精品解析：福建省福州市马尾区2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

2025-2026学年第二学期期末试卷 八年级数学 （全卷共6页，共25题；完卷时间120分钟；满分150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 要使二次根式有意义，的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2.5 D. 3 2. 下列点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，的对边分别是，，．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，垂足为 C. ，， D. ， 4. 将直线向上平移3个单位长度，所得直线的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 5. 若平行四边形的对角线与相交于点，，，则的周长为( ) A. B. C. D. 6. 甲、乙两名学生在相同条件下各投篮球次，两人投中的平均数为 次，方差 ，，投篮技术较稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲、 乙一样稳定 D. 不能确定 7. 如图，函数和（a为常数， 且） 的图象相交于点， 则关于x的不等式的解集为 （ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，对角线，顺次连接其各边的中点得到的四边形是（ ） A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 9. 在勾股定理的证明中，小云用与全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形的面积为16，正方形的面积为4，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种，据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温 … 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 70 84 98 112 … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为189次，则该地当时的气温约为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：____________． 12. 写一个图象经过第二、四象限的正比例函数的表达式：_________ 13. 如图1，马尾罗星塔是全国重点文物保护单位，呈八角形共七层，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，则_____________°． 14. 某校八年级数学科将“开学考、期中考、期末考”三次成绩分别按，，计算学生学期数学考评成绩．小明开学考分，期中考分期末考分，则小明学期数学考评成绩是_____________分． 15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，垂足为，若，，则此菱形的面积为_____________（平方单位）． 16. 在直角坐标系中，已知直线（，为常数，且）经过点与点，下列结论： ①方程的解为； ②若直线与轴，轴分别交于点，点，为等腰三角形，则； ③无论取何值，直线一定经过某个定点； ④过点作，垂足为，则的最大值为． 其中正确的结论为_____________（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在矩形中，点E、F在边上，，求证：． 19. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 20. 已知一次函数的图象经过点． （1）求该一次函数的解析式，并画出其函数的图象； （2）点和是该一次函数图象上两点，判断，的大小关系，并说明理由． 21. 如图，在菱形中． （1）求作正方形，使得点，在对角线上，且点在点的左边；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 22. 为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图， 七年级积分：，，，，，，，，，，，； 八年级积分：，，，，，，，，，，，． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 （1）填空：___________，____________； （2）分别求出七年级这组数据的上四分位数与下四分位数，并补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图； （3）通过对比两个年级的箱线图，判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 23. 阅读素材，完成下列任务． 如何购买才能使分拣速度最快 背景 随着AI技术的快速发展，越来越多的行业借助人工智能来提高工作效率，某快递公司准备购买甲、乙两种不同型号的人工智能机器人帮忙分拣快递． 素材1 甲，乙两种机器人的单价分别为3万元/台和2万元/台． 素材2 甲种机器人开到最大功率时，分拣速度（件/时）与工作时间（小时）的函数关系如图所示． 素材3 经厂家介绍，为了延长机器人的使用寿命，可以适当降低功率，使机器人以固定的速度分拣快递．已知降低功率后，甲种机器人以素材2中的件/时速度工作，乙种机器人以600件/时的速度工作． 解决问题 （1）任务1：若甲种机器人开到最大功率工作，当时，求分拣速度与工作时间的函数关系式； （2）任务2：求素材2的图象中的值； （3）任务3：该快递公司计划用不超过15万元的钱购买甲、乙两种机器人共6台，当甲、乙两种机器人都降低功率工作时，如何购买才能使分拣速度最快？ 24. 如图，点为正方形对角线上的一点，，连接，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，点关于直线的对称的点是，连接，，线段延长线交于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边作，且，点在轴正半轴上． （1）求直线的函数解析式； （2）点是轴上一点，点是直线上一点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点的坐标； （3）已知直线，当时，对于的每一个值都有，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末试卷 八年级数学 （全卷共6页，共25题；完卷时间120分钟；满分150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 要使二次根式有意义，的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2.5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式被开方数为非负数，求出的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，要使有意义， ∴ ， 解得 ． ∴四个选项中只有D选项的满足． 2. 下列点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数图象上点的坐标特征．根据，只要代入点的横坐标与纵坐标就可判断． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 在中，，，的对边分别是，，．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，垂足为 C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】结合三角形内角和定理、垂直的定义、勾股定理的逆定理，逐一判断各选项即可求解 ． 【详解】解：A选项：∵ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形，该选项不符合题意； B选项：∵ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形，该选项不符合题意； C选项：∵ ，， ∴ ，不能判定是直角三角形，该选项符合题意； D选项：∵ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，该选项不符合题意． 4. 将直线向上平移3个单位长度，所得直线的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律．根据“上加下减”的原则求解即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，所得直线的函数解析式为． 故选：A 5. 若平行四边形的对角线与相交于点，，，则的周长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质，根据，，进而求得是解题的关键．由平行四边形的性质得，，因为，，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线与相交于点， ，， ，， ， ， 的周长为， 故选：B． 6. 甲、乙两名学生在相同条件下各投篮球次，两人投中的平均数为 次，方差 ，，投篮技术较稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲、 乙一样稳定 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是方差的应用，比较两组数据的稳定性，方差越小，数据波动越小，越稳定，据此判断即可． 【详解】解：甲、乙两人投篮的平均数均为7次，说明平均水平相同． 比较方差，甲的方差为3，乙的方差为，根据方差的性质，方差越小，数据波动越小，越稳定， 因为， 所以乙的投篮技术更稳定， 故选：B． 7. 如图，函数和（a为常数， 且） 的图象相交于点， 则关于x的不等式的解集为 （ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握数形结合思想解决问题是解题的关键，根据两直线的交点坐标即可求解． 【详解】解：函数和（a为常数， 且） 的图象相交于点， ∴结合函数图象可得：关于x的不等式的解集为：， 故选：C． 8. 如图，在四边形中，对角线，顺次连接其各边的中点得到的四边形是（ ） A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理，菱形的判定方法可得结论． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可知：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴四边形为菱形． 9. 在勾股定理的证明中，小云用与全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形的面积为16，正方形的面积为4，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、二元一次方程组的应用等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，根据正方形的性质得到，然后根据勾股定理列方程组求得a、b，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵正方形的面积为16，正方形的面积为4， ∴， 由题意可得：，解得：， ∴． 故选：C． 10. 大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种，据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温 … 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 70 84 98 112 … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为189次，则该地当时的气温约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据表中的数据可得温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫次数增加次，据此列式计算即可． 【详解】解：由表格数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫次数增加次， 则， 即若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为189次，则该地当时的气温约为． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：____________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：． 12. 写一个图象经过第二、四象限的正比例函数的表达式：_________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数图象经过第二、四象限可得，由此即可得解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：写一个图象经过第二、四象限的正比例函数的表达式为：， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图1，马尾罗星塔是全国重点文物保护单位，呈八角形共七层，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，则_____________°． 【答案】135 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式进行求解即可． 【详解】解：． 14. 某校八年级数学科将“开学考、期中考、期末考”三次成绩分别按，，计算学生学期数学考评成绩．小明开学考分，期中考分期末考分，则小明学期数学考评成绩是_____________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键，根据学期数学考评成绩为三次成绩与对应百分比乘积的和即可计算出结果． 【详解】解：根据题意可知，学期数学考评成绩为“开学考、期中考、期末考”三次成绩分别按，，计算， ∴小明学期数学考评成绩为:（分）． 15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，垂足为，若，，则此菱形的面积为_____________（平方单位）． 【答案】30 【解析】 【分析】由菱形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质推出，于是得到菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 菱形的面积． 16. 在直角坐标系中，已知直线（，为常数，且）经过点与点，下列结论： ①方程的解为； ②若直线与轴，轴分别交于点，点，为等腰三角形，则； ③无论取何值，直线一定经过某个定点； ④过点作，垂足为，则的最大值为． 其中正确的结论为_____________（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先表示出一次函数的表达式，再结合一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系，先根据已知两点坐标求出与的关系，再逐一判断各结论即可． 【详解】解：将和代入得， 两式相加得，即， 整理得， ①直线经过点， 时，，即方程的解为，①正确； ②令，则，则直线与轴交于， 令，则，则直线与轴交于， 若为等腰三角形，且， 则，即，其中， 因此，得或，代入得或，故②错误； ③由可知， 当时，，与取值无关， 因此直线恒过定点，③正确； ④设直线恒过定点， ，为垂足， 当点与点不重合时，在中，， 则由勾股定理可得， 因此的最大值为，④正确； 故正确的结论有①③④． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在矩形中，点E、F在边上，，求证：． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据证明，即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意证得是解答本题的关键． 19. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 20. 已知一次函数的图象经过点． （1）求该一次函数的解析式，并画出其函数的图象； （2）点和是该一次函数图象上两点，判断，的大小关系，并说明理由． 【答案】（1），一次函数图象，如图所示： （2）， 理由如下：（方法一）点和在函数的图象上， ， ， （方法二）：， 随的增大而增大， 又 ， ． 【解析】 【分析】（1）将点代入求出b的值，即可得出一次函数解析式；结合一次函数过点，，画出函数图象即可； （2）利用一次函数的性质进行比较大小即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点， 解得 该一次函数的解析式为 当时，， 即一次函数经过点，，画出函数图象略； 【小问2详解】 略 21. 如图，在菱形中． （1）求作正方形，使得点，在对角线上，且点在点的左边；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）如图所示，正方形即为所求作的正方形； （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，交于点O，以点O为圆心，为半径画圆，交于点E、F，连接，，，即可； （2）根据菱形的性质得出，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴，， 根据作图可知：，， ∴四边形对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 解：由作图可知：， 四边形是菱形，，， ，， ， ， ． 22. 为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图， 七年级积分：，，，，，，，，，，，； 八年级积分：，，，，，，，，，，，． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 （1）填空：___________，____________； （2）分别求出七年级这组数据的上四分位数与下四分位数，并补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图； （3）通过对比两个年级的箱线图，判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 【答案】（1）， （2）①下四分位数为，上四分位数为；②第一四分位数为，第三四分位数为；补全箱线图如下： （3）从箱线图可得八年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定 【解析】 【分析】（1）利用中位数和众数的定义求解即可； （2）四分位数的计算方法有两种：本题数据已按从小到大排序，①先找整体数据的中位数，再分别找出下四分位数和上四分位数；②分别按照百分比的方式求出第一四分位数、第三四分位数；画箱线图的一般步骤：①数据排序：将数据集按照从小到大的顺序进行排序；②计算关键数字：根据排序后的数据，计算出最小值、Q1、中位数、Q3和最大值；③绘制箱子：在坐标系中，连接Q1和Q3形成箱子，表示数据的主体部分；④添加须线：从箱子的两端分别引出下须和上须，连接到最小值和最大值；⑤标记离群值：对于超出须线范围的离群值，通常以单独的点或线表示在箱线图之外； （3）箱线图盒子越窄，数据越集中；盒子越宽，数据越分散． 【小问1详解】 解：由表格得，； 【小问2详解】 解：①七年级下四分位数：， 上四分位数：， ②七年级第一四分位数：，则下四分位数为第和第个数据的平均值，即， 第三四分位数：，则上四分位数为第和第个数据的平均值，即， 箱线图略； 【小问3详解】 略． 23. 阅读素材，完成下列任务． 如何购买才能使分拣速度最快 背景 随着AI技术的快速发展，越来越多的行业借助人工智能来提高工作效率，某快递公司准备购买甲、乙两种不同型号的人工智能机器人帮忙分拣快递． 素材1 甲，乙两种机器人的单价分别为3万元/台和2万元/台． 素材2 甲种机器人开到最大功率时，分拣速度（件/时）与工作时间（小时）的函数关系如图所示． 素材3 经厂家介绍，为了延长机器人的使用寿命，可以适当降低功率，使机器人以固定的速度分拣快递．已知降低功率后，甲种机器人以素材2中的件/时速度工作，乙种机器人以600件/时的速度工作． 解决问题 （1）任务1：若甲种机器人开到最大功率工作，当时，求分拣速度与工作时间的函数关系式； （2）任务2：求素材2的图象中的值； （3）任务3：该快递公司计划用不超过15万元的钱购买甲、乙两种机器人共6台，当甲、乙两种机器人都降低功率工作时，如何购买才能使分拣速度最快？ 【答案】（1） （2）800 （3）购买甲种机器人、乙种机器人各3台才能使分拣速度最快 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入函数解析式，进行求解即可； （3）设购买甲种机器人台，则购买乙种机器人台，根据该快递公司计划用不超过15万元的钱购买甲、乙两种机器人共6台，列出不等式，求出x的取值范围，设甲、乙两种机器人总的分拣速度为件/小时，列出y关于x的解析式，根据一次函数的增减性，进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，设分拣速度与工作时间的函数关系式为（、为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 当时，分拣速度与工作时间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，， ； 【小问3详解】 解：设购买甲种机器人台，则购买乙种机器人台， 根据题意，得， 解得 设甲、乙两种机器人总的分拣速度为件/小时，则， ， 随的增大而增大． 当时，值最大，（台）， 答：购买甲种机器人、乙种机器人各3台才能使分拣速度最快． 24. 如图，点为正方形对角线上的一点，，连接，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，点关于直线的对称的点是，连接，，线段延长线交于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）线段与的数量关系为； 证明：如图，连接，过点作，交的延长线于点， 四边形为正方形， ，，， 点关于直线的对称的点是， ， ． 在和中， ， ， ， 同理可得：， ． 由（1）可知． ． ∵， ， 由（1）可知． ． ． ， 在和中 ； 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，最后求出结果即可； （2）连接，过点作，交的延长线于点，证明，得出，同理可得，得出．证明，即可证明结论． 【小问1详解】 解：四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ∴， ， ； 【小问2详解】 略 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边作，且，点在轴正半轴上． （1）求直线的函数解析式； （2）点是轴上一点，点是直线上一点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点的坐标； （3）已知直线，当时，对于的每一个值都有，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，然后求出，再用待定系数法求出函数解析式即可； （2）分两种情况：当在轴正半轴上时，当在轴负半轴上时，分别画出图形进行求解即可； （3）先把代入求出，再把代入求出，分两种情况：直线与直线有交点时，当直线与直线无交点，求出a的取值范围即可． 【小问1详解】 解：在中，令得， ， ， 四边形是平行四边形，， ，， ， ， 设直线解析式为，将代入， 解得：， 直线解析式为； 【小问2详解】 解：设，在中，令，则， ∴， ． 在中，令，则， 解得， ∴， ∴， ①如图，当在轴正半轴上时，过作轴于点， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，． ， ， ， ． ，． ． 将代入， 得：， 解得， ； ②如图，当在轴负半轴上时，过作轴于， 同理可得：． ，． ， 把代入 得：，解得 综上，点的坐标为或 【小问3详解】 解：如图，当直线与直线有交点时， 把代入得：． 把代入 解得：， 当时，对于的每一个值都有． 直线与直线有交点时，， 当直线与直线无交点，即时，总成立． 综上所述，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $