2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一+课时作业57+三角函数的应用

**基本信息** 练习聚焦三角函数应用，分层设计从基础概念到综合建模，梯度衔接自然，题量配比合理，助力知识巩固与数学建模、数据分析等核心素养提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|周期、振幅等基本概念|直接考查定义（如选择题1-2单摆振幅）| |中档|函数图象与简单应用|结合图象分析（如选择题5正弦图象AB长）| |拔高|综合建模与复杂计算|创设真实情境（如解答题16气温模型构建）|

课时作业57　三角函数的应用 一、选择题 1．如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　) A．该质点的运动周期为0.7 s B．该质点的振幅为－5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时的运动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零 2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s＝3sin，那么单摆来回摆动的振幅(厘米)和一次所需的时间(秒)为(　　) A．3,4 B．－3,4 C．3,2 D．－3,2 3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？(　　) A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20] 4．在两个弹簧上分别挂一个质量为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定： s1＝5sin，s2＝5cos.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　　) A．s1>s2 B．s1<s2 C．s1＝s2 D．不能确定 5．如图是函数y＝sinx(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是(　　) 6．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度(单位时间内所走的弧度)为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　) 7.如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O，距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(米)与时间x(秒)满足关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　) A．ω＝，A＝5 B．ω＝，A＝3 C．ω＝π，A＝3 D．ω＝π，A＝5 8．动点A(x，y)在以原点为圆心的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 s旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数的单调递增区间是(　　) A．[0,1] B．[1,7] C．[7,12] D．[0,1]和[7,12] 9．如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为边作等边三角形ABC，当∠AOB＝x时，S四边形OACB等于(　　) A．sinx B．sinx－cosx＋ C．－cosx＋ D．sinx＋cosx－ 10．(多选题)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，t≥0，ω>0，|φ|<.则下列叙述正确的是(　　) A．R＝6，ω＝，φ＝－ B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6 C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减 D．当t＝20时，|PA|＝6 二、填空题 11．一个单摆如图所示，小球偏离铅垂方向的角为α(rad)，α作为时间t(s)的函数，满足关系α(t)＝sin.经过 s单摆完成5次完整摆动． 12.如图所示的图象显示的是相对于海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为 . 13.如图，弹簧挂着一个小球做上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(单位：厘米)由如下关系式确定：h＝2sin，t∈[0，＋∞)，则小球在开始振动(即t＝0)时h的值为，小球振动过程中最大的高度差为 厘米． 三、解答题 14.如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h. (1)求h与θ之间关系的函数解析式； (2)设从OA开始转动，经过t s到达OB，求h与t之间关系的函数解析式． 15．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]． (1)求该地这一段时间内温度的最大温差； (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？ 16．当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表. x(月份) 1 2 3 4 5 6 t(气温) 17.3 17.9 17.3 15.8 13.7 11.6 x(月份) 7 8 9 10 11 12 t(气温) 10.06 9.5 10.06 11.6 13.7 15.8 (1)根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿市的月平均气温建立一个函数模型； (2)当平均气温不低于13.7 ℃时，惠灵顿市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间． 课时作业57　三角函数的应用 （答案） 一、选择题 1．如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　) A．该质点的运动周期为0.7 s B．该质点的振幅为－5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时的运动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零 解析：由题中图象及简谐运动的有关知识知，T＝0.8 s，A＝5 cm.当t＝0.1 s或0.5 s时，v为零．故选D 2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s＝3sin，那么单摆来回摆动的振幅(厘米)和一次所需的时间(秒)为(　　) A．3,4 B．－3,4 C．3,2 D．－3,2 解析：振幅A＝3(厘米)，T＝＝4(秒)．故选A． 3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？(　　) A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20] 解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C． 4．在两个弹簧上分别挂一个质量为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定： s1＝5sin，s2＝5cos.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　　) A．s1>s2 B．s1<s2 C．s1＝s2 D．不能确定 解析：当t＝时，s1＝－5，s2＝－5， ∴s1＝s2，故选C． 5．如图是函数y＝sinx(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是(　　) 解析：当x∈时，f(x)＝π－2x， 当x∈时，f(x)＝2x－π，故选A． 6．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度(单位时间内所走的弧度)为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　) 解析：P从P0出发，逆时针运动，t＝0时，d＝，t与d满足关系式d＝(t≥0)，故选C． 7.如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O，距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(米)与时间x(秒)满足关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　) A．ω＝，A＝5 B．ω＝，A＝3 C．ω＝π，A＝3 D．ω＝π，A＝5 解析：因为水轮的半径为3米，水轮圆心O，距离水面2米，所以A＝3米，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，所以T＝15＝，所以ω＝.故选B． 8．动点A(x，y)在以原点为圆心的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 s旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数的单调递增区间是(　　) A．[0,1] B．[1,7] C．[7,12] D．[0,1]和[7,12] 解析：∵T＝12，∴ω＝＝，从而设y关于t的函数为y＝sin.又t＝0时，y＝，∴φ＝， ∴y＝sin， ∴2kπ－≤t＋≤2kπ＋，k∈Z， 即12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z时，函数单调递增． ∵0≤t≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]和[7,12]．故选D． 9．如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为边作等边三角形ABC，当∠AOB＝x时，S四边形OACB等于(　　) A．sinx B．sinx－cosx＋ C．－cosx＋ D．sinx＋cosx－ 解析：如图，S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC． 过点B作BD⊥MN于D， 则BD＝BOsin(π－x)，即BD＝sinx. ∴S△AOB＝×2sinx＝sinx. ∵OD＝BOcos(π－x)＝－cosx， ∴AB2＝BD2＋AD2＝sin2x＋(－cosx＋2)2＝5－4cosx. ∴S△ABC＝AB·ABsin60°＝－cosx. ∴S四边形OACB＝sinx－cosx＋. 故选B． 10．(多选题)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，t≥0，ω>0，|φ|<.则下列叙述正确的是(　　) A．R＝6，ω＝，φ＝－ B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6 C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减 D．当t＝20时，|PA|＝6 解析：由题意， R＝＝6， T＝60＝，所以ω＝. 由点A(3，－3)可得－3＝6sinφ. 因为|φ|<，所以φ＝－，故A正确； f(t)＝6sin， 当t∈[35,55]时，t－∈， 所以点P到x轴的距离的最大值为6，故B正确； 当t∈[10,25]时，t－∈，函数y＝f(t)不单调，故C不正确； 当t＝20时，t－＝，点P的纵坐标为6，由勾股定理可得|PA|＝ ＝＝6 ，故D正确．故选ABD． 二、填空题 11．一个单摆如图所示，小球偏离铅垂方向的角为α(rad)，α作为时间t(s)的函数，满足关系α(t)＝sin.经过 s单摆完成5次完整摆动． 解析：由已知可得函数的最小正周期T＝＝π，所以要完成5次完整摆动，需要5个周期，即需要5π(s)． 答案：5π 12.如图所示的图象显示的是相对于海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为 . 解析：将题图看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知：A＝6，T＝12，所以ω＝＝.将(6,0)看成函数图象的第一个特殊点，则×6＋φ＝0.所以φ＝－π. 所以函数关系式为：y＝6sin＝－6sinx. 答案：y＝6sin＝－6sinx. 13.如图，弹簧挂着一个小球做上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(单位：厘米)由如下关系式确定：h＝2sin，t∈[0，＋∞)，则小球在开始振动(即t＝0)时h的值为，小球振动过程中最大的高度差为 厘米． 解析：由关系式h＝2sin，t∈[0，＋∞)，知当t＝0时，h＝2sin＝.小球振动过程中最大的高度，即hmax＝h＝2，小球振动过程中最低的高度，即hmin＝h＝2sin＝－2，所以最大高度差为4. 答案：4 三、解答题 14.如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h. (1)求h与θ之间关系的函数解析式； (2)设从OA开始转动，经过t s到达OB，求h与t之间关系的函数解析式． 解：(1)过点O作地面的平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M. 当<θ≤π时，∠BOM＝θ－， h＝5.6＋4.8sin； 当0≤θ≤，π<θ≤2π时，上述解析式也适合． 综上所述，h＝5.6＋4.8sin. (2)因为点A在⊙O上逆时针运动的角速度是 rad/s， 所以t s转过的弧度数为t， 所以h＝4.8sin＋5.6，t∈[0，＋∞)． 15．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]． (1)求该地这一段时间内温度的最大温差； (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？ 解：(1)当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃. (2)令10sin＋20＝15， 得sin＝－， 而x∈[4,16]，所以x＝. 令10sin＋20＝25， 得sin＝， 而x∈[4,16]，所以x＝. 故该细菌能存活的最长时间为－＝(小时)． 16．当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表. x(月份) 1 2 3 4 5 6 t(气温) 17.3 17.9 17.3 15.8 13.7 11.6 x(月份) 7 8 9 10 11 12 t(气温) 10.06 9.5 10.06 11.6 13.7 15.8 (1)根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿市的月平均气温建立一个函数模型； (2)当平均气温不低于13.7 ℃时，惠灵顿市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间． 解：(1)以月份x为横轴，气温t为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接各散点，得如图所示的曲线． 由于月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，依散点图所绘制的图象，可以考虑用t＝Acos(ωx＋φ)＋k来描述． 由最高气温为17.9 ℃，最低气温为9.5 ℃， 得A＝＝4.2，k＝ ＝13.7.显然＝12，故ω＝. 又当x＝2时，t取最大值， ∴可令×2＋φ＝0，∴φ＝－. ∴t＝4.2cos＋13.7为惠灵顿市的月平均气温函数模型． (2)如图所示，作直线t＝13.7与函数图象交于两点(5,13.7)，(11,13.7)．这说明在每年的十一月初至第二年的四月末平均气温不低于13.7 ℃，是惠灵顿市的最佳旅游时间． 学科网（北京）股份有限公司 $