5.7 三角函数的应用同步作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.7 三角函数的应用 【基础巩固】 1．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（ ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 2．由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（ ） A．12h B．14h C．16h D．18h 3．筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具”．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于4 米的时间为（ ） A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒 4．如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为，与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：min），则（ ） A． B． C． D． 5．（多选）假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型曲线模型： 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线 的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右延伸，则（ ） A．智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的 B．在出生起180天内，体力共有7次达高峰值 C．第94天时，情绪值小于15 D．第62天时，智力曲线和情绪曲线均处于上升期 6．点是半径的圆周上的点它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点的纵坐标关于时间的函数关系式为：____________. 7．科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”．例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线为，且经过点，则对于，有________． 8．已知某地某一天点～点的温度变化近似满足函，. (1)直接写出当天这段时间内，点的温度与哪些时刻的温度相等？ (2)某种细菌能在温度不低于条件下生存，在点～点这段时间内，该细菌最多能生存多长时间? 【能力拓展】 9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 10．函数的部分图象如图所示， 则下列关于函数的说法错误的是（ ） A． B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 11．如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论： ①； ②最大值是35； ③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在，使得时到的距离等于15米． 其中所有正确结论的序号为________． 【素养提升】 12．奉贤中学生物创新实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，其中，.随着人工智能的普及，该实验室引进了AI管理系统，可以根据实际需求设定参数和的取值. (1)若设定，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求的最大值； (2)若设定，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下： ①；②，两个小组一天需要降温的时长分别为和. 请比较和的大小关系，并进行合理解释. 第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.7 三角函数的应用 【基础巩固】 1．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（ ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【解析】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期. 故选：A. 2．由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（ ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【答案】C 【解析】由题知解得所以． 令，即．因为，所以， 由正弦函数图象与性质可知，，解得， 所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时． 故选：C 3．筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具”．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于4 米的时间为（ ） A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒 【答案】D 【解析】根据题意，以为坐标原点，平行于水面的直线为轴，垂直于水面的直线为轴， 建立平面直角坐标系，如图所示， 则，则，所以， 如图，盛水筒距离水面的高度为时，分别在点处， 则由对称性可得，则， 因筒车按逆时针方向每分钟转1圈，所以筒车转1圈的时间为60秒， 由上分析，盛水桶距离水面的高度不低于的时间为圆周， 所以盛水筒距离水面的高度不低于的时间为秒. 故选：D. 4．如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为，与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：min），则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设盛水桶在转动过程中到水面的距离为，时间为. 则旋转角度为， 先建立坐标系，令转轮中心为坐标原点，水平向右为轴正方向、竖直向上为轴正方向. 由题意可得：是关于的周期函数，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系为：. 令，解得： ，即盛水筒第一次到达入水点所需的时间满足，且， 则，，故选项A、C错误； 又因为， 所以，故选项D正确； 又因为 ， ， 所以，故选项B错误. 故选：D. 5．（多选）假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型曲线模型： 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右延伸，则（ ） A．智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的 B．在出生起180天内，体力共有7次达高峰值 C．第94天时，情绪值小于15 D．第62天时，智力曲线和情绪曲线均处于上升期 【答案】AD 【解析】由图象，智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的，故A正确； 由图象，体力曲线的最小正周期为天，，所以在出生起180天内，体力共有8次达高峰值，故B错误； 由图象，情绪曲线的最小正周期为天，所以第天情绪值为，第91天情绪值为20，而，所以第天情绪值大于，故C错误； 由图象，智力曲线的最小正周期为天，而，所以第天，智力曲线处于上升期，，所以第天，情绪曲线处于上升期，故D正确. 故选：AD. 6．点是半径的圆周上的点它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点的纵坐标关于时间的函数关系式为：____________. 【答案】，. 【解析】设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为， 由题意可得，， 时，射线可视角的终边，则,. 故答案为：，. 7．科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”．例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线为，且经过点，则对于，有________． 【答案】 【解析】因为经过，则， 故，，解得，， 又，所以，则. ， 即恒为. 8．已知某地某一天点～点的温度变化近似满足函，. (1)直接写出当天这段时间内，点的温度与哪些时刻的温度相等？ (2)某种细菌能在温度不低于条件下生存，在点～点这段时间内，该细菌最多能生存多长时间? 【答案】见解析 【解析】(1)当时，， 则 ， 根据，可知， 所以16点的温度与12点的温度相等； (2)由题意可得：， 因为，所以可得：， 解得：， 所以该细菌能生存的最长时间为小时. 【能力拓展】 9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【解析】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 10．函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法错误的是（ ） A． B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】C 【解析】由函数的图象可得，由，解得，故A正确； 又函数过点，所以，， 又，得，所以函数， 当时，，即的图象关于点对称，故B正确； 将函数的图象向左平移个单位长度得到，故C错误； 当，则， 令，解得， 此时，即， 令，解得， 此时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为方程在上有两个不相等的实数根， 即与在上有两个交点，所以，故D正确. 故选：C 11．如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论： ①； ②最大值是35； ③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在，使得时到的距离等于15米． 其中所有正确结论的序号为________． 【答案】①③ 【解析】转轮与转轮分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，可得最小正周期，，所以，， 又的半径为10米，的圆心距离地面竖直高度为20米， 所以第分钟，点距离地面的高度为：， 第分钟，距离地面的竖直高度为：， 化简得， 所以，故①正确； 当，即时，得最大值，为，故②错误； 若到的距离等于15米，则点Q在线段PM上， 则需，，即， 所以不存在，使得时到的距离等于15米．故④错误； 因为旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，所以可得点在圆周上的速度为，同理可得点在圆周上的速度为，所以点在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟，故③正确. 故答案为：①③. 【素养提升】 12．奉贤中学生物创新实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，其中，.随着人工智能的普及，该实验室引进了AI管理系统，可以根据实际需求设定参数和的取值. (1)若设定，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求的最大值； (2)若设定，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①；②，两个小组一天需要降温的时长分别为和.请比较和的大小关系，并进行合理解释. 【答案】见解析 【解析】(1)当时，， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以，所以的最大值为4. (2)因为，所以. ①当时，令，即， 所以，，解得，， 又，所以，所以. ②当时，，即， 所以，，解得，， 又，所以，所以，所以. 解释：函数， 可以由向左平移12个单位得到.从实际意义来看， 可以把前一天中午12点到第二天中午12点看成一天，故需降温时长不变. 第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $