精品解析：江西省重点中学盟校2025-2026学年高二下学期期末测试数学试题

2025～2026学年下学期高二年级期末测试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知：. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，则，即，则，得或， 所以，所以， 所以. 3. 已知向量，，若在上的投影向量为，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】.， 由题意得在上的投影向量为，所以. 4. 已知，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：若，由，可得；若，由，可得， 不满足充分性，故A错误； 选项B：根据函数的单调性知，“”是“”的充要条件，故B错误； 选项C：由，可得；不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 选项D：“”不能得出，也不能推出， 故是的既不充分也不必要条件，故D错误． 5. 安排A，B，C等5人周一到周五值班，每人值班1天，每天安排1人，则A周一不值班，B或C周五值班的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】总的值班排法有种，A不值周一，B或C值周五的安排方法有种，故所求概率为. 6. 已知双曲线：的渐近线与圆：相切，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 由渐近线与相切，得，所以， 所以的离心率. 7. 一种药在病人血液中的量不低于150mg有疗效，现给某病人静脉注射这种药250mg.若该药在血液中以每小时20%的比例衰减，为保持疗效，再次向病人的血液中注射这种药的最大时间间隔约为（ ）（精确到0.1小时，参考数据，） A. 5.6小时 B. 4.6小时 C. 3.8小时 D. 2.2小时 【答案】D 【解析】 【详解】设应该间隔小时再次向病人血液中补充这种药，由题意知，所以，两边取以10为底的对数，得， 所以， 因需保证药物量不低于150mg，故对结果向下取近似值，得2.2小时. 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：作辅助线，可得，设，可得，结合对勾函数性质求取值范围；解法二：利用正弦定理可得，令，结合题意可得，即可得结果. 【详解】解法一：因为，即， 作，垂足为，则， 过作直线，分别作，，垂足分别为E，F， 因为为锐角三角形，所以点C在线段上运动， 且不能与E，F和线段的中点重合（当点C为的中点时，边上的中线，）， 点在从E到F的运动过程中，b由小变大，而a由大变小， 所以从E到F的运动过程中由小变大， 所以，且， 设，则，且， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 所以的取值范围为； 解法二：因为，由正弦定理得，， 则 ， 由，得， 即. 两边同除以得， 所以. 因为是锐角三角形，所以，，， 则，可得，，其中为锐角， 则，可得， 令，则，， 因为，可得， 即， 所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市为了解市内小微企业的经营发展情况，调查统计了市内500家小微企业的月收入（单位：万元）数据，企业月收入均在内，分组区间为，，，，，，，并制成如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 图中的值为0.025 B. 估计这些小微企业的平均月收入约为45万元 C. 估计这些企业月收入的中位数为42 D. 这500家小微企业中，估计月收入在内的有75家 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题意，得，解得，故A正确； 0.05×15+0.2×25+0.2×35+0.25×45+0.15×55+0.1×65+0.05×75=42.5，故B错误； 因为，，所以中位数在40～50间， 设中位数位，则，解得，故C正确； 0.1+0.05=0.15，所以估计月收入在内的小微企业有（0.1+0.05）×500=75家，故D正确. 10. 如图，在圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，过该圆锥两条母线的平面截圆锥所得截面的面积记为，若，，则（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 的最大值为 D. 三棱锥内切球的半径为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用锥体侧面积公式计算，判断选项A；利用几何法求出与平面所成的角及相关线段长度，进而求出余弦值，判断选项B；利用几何法得出当截面两条母线夹角为直角时，最大，并求出最大值，判断选项C；求出三棱锥各面面积，利用等体积法计算求出内切球半径，判断选项D． 【详解】由题意知圆锥的侧面积为，故A正确； 取的中点，连接，， ,是中点，故，由圆锥的性质可知， ，故平面， 又平面，故平面平面， 所以为与平面所成的角， ，， 所以， 所以，故B正确； ，， 故， 所以当截面两条母线夹角为直角时，S最大，且，故C错误； 设三棱锥的内切球的半径为， ，所以，，， 又， 所以，故D错误． 11. 已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且，，则（ ） A. B. C. 存在极值点 D. 仅有1个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，利用已知判断的单调性，进而可判断A；当时，，计算可得；同理判断和的情况判断BD；取可判断C. 【详解】令， 因为为奇函数，所以， 所以，所以为奇函数. 对，， 所以在上单调递减， 又因为为奇函数，，所以在上单调递减， 所以，即，所以，故A正确； 当时，， 又，所以，所以； 当时，； 当时，，即， 又，所以，所以， 综上所述，，仅有1个零点，故BD正确； 当时满足题意，但无极值点，故C错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的常数项是_________.（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项． 【详解】展开式的通项公式为， 令，求得，可得展开式中的常数项为， 故答案为：60． 13. 若函数在区间上仅有两个零点，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由，得，再根据正弦函数的性质得到，求解即可. 【详解】设，由，得， 要使在区间上仅有两个零点， 结合函数的图象，得，解得. 14. 在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，将A，B的坐标分别代入C的方程， 法一：消去，得出，由椭圆的性质得到，，进而得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法二：消去，得，根据，得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法三：分直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时，设直线，的方程分别为，，将直线与椭圆方程联立，求出，，得到，令，则，求出，由，得到，最后根据椭圆的离心率求解. 【详解】由题意，设，， 将A，B的坐标分别代入C的方程，得 法一：消去，可得，由椭圆的性质，得，，得， 整理得，即，又， 所以，故C的离心率的取值范围为. 法二：消去，可得，解得，考虑到，可得，即，下同法一. 法三：当直线斜率不存在，即，时，显然有； 当直线斜率存在时，设直线，的方程分别为，， 由与联立，解得，则， 所以，同理， 所以. 令，则，所以，解得， 由，解得， 所以，， 又，所以. 故的离心率的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在不透明的盒子中装有大小和质地相同的3个红球和5个黑球. （1）从盒子中随机摸出1个球，观察其颜色后放回，并同时再放入2个与其颜色相同的球，然后再从盒子中随机摸出1个球，求第二次摸出的球是黑球的概率； （2）从盒子中不放回地依次摸出3个球，记这3个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列为 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求概率； （2）由题意可知：所有可能的取值为0，1，2，3，由超几何分布求分布列和期望值. 【小问1详解】 记“第一次摸出的球为红球”为事件，“第一次摸出的球为黑球”为事件，“第二次摸出的球为黑球”为事件B， 则，，，， 由全概率公式可得. 【小问2详解】 由题意可知：所有可能的取值为0，1，2，3， 则，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. 16. 在数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式得数列是等差数列，进而求出通项公式； （2）利用错位相减求和法求解； （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 由，得， 又，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，所以. 【小问2详解】 ， 两边同乘以2，得， 两式相减，得， 所以. 【小问3详解】 由（2）知，所以， 所以 17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，E，F分别是棱，的中点，M为棱上一点，平面，. （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）取棱的中点，连接，，则，且， 因为为的中点，四边形是正方形，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）取棱的中点，连接，，可证明四边形为平行四边形，可得，进而可证结论. （2）以为坐标原点，直线，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设，求得平面与平面的法向量，利用向量法可得，进而可得结论. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意可得直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， 设，则，，，. 设平面的一个法向量，则，即， 令，解得，，所以， 设平面的一个法向量，则，即， 令，解得，， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得，或（舍）， 所以，所以. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求在上的最大值； （3）若，，证明：. 【答案】（1） （2） （3）由（2）知当时，，当且仅当时取等号， 所以对，， 所以，当且仅当时取等号. 令，得， 所以，，，…，， 上面各式两边分别相加，得 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求曲线在点处的切线方程； （2）求导可得对恒成立，可求最大值； （3）由（2）可得，令，可得，进而可证结论. 【小问1详解】 当时，， 由题意知，的定义域为，且， 所以， 又，所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，， 的定义域为，且， 当时，，，， 所以，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增，所以. 【小问3详解】 略. 19. 已知抛物线：的焦点为，点为上一点，且，过点的直线与及圆依次交于A，D，B，C四点，如图所示. （1）求E的方程； （2）求的值； （3）过A，D两点分别作的切线，，记，求与的面积之和的最小值. 【答案】（1） （2）9 （3）18 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义直接求解即可； （2）求出抛物线的焦点坐标，设直线：，设点，，将直线方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用抛物线的定义并结合韦达定理证明即可； （3）求出切线与的方程，并将两切线方程联立得出交点的坐标，并计算出点到直线的距离，可计算出与的面积和，换元，利用导数法求出最小值. 【小问1详解】 因为在上，且， 由抛物线的定义，得，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 由（1）得，圆的方程为， 设直线：，，， 由消去并整理，得， 显然判别式，，， ，， 所以. 【小问3详解】 设切线的方程为， 代入的方程，得. 又，所以， 则，解得. 所以的方程为， 同理可求切线的方程为， 与的方程联立，解得，，所以. 故点到直线：的距离， 所以 . 令，则， 令，则，在上单调递增， 所以， 所以与的面积之和的最小值为18. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年下学期高二年级期末测试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若在上的投影向量为，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 安排A，B，C等5人周一到周五值班，每人值班1天，每天安排1人，则A周一不值班，B或C周五值班的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线：的渐近线与圆：相切，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 一种药在病人血液中的量不低于150mg有疗效，现给某病人静脉注射这种药250mg.若该药在血液中以每小时20%的比例衰减，为保持疗效，再次向病人的血液中注射这种药的最大时间间隔约为（ ）（精确到0.1小时，参考数据，） A. 5.6小时 B. 4.6小时 C. 3.8小时 D. 2.2小时 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市为了解市内小微企业的经营发展情况，调查统计了市内500家小微企业的月收入（单位：万元）数据，企业月收入均在内，分组区间为，，，，，，，并制成如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 图中的值为0.025 B. 估计这些小微企业的平均月收入约为45万元 C. 估计这些企业月收入的中位数为42 D. 这500家小微企业中，估计月收入在内的有75家 10. 如图，在圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，过该圆锥两条母线的平面截圆锥所得截面的面积记为，若，，则（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 的最大值为 D. 三棱锥内切球的半径为 11. 已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且，，则（ ） A. B. C. 存在极值点 D. 仅有1个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的常数项是_________.（用数字作答） 13. 若函数在区间上仅有两个零点，则的取值范围为_______. 14. 在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在不透明的盒子中装有大小和质地相同的3个红球和5个黑球. （1）从盒子中随机摸出1个球，观察其颜色后放回，并同时再放入2个与其颜色相同的球，然后再从盒子中随机摸出1个球，求第二次摸出的球是黑球的概率； （2）从盒子中不放回地依次摸出3个球，记这3个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望. 16. 在数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，E，F分别是棱，的中点，M为棱上一点，平面，. （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求在上的最大值； （3）若，，证明：. 19. 已知抛物线：的焦点为，点为上一点，且，过点的直线与及圆依次交于A，D，B，C四点，如图所示. （1）求E的方程； （2）求的值； （3）过A，D两点分别作的切线，，记，求与的面积之和的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $