成角的大小为______． 6．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知向量，求______． 7．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是____________． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，且，则______. 重难点题型6 空间向量平行的坐标表示 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 2．（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知向量与平行，则x，y的值分别为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知，若与平行，则（   ）． A．2 B．1 C．6 D．3 4．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知．若点共线，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）向量与共线，则_____. 6．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）已知空间向量，，若，则_____. 7．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知空间中三点共线，则的值为____________. 8．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期中）已知空间向量，.若，则__________. 重难点题型7 空间向量垂直的坐标表示 1．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 2．（25-26高二下·广东广州·期中）已知向量．若，则（   ） A． B．4 C．1 D． 3．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（25-26高二下·宁夏中卫·开学考试）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·上海·期末）已知向量，向量，若，则__________. 6．（25-26高二上·贵州黔南·期末）已知空间向量，若，则___________． 7．（25-26高二上·湖南娄底·期末）已知空间向量，，且，则实数的值为______． 8．（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）已知向量,，若与垂直，则实数k=______. 重难点题型8 综合应用 1．（2026高二·全国·专题练习）正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高二上·甘肃武威·阶段检测）在正方体中，以D为圆心，正方体棱长为半径，分别在正方形ABCD和正方形内画圆，点M为弧AC上任一点，点N为弧上任一点，点M，N到平面的距离相等，且，则___________． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 3．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二·全国·专题练习）已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 5．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 7．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 8．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·河南许昌·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 10．（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．平面 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 三、填空题 11．（2026高二·全国·专题练习）点关于坐标平面对称的点的坐标是__________. 12．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在空间直角坐标系中，，，，且，则___________． 13．（25-26高二上·河北保定·期中）若向量，，，则的值为___________ 14．（25-26高二下·福建漳州·期中）已知，，则在上的投影向量为________． 15．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知向量，若，则________． 16．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 17．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知向量，，若与共线，则的值为________． 18．（2026·河北·三模）已知空间向量，，且.则________. 19．（25-26高二下·上海·期末）已知圆锥的半径为3，点为底面圆周上任意一点，点为圆锥侧面（不含边界）上任意一点，则的取值范围为___________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $