四川广元市2025-2026学年下学期高一期末综合素养测评数学试题

2026年春季普通高中一年级期末综合素养测评 数学参考答案及评分意见 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：（每小题5分，共40分) 1.C;2.A;3.C;4.B;5.C;6.D;7.B;8.D 二、多选题：（每小题6分，共18分) 9.AC:10.ABD:11.BCD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分) 三、填空题：（每小题5分，共15分) 12.√2； 13 27； 14.2+V2 四、解答题：（本大题共5小题，共77分） 15.（本小题满分13分) 解：(1)设A=“任选一道题，甲答对”，B=“任选一道题，乙答对”，C=“任选一道题，丙答对”， 则由古桌概型概率计算公式得：品；P)8子(c)分3分 所以有：P(A=名，P(),P©)=1- 20 记D=“甲、乙两位同学恰有一人答对”， 则有D=ABUAB,且有AB与AB互斥， 因为每位同学独立作答，所以A,B互相独立，则A与B,A与B,A与B均相互独立， 所以P(ABUA)=PHB+paB)=Pap@+PapB)=2x2+x=13 555525 13 所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率 25 …6分 (2)记E=“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则E=ABC, 所以P(E)=1-P(E)=1-PABC=1-P(A)P(⑧)P(C) 11分 解得：n=10.… …13分 16.(本小题满分15分) 解：（1)在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1， 数学试题参考答案第1页共5页 则(2a+3a+7a+6a+2a)×10=200a=1,解得a=0.005 … 3分 (2)前两个矩形的面积之和为(2a+3a)x10=50a=0.25<0.5, 前三个矩形的面积之和为(2a+3a+7a)×10=120a=0.6>0.5, 设该年级学生成绩的中位数为，则m∈(70,80)，…5分 根据中位数的定义可得0.25+(m-70)×0.035=0.5,解得≈77.14， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为7714.… …9分 (3)这10名学生中成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为×85+×95=87.5，…12分 根据样本方差估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为 引12+(875-85j]+410+(875-95j]=3025. …15分 17.（本小题满分15分) 解：(1)因为四边形ABCD为矩形， 所以BC∥AD, 所以PM-M-BM2 PA AD BC 3 所以AP=3M,… 。g。。。g。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。g。。。。。。。。。。。。。 …2分 51 所以--丽+西-C西+8G)丽+号4c网-店+4c, 所以元=1》 2 5 …6分 4 所以21+4= …7分 (2)建立如图所示的平面直角坐标系， y 根据题意有B(0,0),A(0,3),D3V3,3),M(2W3,0), 8分 所以BD=(3V3,3),AM=(2W3,-3),… 9分 由图有∠MPN=<BD,AM>,… 11分 数学试题参考答案第2页共5页 所以cos∠MPN=cos<BD,AM> BD.AM 18-921 BD AM 6×√2114· 所以MPN的余弦值为V可 15分 14 (注意：本题第（1)问如果学生构造等和线求解或通过坐标运算求解等都给分，第(2)问通 过选择基底求数量积、模或者解三角形、和差公式求解等方法均给分) 18.(本小题满分17分) 解：(1)如图所示，连接BC,DC,BD D M C F,G,M,N分别是棱BC,BB,DC1,CC1的中点 所以FG∥CB1,MN∥CD, 所以直线GF与N所成的角为∠BCD,…1分 因为B,C,BD,DC分别是正方体面的对角线， 所以△B1DC为等边三角形 所以∠AC0=骨 即直线GF与MW所成角的大小为？ …4分 (2)如图所示，连接AC, M C B1 D E,F,G分别是棱AB,BC,BB,的中点 数学试题参考答案第3页共5页 所以EG∥AB1,FG∥B,C, 6分 因为EGT面AB,C,AB,C面ABC, 所以EG∥面ABC,同理FG∥面AB,C,… …8分 因为EGC面EFG,FGC面EFG,EG∩FG=G, 所以面EFG∥面ABC, 因为K∈AB1,AB1C面ABC, 所以CKC面ABC, 所以CK∥面EFH 10分 （3)如图所示，连接BC1,F,ME, D M C D F,N分别是棱BC,CC的中点 所以PW11BC,PN=1BC E,M分别是棱AB,DC的中点， 所以EM/BC1, 所以EM∥N且EM≠FN, 所以EF与W相交，…I2分 设EF∩N=O, 因为E∈AB,F∈BC,.ABC面ABCD,BCC面ABCD, 所以EFC面ABCD, 同理MNc面DCD,C1, 所以O是面ABCD和面DCDC1的公共点， 15分 因为面ABCD∩面DCDC1=CD, 数学试题参考答案第4页共5页 所以O点在CD上， 所以直线EF,DC,MN相交于一点.…17分 19.（本小题满分17分) 解：(1)sin∠ABD:sin∠ADB:sin∠BAD=3:5:7, 由正弦定理可得：AD:AB:BD=3:5:7, 设AD=3k,AB=5k,BD=7k,…1分 由余弦定理可得c0s∠BAD=1B+AD2-BD_25k2+92-42-15k 1 30k …3分 2AB·AD 2×3k×5k 在△ABC中，∠BADE(0,,可得∠BAD=2T …4分 3 (2)由正弦定理可得，BD =2R=2, sin∠BAD 所以BD=2x5=5,AD=35 2 $6 …6分 7 由四边形有外接圆可知∠BCD= 3 …7分 在△BCD中设BC=m,CD=n, 由余弦定理得3=+n-1cos写=m+i-1≥2m-m 即n≤3， 当且仅当m=n取等号，(n)ax=3,… 。。。。。。。。。。。。。。 …9分 S.BcD= ,π 3V3 -mn sin- -n≤ 34 4 △BCD面积的最大值5 10分 (3)由托勒密定理得ACBD=ABCD+BCAD, 即lAc|=5n+3m ,,平方得4c= 25n2+9m2+30mn …12分 49 设A=,HC BC.CD 所以1= 25n,9m,30、30 22560 +2, 9m+49n+49249+2√49=49 …15分 当且仅当90=25且m+r-m1=3, 49n49m 即m=5V57 3V57 ,n= 时取等号， …… 19 19 …16分 所以入的最小值为)，即1C 的最小值为0 …17分 BC.CD 数学试题参考答案第5页共5页2026年春季普通高中一年级期末综合素养测评 数学 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，务必将自己的姓名、座位号、班级和考籍号填写在答题卡规定的位置上。 3.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 4.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 5.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 6.考试结束后，只将答题卡交回。 第I卷（选择题，共58分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.若i是虚数单位，则i2026=() A.1 B.i c.-1 D.-i 2.已知平面向量ā=(-2,3)，b=(4,1),则ab=() A.-5 B.-11 C.5 D.11 3.某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训 的成效，采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则 小学教师应抽取的人数为() A.6 B.16 C.22 D.28 4.已知圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形，则该圆柱侧面积为() A.16元 B.16π2 C.32π D.32π2 5.设：∈C,在复平面内=对应的点为Z,则满足1<<2的点Z的集合对应图形的面积为 () A.π B.2元 C.3元 D.4π 6.已知，为不同直线，a,B为不同平面，下列命题正确的是() A.若m/n,ncc则n/ B.若a上B,a∩B=1,m⊥1，则m⊥B C.若m/1a,n//a,则m/1n D.若⊥，n/1a,则m⊥n 高一数学第1页（共4页) 7.某人在C点观察河对岸的建筑物PB(B,C在同一水平面上，P,A,B在同一铅垂线上)， 已知在C点观察建筑物上的A点和P点的仰角分别为15°和60°，AP=200,则 BC=() A.50W5 B.50(5+1 C.100W3 D.100(5+1 8.将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角A-BD-C的大小为 120°，连接AC,得到四面体ABCD,则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比 为( ) A. 8 B.3π c.23 D. 85 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.对于平面非零向量ā，b,c,下列命题正确的是() A.园与是否相等和ā，6的方向无关 B.a.6=b.c→a=b c.alb→a.b=(a.) D.a/b三a在b上的投影向量为-de(e是与B方向相同的单位向量) 10.同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子朝上面的点数，用y表示 绿色骰子朝上面的点数，用(x,y)表示一次试验的结果.定义事件A=“x+y=7”,事 件B=“y为奇数”，事件C=“x>3”,则下列结论正确的是() AP(4& B.A与B互斥 C.A与B对立 D.A与C相互独立 1,在直四棱柱4BCD-4CA中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠AD-号 AA=2,P,Q分别是棱A4,CC的中点，过直线P2的平面分别与棱BB,DD交于点 E,F,则下列说法正确的是() A.四边形PEQF为矩形 B.BE=DF C.四边形PEQF面积的最小值为2√3 D.四棱锥C-PEOF的体积为定值 高一数学第2页（共4页) 第I卷（非选择题，共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知复数z满足(1-i)=2i,其中i是虚数单位，则= 13.排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的 慨率都为，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是 14.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，P,2分别是BC,BC1上的动点，PQ+QD的 最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和 热情，特举办数学节活动在活动中，共有20道数学问题，甲、乙、丙三位同学独立 作答，已知甲同学只能答对其中的12道题，乙同学只能答对其中的8道题，丙同学只 能答对其中的n道题. (1)任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人能答对的概率： (2)任选一道数学问题，若甲、乙、丙三位同学中至少有一个人答对的概率为 25 求n的值， 16.(15分)某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某 频率/组距 校从高一年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得 6a 到如图所示的频率分布直方图 (1)求a的值： 3a 2a (2)估计该年级学生成绩的中位数（精确到001）： (3)计算得到这100名学生中，成绩位于[80,90)内的 05060708090100成绩/分 学生成绩的平均数为85，方差为12：成绩位于[90,100内的学生成绩的平均数 为95，方差为10.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为kx、S;灭、S 记样本平均数为面，样本方差为，F[+-可]+[+-可门 m+n 高一数学第3页（共4页) 17.(15分)如图，在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=3√5，BM=2MC,AC,BD相交于 点N,AM,BD相交于点P. (1)若AP=AB+AC,求22+L的值： (2)求∠MPN的余弦值. 18.(17分)如图，在正方体ABCD-ABCD中，E,F,G,M,N分别是棱 AB,BC,BB,DC1,CC1的中点，点K在直线AB上， D M (1)求直线GF与MN所成角的大小： (2)求证：CK//平面EFG: A1 (3)求证：直线EF,DC,MN相交于一点. W K D E 19.(17分)如图，平面凸四边形ABCD外接圆半径为1， sin∠ABD:sin∠ADB:sin∠BAD=3:5:7. (1)求∠BAD的大小： (2)求△BCD面积的最大值： (3)古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸 四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积。求1C的最小值。 BC.CD 4 高一数学第4页（共4页)