精品解析：福建厦门市同安区2025-2026学年八年级下学期6月期末综合评价数学试题

2025-2026学年第二学期八年级学期综合评价 数 学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 如图所示是加油站某时刻加油机上的数据显示牌．下列选项中的常量是（ ） A. 单价 B. 数量 C. 金额 D. 单价、数量、金额都是 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 表示的意义是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向上平移4个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 5. 新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．若用实线和虚线分别表示乌龟和兔子赛跑的路程优于S与时间t的关系，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） A. B. C. D. 6. 在投篮测试中，5名同学完成的个数分别为5，6，8，9，10．要使个数相差较小的同学分到一组，如表是4种分法的组内离差平方和： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 8.75 8.75 第2个间隔 0.5 2 2.5 第3个间隔 4.67 0.5 5.17 第4个间隔 10 0 10 根据投篮个数组内离差平方和最小原则，把这5个同学投篮的个数分成两组，下列分组正确的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 7. 如图是某校50名学生素养测试成绩的频数分布直方图．下列式子中，能较合理表示这50名学生的平均成绩的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，是的三条边长，，其中为正数，为正整数．现有四个结论： ①若，则； ②若，，，则； ③若，，且，均为正整数，则有且仅有3个取值； ④若，，，为三个连续整数且，则满足条件的的个数为6． 其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 正比例函数的图象经过点，则a=______． 12. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，3，5（单位：），则的长度为________． 13. 中国古代建筑的窗棂样式丰富多样，不仅具有采光、通风的实用功能，更承载着深厚的文化寓意与艺术审美．如图所示的海棠纹窗棂是八边形，它的内角和是______． 14. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，延长到点，使，连接，过点作于点．若，，则的长为________． 15. 如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1＜kx+b的解集为_____． 16. 如图，在等腰中，．菱形的对角线，交于点，连接．若，则的值为________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，E点是边上的中点，连结并延长交的延长线于点F.求证：. 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求点的坐标； （2）已知点，存在点使得四边形为平行四边形，求点的坐标． 21. 某班打算从甲，乙两名选手中选拔一人参加校运动会的铅球比赛．现组织两人在相同的条件下进行九轮铅球比赛，每轮每人投掷一次．甲，乙两名选手的铅球成绩如下： 甲：10，7，9，9，6.1，8，9，9，10.9 乙：6.9，8，8，10，9，8.1，9，9，10 小安将甲，乙两名选手九轮铅球成绩绘制成统计图，如图1． 桐桐利用四分位数（如下表）、箱线图（如图2）进行分析． 选手 平均数 最小值 最大值 甲 6.1 9.5 10.9 乙 6.9 8 9 10 （1）求的值； （2）请你根据九轮铅球成绩，从甲，乙两名选手中选拔一人参加铅球比赛，并说明理由． 22. 如图，在中，，平分，交于点，是的中线，交于点． （1）尺规作图：在边上作出点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，．若，求证：四边形是菱形． 23. 如图1，矩形的周长为8．数学兴趣小组借助几何画板测量并记录了矩形的面积和对角线的长度．记，矩形面积为． 测量的部分数据如下表： 10 11 12 13 11 14 15 3 2.5 2 1.5 2.5 1 0.5 （1）小安通过分析数据，发现当矩形周长固定为8时，可以用函数刻画与之间的关系．请你在图2所给的平面直角坐标系中描出各对应点，并连接各点画出该函数的图象，然后求出对应的函数解析式； （2）如图3，公园有一块空地，空地上有一条长的污水管道．为了公园美观，打算用长为的围栏，围成一块矩形地块，种植花卉景观．将污水管道完全覆盖时，求矩形景观的最大面积． 24. 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略．特殊情形下，问题变得具体、简单、易于解决；同时，它与一般性问题关系密切，特殊问题的解决经验有可能推广到一般性问题的解决中．因此，从特殊情形出发，有助于我们发现解决问题的思路． 如图1，四边形为正方形，与交于点，点在线段上，连接，过点作，交射线于点，点关于直线的对称点落在直线上，探究与的数量关系． （1）先考虑特殊情形．如图2，当点与点重合时，探究与的数量关系； （2）再探究一般情形．如图1，判断此时（1）中与的数量关系是否成立并说明理由； （3）如图1，若正方形边长为，求最小时的长． 25. 如图在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点．直线与轴的负半轴交于点，且．点是线段上的动点． （1）求直线的解析式； （2）连接，当时，求点的坐标； （3）已知点的横坐标为时，点，连接与轴交于点，当的长度最小时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级学期综合评价 数 学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 如图所示是加油站某时刻加油机上的数据显示牌．下列选项中的常量是（ ） A. 单价 B. 数量 C. 金额 D. 单价、数量、金额都是 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意，单价是不变的，故常量是单价． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的加减，乘法，除法运算．根据二次根式的加减乘除运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不可以合并，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 3. 表示的意义是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据负整数指数幂的定义，当，为正整数时，. ∵ ， ∴ . 因此符合的选项为C. 4. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向上平移4个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像平移，掌握图像平移与点坐标变化的关系是解题的关键． 向上平移，则，根据图像位置与系数的关系判断． 【详解】解：由题知，， ∵ ∴位于第一、二、三象限． 故选：A． 5. 新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．若用实线和虚线分别表示乌龟和兔子赛跑的路程优于S与时间t的关系，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图形，行程问题，分析清楚时间与路程的关系是解本题的关键．乌龟是匀速行走的，图象为线段．兔子是：跑停急跑，图象由三条折线组成；最后同时到达终点，即到达终点的时间相同． 【详解】解：A．此函数图象中，虚线先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意； B．此函数图象中，虚线一直高于实线，说明兔子始终在乌龟的前面，与“乌龟已经超过它”不符， C．此函数图象中，实线先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意； D．此函数图象中，实线一直增加；虚线有三个阶段，1、增加；2、睡了一觉，不变；3、当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，增加；但乌龟还是先到达终点．符合题意； 故选：D． 6. 在投篮测试中，5名同学完成的个数分别为5，6，8，9，10．要使个数相差较小的同学分到一组，如表是4种分法的组内离差平方和： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 8.75 8.75 第2个间隔 0.5 2 2.5 第3个间隔 4.67 0.5 5.17 第4个间隔 10 0 10 根据投篮个数组内离差平方和最小原则，把这5个同学投篮的个数分成两组，下列分组正确的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】根据组内离差平方和最小原则分组，将数据从小到大排序后，不同间隔对应不同分组，只需找出组内离差平方和最小的间隔，即可得到正确分组． 【详解】将5名同学的投篮个数从小到大排序为 ，共4个间隔， 从表格可得，四个分组的组内离差平方和分别为，，，， 组内离差平方和最小为，对应第2个间隔， 第2个间隔在和之间， 分组为和， 故选 ：B． 7. 如图是某校50名学生素养测试成绩的频数分布直方图．下列式子中，能较合理表示这50名学生的平均成绩的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求各组的平均成绩即两个端点值的平均值，作为该组的成绩，再利用加权平均数的计算解答即可． 【详解】解：根据题意，得平均成绩为：． 8. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质，证明是等边三角形，再利用三角形中位线求解即可； 【详解】解：菱形的对角线交于点， ， 是等边三角形， ， 点为的中点， ． 9. 第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意可知：正方形的面积为． 10. 已知，，是的三条边长，，其中为正数，为正整数．现有四个结论： ①若，则； ②若，，，则； ③若，，且，均为正整数，则有且仅有3个取值； ④若，，，为三个连续整数且，则满足条件的的个数为6． 其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），结合已知条件推导各结论，逐个判断正误即可． 【详解】解：∵，为正数，为正整数，是三边长， 满足任意两边之和大于第三边． 判断①：当时，，得． ∵三角形中，且， ∴，即． 故①正确． 判断②：当，，时， ． 根据三边关系列不等式，即 ∴， ∴， 即． 故②正确． 判断③：当，，，为正整数时， ，． 由三边关系得，即． ∵是正整数，是正整数， ∴是的正约数，可取， 对应，共个不同的，不是个． 故③错误． 判断④：当，为连续正整数， 设，，（为正整数）． 则， 由得：， 两边乘（）， 得， 解得． 由三边关系， 得， 解得． ∴可取，共个值， 即满足条件的有个． 故④正确． 综上，正确结论为①②④． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 正比例函数的图象经过点，则a=______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 将点代入正比例函数计算即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：3． 12. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，3，5（单位：），则的长度为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， ，， ， ． 13. 中国古代建筑的窗棂样式丰富多样，不仅具有采光、通风的实用功能，更承载着深厚的文化寓意与艺术审美．如图所示的海棠纹窗棂是八边形，它的内角和是______． 【答案】##1080度 【解析】 【分析】多边形的内角和为，其中n为多边形的边数． 【详解】解：如图所示的海棠纹窗棂是八边形，它的内角和是． 14. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，延长到点，使，连接，过点作于点．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明垂直平分，可得，再根据勾股定理可得的长，然后根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，，， ∵， ∴，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1＜kx+b的解集为_____． 【答案】x＜1． 【解析】 【分析】根据y=x+1确定a的值，进而可得P点坐标，由图象可得在直线x=1的左边x+1＜kx+b，进而可得不等式解集． 【详解】∵直线l1：y=x+1过点P（a，2）， ∴2=a+1， 解得：a=1， 则不等式x+1＜kx+b的解集为x＜1， 故答案为：x＜1． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确确定a的值． 16. 如图，在等腰中，．菱形的对角线，交于点，连接．若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设交于点F，连接，设，运用等腰直角三角形性质和菱形性质证明，得到，根据菱形对角线互相垂直平分，得到 ，可得，得，根据等腰直角三角形性质运用勾股定理求得，由的长度建立方程，求得，即，运用勾股定理求得，运用的面积求得，即得 ． 【详解】 解：设交于点F，连接，设， ∵等腰中，，． ∴， ∵菱形中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与互相垂直平分， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式； 18. 如图，E点是边上的中点，连结并延长交的延长线于点F.求证：. 【答案】 证明：在中， ∴. ∵E点是边上的中点， ∴. 在和中，， ∴， ∴ 【解析】 【分析】在中，，则，由点E是上的中点，则，即可证明，即可得到结论. 【详解】略 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果：，值： 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 20. 已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求点的坐标； （2）已知点，存在点使得四边形为平行四边形，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，求得对应的函数值即可； （2）过点D作，过点B作，两线交于点C，则四边形为平行四边形，故点C即为所求，根据平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：令，得， 故； 【小问2详解】 解：过点D作，过点B作，两线交于点C， 则四边形为平行四边形，故点C即为所求， 两点的纵坐标相同， ， 点的纵坐标为2， 令，得，解得， 故， ， ， 由四边形为平行四边形， ， ， ， 故点C的横坐标为4， 故； 21. 某班打算从甲，乙两名选手中选拔一人参加校运动会的铅球比赛．现组织两人在相同的条件下进行九轮铅球比赛，每轮每人投掷一次．甲，乙两名选手的铅球成绩如下： 甲：10，7，9，9，6.1，8，9，9，10.9 乙：6.9，8，8，10，9，8.1，9，9，10 小安将甲，乙两名选手九轮铅球成绩绘制成统计图，如图1． 桐桐利用四分位数（如下表）、箱线图（如图2）进行分析． 选手 平均数 最小值 最大值 甲 6.1 9.5 10.9 乙 6.9 8 9 10 （1）求的值； （2）请你根据九轮铅球成绩，从甲，乙两名选手中选拔一人参加铅球比赛，并说明理由． 【答案】（1）或 （2）解：选择选手乙参加铅球比赛，理由如下： ∵选手甲的数据从小到大排列为：6.1， 7，8，9，9， 9，9，10，10.9， 选手乙的成绩从小到大排序为：6.9，8，8，8.1， 9， 9，9，10，10， 甲的成绩最大值与最小值的差为， 乙的成绩最大值与最小值的差为， ∴选手乙成绩更加稳定， 综上：甲，乙两名选手的平均数相等，但选手乙成绩更加稳定，能力更强． 【解析】 【分析】（1）根据四分位数的含义求解即可； （2）结合平均数与最大值与最小值的差值大小判断即可. 【小问1详解】 解：方法一：∵选手甲的数据从小到大排列为：6.1， 7，8，9，9， 9，9，10，10.9， ∴第一四分位数为，即； 方法二：∵， ∴第一四分位数为第三个数，即. 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，，平分，交于点，是的中线，交于点． （1）尺规作图：在边上作出点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，．若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）点如下： （2）证明：如图， ∵，平分， ∴为的中点， ∵点F为的中点，点E为的中点， ∴，为的中位线， ∴，，，， ∴四边形，四边形为平行四边形， ∵， ∴， 则， 由（1）知，则， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵， ∴， 即， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）过点E作交于点F，则，可得出，由可知，即可得出，进而可得出，由是的中线可得出，进而可得出． （2）利用三角形中位线的判定和性质证明四边形，四边形为平行四边形，再利用勾股定理逆定理得出为直角三角形，且，即可得出四边形为菱形． 【小问1详解】 解：画图略； 【小问2详解】 证明：略； 23. 如图1，矩形的周长为8．数学兴趣小组借助几何画板测量并记录了矩形的面积和对角线的长度．记，矩形面积为． 测量的部分数据如下表： 10 11 12 13 11 14 15 3 2.5 2 1.5 2.5 1 0.5 （1）小安通过分析数据，发现当矩形周长固定为8时，可以用函数刻画与之间的关系．请你在图2所给的平面直角坐标系中描出各对应点，并连接各点画出该函数的图象，然后求出对应的函数解析式； （2）如图3，公园有一块空地，空地上有一条长的污水管道．为了公园美观，打算用长为的围栏，围成一块矩形地块，种植花卉景观．将污水管道完全覆盖时，求矩形景观的最大面积． 【答案】（1）； （2）3.5 【解析】 【分析】（1）描点连线画出函数图象，根据函数图象可知：与之间符合一次函数关系，设出函数关系式，利用待定系数法求函数解析式即可． （2）结合1可知：由（1）可知：当矩形周长固定为8时，矩形对角线长的平方为，由 污水管道长为3，即对角线长的平方，根据的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：函数图象略； 根据函数图象可知：与之间符合一次函数关系， 故设， 把点，代入得， 解得， 则． 【小问2详解】 解：由（1）可知：当矩形周长固定为8时，矩形对角线长的平方为， 矩形的面积s和对角线长的平方之间满足， ∵污水管道长为3，即对角线长的平方， ∵,， ∴s随着x的增大而减小， 当时，s取的最大值，为． 答：将污水管道完全覆盖时，矩形景观的最大面积为． 24. 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略．特殊情形下，问题变得具体、简单、易于解决；同时，它与一般性问题关系密切，特殊问题的解决经验有可能推广到一般性问题的解决中．因此，从特殊情形出发，有助于我们发现解决问题的思路． 如图1，四边形为正方形，与交于点，点在线段上，连接，过点作，交射线于点，点关于直线的对称点落在直线上，探究与的数量关系． （1）先考虑特殊情形．如图2，当点与点重合时，探究与的数量关系； （2）再探究一般情形．如图1，判断此时（1）中与的数量关系是否成立并说明理由； （3）如图1，若正方形边长为，求最小时的长． 【答案】（1） （2）此时（1）中与的数量关系仍然成立，理由如下： 如图所示，过点作垂足为，延长交于点，连接， ∵四边形为正方形，点在线段上， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵点关于直线的对称点落在直线上， ∴由轴对称的性质可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）点关于直线的对称点落在直线上，由轴对称的性质可得：，再由正方形的性质和三角形的外角的性质可得：，，即可得出，进而得出，即可得到； （2）过点作垂足为，延长交于点，连接，利用正方形的性质可证明，得到，再利用（1）的思路证明即可； （3）在点向点移动时，不断变小，不断变小；不断变小会使得不断变大，所以取最小值时，即点与点重合时，利用（1）的结论容易得到的值． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形，与交于点，点与点重合， ∴，，，即是等腰直角三角形， ∴，，， ∵点关于直线的对称点落在直线上， ∴由轴对称的性质可得：， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示， ∵四边形为正方形，正方形边长为， ∴， ∵要使取最小值，即要使最小，最大， 由（2）得，， ∴， ∴在点向点移动时，不断变小，不断变小；不断变小会使得不断变大， ∴取最小值时，即点与点重合时，如图所示： ∴此时． 25. 如图在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点．直线与轴的负半轴交于点，且．点是线段上的动点． （1）求直线的解析式； （2）连接，当时，求点的坐标； （3）已知点的横坐标为时，点，连接与轴交于点，当的长度最小时，求的值． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）求出点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； （2）过点作交的延长线于点，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，证明，求得，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式可得：，可知当时，的长度最小． 【小问1详解】 解：当时，， 点的坐标为， ， ， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是； 【小问2详解】 解：对于直线，当时，可得：， 解得：， ∴点的坐标是， 过点作交的延长线于点，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：当点的横坐标为时，点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点、代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ， 整理可得：， 当时，有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $