精品解析：山西忻州市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年第二学期高一年级期末考试测试题（卷） 数学（科目） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高一数学必修第一册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 4. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆锥的底面半径为4，高为3，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在边长为3的等边三角形中，点E为上靠近点B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 3 7. 从不超过20的质数中，任选两个不同的质数，，记，则事件“”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（ ） A. 众数为65 B. 极差为7 C. 平均数为65.4 D. 80%分位数为67.5 10. 已知平面直角坐标系中三个点，，，则（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 是锐角三角形 D. 以A，B，C为顶点的所有平行四边形的面积均为8 11. 已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则( ) A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，，，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为______． 13. 已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 14. 如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，满足，，且与的夹角为． （1）求及； （2）若，求实数的值． 16. 在正方体中，点， ， ，分别为棱，，，的中点． （1）点， ， ，是否共面？请说明理由； （2）证明：平面． 17. 一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率. 18. 如图，在平面四边形中，，． （1）若，，求的值； （2）若，，求的面积． 19. 如图，在三棱台中，..平面，，，，点是棱的中点，点是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一年级期末考试测试题（卷） 数学（科目） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高一数学必修第一册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数,再根据虚部定义得结果. 【详解】因为,所以复数的虚部为，选A. 【点睛】本题考查复数除法运算以及虚部定义，考查基本求解能力，属基础题. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为向量，，且，则，解得. 3. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 【答案】C 【解析】 【详解】设袋中红球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到红球的概率约为0.6， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有红球12个. 4. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，可得或， “或”不能推出“”， 而“”能推出“或”， ∴“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知圆锥的底面半径为4，高为3，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由圆锥的底面半径为4，高为3，得该圆锥的母线， 所以该圆锥的侧面积为. 6. 在边长为3的等边三角形中，点E为上靠近点B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】借助平面向量线性运算法则与数量积公式计算即可得. 【详解】由点E为上靠近点B的三等分点，则， 故， 则 . 7. 从不超过20的质数中，任选两个不同的质数，，记，则事件“”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知质数有，结合确定对应的情况数，及8个质数中任选2个的情况数，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】不超过的质数有共8个， 任选其中2个数差的绝对值小于4，有共6组， 所以任选2个不同的质数差的绝对值小于4的情况有种， 从8个质数中任选2个不同的质数有种， 所以，所求概率为. 8. 正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由面面平行的性质可得，则与所成角大小等于与所成角的大小，证明线面垂直，求出，所以，即与所成角的大小为. 【详解】因为平面平面，平面平面， 平面平面，则， 则与所成角大小等于与所成角的大小， 因为平面， 平面，所以， 又，且， ， 平面， 所以平面， 又平面，故，所以，即与所成角的大小为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（ ） A. 众数为65 B. 极差为7 C. 平均数为65.4 D. 80%分位数为67.5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据众数、极差、平均数以及百分位数的概念，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意知样本数据从小到大排列如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69， 65出现次数最多，故众数为65，故A正确； 极差为，故B正确； 平均数，故C错误； ，所以80%分位数为，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知平面直角坐标系中三个点，，，则（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 是锐角三角形 D. 以A，B，C为顶点的所有平行四边形的面积均为8 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量坐标的计算公式判断A，利用投影向量的定义计算判断B，先求出三边长，确定最大角，再由向量数量积的符号判断C；先由向量的夹角公式求出一个内角的余弦，再由三角形面积公式计算判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因， 则在上的投影向量为，故B错误； 对于C，由，，可得， 故角为的最大角，由可知角为钝角，故为钝角三角形，即C错误； 对于D，由上分析，得，则， 故，于是的面积为， 而以A，B，C为顶点的平行四边形的面积都是的面积的两倍，故D正确. 11. 已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则( ) A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举特例可判断A；根据面面垂直的判定定理可判断B；根据线面垂直的判定定理可判断C；根据面面平行的性质可判断D. 【详解】选项A，当直线同时平行于平面与时，与可能相交， 例如：当直线平行于两平面的交线时，满足条件，但此次不能得出，故A错误； 选项B，由、，根据线面垂直的性质得； 又，根据面面垂直的判定定理，可得，故B正确； 选项C，线面垂直需直线垂直于平面内两条相交直线， 但题中未明确直线相交，所以不能推出，故C错误. 选项D，由且，得直线是平面与的交线； 由且，得直线是平面与的交线. 已知，根据面面平行的性质定理：两平行平面被第三个平面所截，所得交线互相平行， 故，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型的概率求解. 【详解】从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张的基本事件有： 共6种抽法； 抽到的两张卡片上数字之和大于3的基本事件有共2种抽法， 所以抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为. 13. 已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 【答案】0.18## 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式求出，根据独立事件的概率公式求出． 【详解】因为与对立，所以， 又与相互独立，所以． 故答案为：0.18． 14. 如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，结合已知条件得出点坐标，进而得出向量的坐标，根据构建方程组得出与的关系，进而得出的三角函数表示，最后利用三角函数性质求出的最大值． 【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如下： 由已知条件可知，，，设，，则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，满足，，且与的夹角为． （1）求及； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义，向量数量积的运算律即可求解； （2）法一：由列出等式求解即可；法二：通过，再结合即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 所以， 所以． 【小问2详解】 法一：若，则， 所以， 即，解得． 法二：如图：，，，则， 则以，为邻边的平行四边形为菱形，即， 又，， 则， 又，则，即. 16. 在正方体中，点， ， ，分别为棱，，，的中点． （1）点， ， ，是否共面？请说明理由； （2）证明：平面． 【答案】（1）点， ， ，共面，理由如下： 连接 因为分别为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为分别为的中点， 所以， 所以， 则四点共面 （2）连接 因为底面为正方形， 所以， 因为平面，平面，则， ，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因，所以 因为底面为正方形，所以， 易得，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）证明即可说明点， ， ，共面； （2）分别证明平面，平面，利用线面垂直的性质可得，，结合线面垂直的性质即可证明结论. 【小问1详解】 点， ， ，共面 理由略 【小问2详解】 略 17. 一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出的值，再根据平均数计算公式计算即可； （2）先计算出内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，，解得，； 这50名学生的物理成绩的平均数为：； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，成绩在内的学生有人， 其中内有2人，设为，内有3人，设为， “从成绩在内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为： ，而事件 “2人成绩都在内”=， 由古典概型概率公式可得，. 即这2人成绩都在内的概率为. 18. 如图，在平面四边形中，，． （1）若，，求的值； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中由余弦定理求出，在中再由正弦定理可得到答案； （2）由余弦定理得、，根据求出，再利用平方关系求出，最后由三角形面积公式可得答案. 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理得 ， 所以， 在中，，，， 所以由正弦定理得，得， ，得； 【小问2详解】 在中，， 由余弦定理得， 在中，，， 由余弦定理得， 因为， 所以，解得， 所以， 因为，所以， 所以的面积. 19. 如图，在三棱台中，..平面，，，，点是棱的中点，点是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，连接，交于点，连接． 在三棱台中，，所以， 又是棱的中点，是线段的中点，所以， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明；（2）先找出二面角的平面角，再求解其余弦值；（3）利用等体积法求解 . 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为，过作，垂足为，连接，． 因为平面，平面，所以， 又，，，平面，所以平面． 因为平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角． 又，，， 在中，，则， 所以，即二面角的余弦值为． 【小问3详解】 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离． 设点到平面的距离为， ， ， 由，得，解得， 设直线与平面所成角为，所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $