精品解析：四川省成都市石室天府中学2025-2026学年高二梧桐学院上学期12月月考数学试题

成都石室天府中学梧桐学院2025-2026学年度高二12月月考 数 学 一、单选题（共40分） 1. 若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 是方程表示椭圆的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 设为任意四棱柱，在的12条棱中随机选取两条不同的棱，将事件“所在直线与所在直线平行”发生的概率记为，则下列选项中不是可能的值的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，直线上存在点P，满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，点，点，点在圆上运动，点满足（O为坐标原点），则点到直线距离的最大值为（　　） A. 8 B. C. D. 6 8. 如图，已知平面，，，，，，，且，，．若，则四棱锥体积的最大值是（    ） A. B. 8 C. 24 D. 72 二、多选题（共18分） 9. 已知实数满足方程，则（ ） A. 点到点的距离为定值 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 10. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，若两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和，，直线与月牙形只有两个交点，则（ ）（参考数据：） A. 线段与线段互相垂直平分 B. 圆的方程为 C. b的取值范围为 D. 月牙形的面积约为 11. 已知正四面体的棱长为以及空间动点，下列说法正确的有（ ） A. 该四面体的体积为 B. 若在边上（不包括端点），则到的距离的取值范围为 C. 若在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为 D. 若，则的取值范围为 三、填空题（共15分） 12. 函数的最小值为，最大值为，则________ 13. 在正三棱柱中，，则在正三棱柱内可放入的最大球的体积与正三棱柱外接球的体积之比_____. 14. “曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则的最大值与最小值之和为_________． 四、解答题（共77分） 15. 已知直线同时过椭圆的右焦点和上顶点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且，求外接圆的方程． 16. 已知直线经过点. （1）若直线在轴上的截距是在轴上的截距3倍，求直线的方程； （2）若直线与轴、轴的正半轴分别相交于两点，求当的面积取得最小值时直线的方程. 17. 已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为. （1）求轨迹方程； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，其中为坐标原点，求. 18. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，. （1）证明：平面； （2）设点为的中点，点在CE上. （i）判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出此定值：若否，说明理由； （ii）当的面积最小时，求平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值. 19. 已知平面上两定点 和 ，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）设点D在曲线C上运动，记点M为过D、B两点的弦的中点，若直线与直线 交于点N，证明：恒为定值； （3）若点P、Q在曲线C上，点 满足直线、的斜率之积为，试问直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室天府中学梧桐学院2025-2026学年度高二12月月考 数 学 一、单选题（共40分） 1. 若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程． 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为． 故选：B. 另解 由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选： 2. 是方程表示椭圆的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由充分条件及必要条件的定义，结合椭圆的标准方程，得到结果. 【详解】当时，，，此时，方程化简为表示圆，不满足充分性， 当方程表示椭圆时，，解得，不满足必要性. 故是方程表示椭圆的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据圆的弦长公式可得. 【详解】由圆，圆心，半径. 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得. 故选：A. 4. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与圆相切求出，进而判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 圆的圆心，半径， 而，所以圆和圆相交. 故选：C 5. 设为任意四棱柱，在的12条棱中随机选取两条不同的棱，将事件“所在直线与所在直线平行”发生的概率记为，则下列选项中不是可能的值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先算总数，然后四棱柱内平行的直线越多，概率就越大，所以底面为平行四边形的时候概率最大，然后把概率算出来，验证选项是否正确. 【详解】从12条棱中选2条的组合数为. 四棱柱中平行棱最多分为3组(底面为平行四边形的时候，侧棱1组、底面2组)，每组4条，每组内选2条的组合数为，所求事件包含结果数为3×6=18. 最大概率值：. 选项D的，大于最大概率，不可能成为的值； 选项A，底面两组对边都不平行时，； 选项B，底面为梯形时，； 选项C，底面为平行四边形时，. 故选：D 6. 已知，，直线上存在点P，满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定直线所过定点，根据线段长度，可将问题转化为直线与线段有交点，结合图象确定临界状态，得到直线斜率的取值范围，进而求得结果. 【详解】直线方程可化为：， 令得：，直线恒过定点， 由得：， 当直线上存在点满足时，直线与线段有交点，如图所示， ，，由直线斜率不为， 直线的斜率， . 故选：D. 7. 已知圆，点，点，点在圆上运动，点满足（O为坐标原点），则点到直线距离的最大值为（　　） A. 8 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先解出直线的方程，再设点，然后根据已知条件解出点的轨迹方程，即可得到结果. 【详解】由点得. 设，由已知且， 所以. 又点在上，得， 故点轨迹为以为圆心，半径的圆， 则点到直线距离为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：B. 8. 如图，已知平面，，，，，，，且，，．若，则四棱锥体积的最大值是（    ） A. B. 8 C. 24 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】先证平面平面，得棱锥的高就是三角形的边上的高.再求底面，再由条件得，因此点在一个圆上，用解析法求的最大值可得体积最大值. 【详解】因为，，所以， 又，且，平面，平面， 所以平面，而，所以平面， 又平面，所以平面平面. 过P点作的垂线，交点为，设垂线的长为，则也是四棱锥的高. 由上可知四边形为直角梯形，所以. 所以要使四棱锥体积的最大值，就必须棱锥的高最大， 也就是三角形的边上的高最大. 下面用解析法求解的最大值： 因为，，所以，又， 所以相似于， 根据相似三角形的性质有，，即， 如图：在平面内建立直角坐标系，设，， 由，得， 化简整理得， 即，P点在以为圆心，以4为半径的上半圆上. 所以P点到的距离，由圆的性质可得， 所以，. 故选：C. 二、多选题（共18分） 9. 已知实数满足方程，则（ ） A. 点到点的距离为定值 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】整理可得点的轨迹为圆，根据为该圆圆心可知A正确；利用可求得B错误；利用的几何意义将问题转化为点到点的距离的最大值，利用圆的几何性质可求得C正确；采用三角换元的方式，结合辅助角公式和正弦型函数最值可求得D正确. 【详解】对于A，由得：， 点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确； 对于B，，，的最大值为，B错误； 对于C，的几何意义为点到点的距离， 圆心到点的距离， 的最大值为，C正确； 对于D，设，，， ， ，， 当，即时，取得最大值，最大值为，D正确. 故选；ACD. 10. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，若两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和，，直线与月牙形只有两个交点，则（ ）（参考数据：） A. 线段与线段互相垂直平分 B. 圆的方程为 C. b的取值范围为 D. 月牙形的面积约为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，可通过确定圆心坐标，计算即可判断，对于C，设直线，分别计算直线过点时，直线与圆相切时，直线与圆相切时的取值，即可判断，对于D，连接，求得的面积为，通过向量夹角公式求得，结合图形对称性即可求解. 【详解】由题易知，圆的半径为， 圆心在的垂直平分线上， 因为且线段的中点坐标为， 所以线段垂直平分线所在直线方程为， 设圆心的坐标为，且， 所以， 解得，即， 因为，线段的中点坐标为， 所以线段与线段互相垂直平分，故A正确； 圆C的方程为，即，故B错误； 设直线，当直线过点时，，此时也过点， 当直线与圆相切时，，解得， 当直线与圆相切时，， 解得或， 因为直线与月牙形只有两个交点， 结合图象可知的取值范围为，故C正确； 连接， 直线方程为：， 点到的距离为， 又 所以的面积为， 设，，， 所以， 因为，而，所以， 由对称性可知月牙形的面积约为： ，故D正确. 故选：ACD 11. 已知正四面体的棱长为以及空间动点，下列说法正确的有（ ） A. 该四面体的体积为 B. 若在边上（不包括端点），则到的距离的取值范围为 C. 若在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为 D. 若，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法结合正四面体的体积公式判断A，利用点到直线距离的向量求法判断B，利用空间位置关系的向量表示并结合题意判断轨迹类型，再利用圆的弧长公式判断C，结合题意求出的轨迹方程，再利用空间向量数量积的坐标表示并结合柯西不等式求解取值范围判断D即可. 【详解】对于A，如图，作出符合题意的图形，将正四面体放入正方体中， 将棱作为正方体的面对角线，以为原点建立空间直角坐标系， 设正方体边长为，因为正四面体的棱长为， 所以，解得， 则，，，， 则，，， 设面的法向量为，可得， 令，解得，得到， 设点到面的距离为， 由点到平面的距离公式得， 则该四面体的体积为，故A错误， 对于B，由已知得，设，则， 由题意得在边上（不包括端点），可得， 而，则， 可得，解得， 得到，则， 设到的距离为，由点到直线的距离公式得 ，令， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为， 当时，，当时，， 可得，则， 得到到的距离的取值范围为，故B正确， 对于C，设的中点为，球的半径为，， 由中点坐标公式得，由两点间距离公式得， 则球的方程为， 而在以为直径的球面上，可得， 由题意得，， 因为平面，所以， 得到，化简得， 则还在平面上，得到的轨迹是圆， 设到该平面的距离为，截面圆的半径为， 由点到直线的距离公式得，由勾股定理得， 由弧长公式得点的轨迹长为，故C正确， 对于D，由已知得，则， ，，， 则， 因为，所以， 则， 化简得， 则的轨迹是球心为，半径为1的球， 而，， 则， 由题意得， 则， 而，即， 而，可得， 即， 由柯西不等式， 可得，即， 解得，令， 则可化为， 由一次函数性质得在上单调递增， 且，，则，即， 则的取值范围为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（共15分） 12. 函数的最小值为，最大值为，则________ 【答案】 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，通过换元将原函数转化为关于新变量的三次函数，再利用导数判断其单调性求最值，最后计算比值. 【详解】要使函数有意义，需满足，解得，所以函数的定义域为. 令，则， ，解得，因为， 所以得. 所以原函数转化为， 对求导，得， 当时，，，所以， 因此函数在区间上单调递减，所以， ， 所以. 故答案为： 13. 在正三棱柱中，，则在正三棱柱内可放入的最大球的体积与正三棱柱外接球的体积之比_____. 【答案】## 【解析】 【分析】分别求出正三棱柱内可放入的最大球的体积与正三棱柱外接球的体积，进而求出它们的体积之比. 【详解】设底面正三角形为，，其内切圆半径为， 由， 得，若内切球与上、下底面相切，则半径为1，因为， 所以该三棱柱内可放入的最大球的半径为， 则其体积. 根据正三角形外接圆半径（正三角形的边长），所以. 又正三棱柱的高，可得球心到底面的距离为1， 根据勾股定理，则. 所以， 所以. 故答案为： 14. “曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则的最大值与最小值之和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，然后列出，由不同的取值，化简，然后利用辅助角公式化简，由三角函数的单调性求得最值，从而得到答案. 【详解】设， 由题意可知， ∵，∴， 取，则， ， ∴， ，当，即时，取最大值，， 当，即时，取最小值，， 当，取， ， ∴， ，当，即时，取最大值，， 当，即时，取最小值，， ∴当时，取最大值，当时，取最小值， ∴的最大值与最小值之和为， 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知直线同时过椭圆的右焦点和上顶点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且，求外接圆的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆经过的点的坐标求出椭圆方程即可. （2）根据已知条件确定是直角三角形，然后求得外接圆半径和圆心坐标，即可求出圆的方程. 【小问1详解】 因为直线过点和， 所以且，则， 所以所求椭圆的方程为． 【小问2详解】 如图，若点在椭圆上，根据椭圆的定义，可得． 因为，所以， 又因为，所以，则，即是直角三角形． 所以的外接圆圆心为，半径， 所以外接圆方程为． 16. 已知直线经过点. （1）若直线在轴上的截距是在轴上的截距3倍，求直线的方程； （2）若直线与轴、轴的正半轴分别相交于两点，求当的面积取得最小值时直线的方程. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）讨论截距是否为0，设直线方程后代入点坐标，然后求得结果. （2）设直线，代入点坐标，得到，然后求出点坐标，根据题意列出不等式，求得的取值范围，利用基本不等式求得当取何值时面积取最小值，代入直线方程后得到结果. 【小问1详解】 当直线l在轴上的截距和在轴上的截距均为0时， 设直线，则，即，则， 当直线l在轴上的截距和在轴上的截距均不为0时， 设直线l在轴上的截距为，则在轴上的截距为， 则直线，即，则，则，即. 【小问2详解】 由题意可知，直线斜率一定存在， 设直线，则，即，则， 令，则，令，则， 则， 则，∴，即. ∴， ∵时，，∴， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即， ∴. 17. 已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为. （1）求轨迹方程； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，其中为坐标原点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式将点用的中点坐标和点坐标表示出来，再利用代入法即可求出轨迹方程； （2）联立直线与曲线，利用韦达定理结合即可求出直线的方程，进而求出. 【小问1详解】 设的中点为， 的中点为，且，，即， ∵点在圆上， ，即， 化简得， 所以的轨迹方程为：. 【小问2详解】 设， 由直线过点且与圆有两个交点，所以直线的斜率存在且不为0. 设直线的方程为：， 联立直线与圆的方程，可得， ，解得，， 由得，即， 化简得， 将韦达定理代入可得，解得，符合题意. 此时直线的方程为：， 由圆的方程知，圆的圆心坐标为，半径为， 又在直线的方程中，当时，，即直线过圆心， 所以. 18. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，. （1）证明：平面； （2）设点为的中点，点在CE上. （i）判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出此定值：若否，说明理由； （ii）当的面积最小时，求平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为底面四边形中，，， 所以四边形为直角梯形，且， 所以，即， 因为侧棱底面，底面，所以， 又，平面，平面. （2）（i）是定值，定值为 （ii）. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证明，再结合即可证明； （2）（i）连接，证明平面，进而转化为的体积即可判断并求解； （ii）取中点，连接，证明，得是平面与平面夹角所成的二面角的平面角，且，最后在中时最小，并结合对应距离求角度. 【小问1详解】 略 所以平面. 【小问2详解】 （i）三棱锥的体积为定值，理由如下： 连接，因为侧棱底面， 所以， 又，平面，平面， 所以平面， 在四棱柱中，， 因为，，点为的中点， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 因为平面， 平面， 所以平面， 所以 所以，三棱锥的体积为定值. （ii）取中点，连接， 因为，为中点， 所以， 在四棱柱中，点为的中点， 所以四边形为平行四边形， 因为侧棱底面， 所以底面， 又底面，底面， 所以 ， ， 又，平面，平面， 所以底面，又底面， 所以 所以，是平面与平面夹角所成的二面角的平面角， 因为， 所以的面积最小时，最小， 在中，最小，则，如下图， 由于，故，， 所以，在中，， 所以，当的面积最小时，求平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值为. 19. 已知平面上两定点 和 ，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）设点D在曲线C上运动，记点M为过D、B两点的弦的中点，若直线与直线 交于点N，证明：恒为定值； （3）若点P、Q在曲线C上，点 满足直线、的斜率之积为，试问直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由. 【答案】（1）； （2） 若直线的斜率为0，则， 若直线的斜率不为0， 设直线为， 直线与曲线C交点为， 联立 所以，所以， D、B两点的弦的中点的纵坐标为， 联立与，所以的纵坐标为， ， 所以恒为定值； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得曲线的方程； （2）设直线联立得出韦达定理结合弦长公式计算证明； （3）设直线为及，结合斜率之积计算得出，进而得出定点. 【小问1详解】 设,因为，，所以， 所以，化简可得， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线为，， 联立， 所以， 所以， 又因为点 满足直线、的斜率之积为， 所以， 所以， 所以， 即得， 化简得， 所以， 所以或， 当时，即，直线为，定点为； 当时，即， 直线为，定点为不满足直线、的斜率存在，不合题意舍； 当直线为，，直线、的斜率之积为， 所以，所以， 即得，所以或舍； 综上，直线过定点； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $