1.1.1 空间向量及其线性运算（7大题型归纳）讲义-2026年新高二数学暑假预习人教A版选择性必修第一册

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【1.1.1 空间向量及其线性运算】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．空间向量的有关概念 （1）定义：在空间中，把具有____大小___和___方向____的量叫做空间向量． （2）长度：向量的__大小______叫做向量的长度或_模_____ （3）表示法 ①字母表示法：空间向量用字母表示 ②有向线段表示法：向量的起点是A，终点是B，则向量也可以记作________，其模记为_______或________． （4）几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为__0___的向量 单位向量 模为__1__的向量 或 相反向量 与长度___相等____而方向__相反 _____的向量，称为的相反向量 相等向量 方向__相同_____且模____相等___的向量 或 共线向量或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 或 2．空间向量的共线与共面 （1）共线、共面向量 共线（平行）向量 共面向量 定义 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线______互相平行或重合________________，那么这些向量叫做___共线向量______或平行向量 平行于____同一个平面___________的向量，叫做共面向量 充要条件 对于空间任意两个向量（），的充要条件是存在实数，使___ ______ 若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使______ （2）直线l的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．我们把与向量平行的非零向量称为直线l的___方向向量 ____． 3．空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言表述 首尾顺次相接，___首指向尾___为和 图形表示 平行四边形法则 语言表述 以共起点的两边为邻边作平行四边形，___共起点对角线___为和 图形表示 减法运算 三角形法则 语言表述 共起点，连终点，方向指向__被减____向量 图形表示 运算律 交换律 __ ____ 结合律 _ _____ 4．空间向量的线性运算满足的运算律 交换律：___ ____. 结合律：________. 分配律： ________， ________. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：空间向量有关的概念辨析】 【练方法】 公式结论 1.空间向量：空间中具有大小和方向的量记模长 2.零向量：模长为0方向任意与任意向量平行 3.单位向量：模长等于1与同向单位向量 4.相等向量：模相等且方向相同与位置无关 5.相反向量：模相等方向相反满足 6.平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量规定任意向量 方法技巧 1.辨析题抓关键词区分模相等/方向相同两个相等向量必要条件 2.判断平行向量不要求起点终点共线仅看方向关系 3.单位向量必须同时满足模为1同向单位向量要除以模长 4.零向量是高频陷阱平行、共线判定优先考虑特殊情况 易错提醒 1.仅模相等就判定向量相等忽略方向一致要求 2.认为零向量有固定方向 3.混淆相反向量与平行向量平行不代表反向 （25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ）经典例题1例题 A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C （24-25高二上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ）小试牛刀1 A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. （22-23高二上·福建福州·阶段检测）（多选）在平行六面体中与向量相等的向量有（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】直接利用相等向量的定义,结合平行六面体的几何特征即可求解． 【详解】如图， 在平行六面体中，与相等的向量有3个， 分别是，，． 故选：BC． （25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ）小试牛刀3 A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 【题型2：空间向量的加减运算】 【练方法】 公式结论 1.三角形法则： 2.平行四边形法则：共起点两向量对角线为 3.减法： 4.运算律：交换律结合律 方法技巧 1.向量化简优先统一起点首尾相接向量直接合并 2.减向量转化为加相反向量统一使用加法法则运算 3.图形类向量运算标记线段对应向量消去中间公共向量 4.多向量连加按结合律分组简化计算步骤 易错提醒 1.减法向量首尾颠倒错写成 2.忽略向量方向单纯对标线段长度计算 （25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解 . 【详解】由已知， . 故选：A （25-26高二上·山东淄博·期中）在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱柱的特征及空间向量线性运算的几何意义计算即可. 【详解】易知. 故选：C 在长方体中，等于（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的加减结合相反向量的运算可得答案. 【详解】 故选：A （25-26高二上·广西河池·阶段检测）如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，根据向量的线性运算即可求解. 【详解】,， 所以， 所以， 所以 . 故选：A. 【题型3：空间向量的数乘运算】 【练方法】 公式结论 1.数乘定义：实数与乘积 与同向；反向； 2.运算律： 方法技巧 1.系数分配律展开时实数要乘括号内全部向量不漏项 2.提取公共向量系数合并同类项化简线性表达式 3.由数乘符号快速判断向量同向/反向关系 易错提醒 1.数乘分配律漏乘写成 2.混淆忘记加绝对值 （25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. （25-26高二上·湖南·阶段检测）在四面体中，，设，，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先作出符合题意的图形，再利用空间向量的加法、减法和数乘运算法则求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，所以， 由空间向量的加法、减法和数乘运算法则得 ，故A正确. 故选：A （2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算法则即可求解． 【详解】连接，如图， 因为为的中点， 所以． 故选：C． （24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的加减法运算的几何表示和数乘关系即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 【题型4：空间向量的共线及求参数】 【练方法】 公式结论 1.共线向量定理：存在唯一实数使 2.三点共线充要条件：或 方法技巧 1.判定两向量共线构造等式对应坐标成比例求解 2.已知三点共线代入线性表达式列方程组求参数 3.含零向量题型先单独讨论特殊情况 易错提醒 1.忽略前提直接套用共线定理 2.坐标成比例时分母为零不分类讨论漏解参数 （25-26高二上·福建三明·期中）在空间直角坐标系中，向量，，若，则______.经典例题1例题 【答案】7 【分析】先利用空间向量共线（平行）的坐标条件，建立比例关系求出方程的解即可. 【详解】因为（），则存在实数，使得，则对应坐标成比例，即： 由，解得， 同理，，解得， 因此，. 故答案为：7. （25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为______．小试牛刀1 【答案】； 【分析】根据三点共线，可得空间向量、共线，即存在实数，使得，结合向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得， 即，解得． 故答案为：. （23-24高二上·安徽·期末）已知向量与共线，则（   ）小试牛刀2 A． B．0 C．2 D．6 【答案】D 【分析】根据两向量共线的坐标关系，列出方程求解即可. 【详解】因为向量与共线， 显然：,所以， 所以， 故． 故选：D （25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为 . 因为、、三点共线，所以. 所以 . 故选：D 【题型5 判定四点共面】 【练方法】 公式结论 1.四点共面向量共面 2.等价条件：存在实数使 3.充要推论：存在不全为0实数 方法技巧 1.固定其中一点写出三条从该点出发的向量 2.假设线性等式成立联立坐标方程有解则四点共面 3.快速检验：能否用两个基底向量线性表示第三条向量 易错提醒 1.随意选取无公共起点的三个向量判定共面 2.方程组无解仍判定四点共面 （25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的基本定理及其推论，以及向量的共面定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以共面，又因为有公共点，所以四点共面； 对于B，因为，所以四点共面； 对于C，因为，所以，即直线和可能异面，四点不一定共面； 对于D，因为，所以，所以四点共面． 故选：ABD． （22-23高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ）小试牛刀1 A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【详解】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. （22-23高二上·河南洛阳·阶段检测）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共面向量基本定理及其推论判断即可. 【详解】A选项：，所以A错； B选项：，所以B错； C选项：原式可整理为，所以C正确； D选项：原式可整理为，，故D错. 故选：C. 已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（    ）小试牛刀3 A．共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．不共面 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算化简得，即可判断四点位置情况. 【详解】, 则， 所以，则， 故四点共面. 故选：A 【题型6：空间向量共面求参数】 【练方法】 公式结论 1.若与不共线共面则满足 2.坐标对应相等得到关于参数的二元一次方程组解出参数值 方法技巧 1.先确认基底不共线再设线性组合等式 2.向量坐标一一对应拆分出参数方程组 3.多层参数分步消元求解验算结果代回原式验证 易错提醒 1.基底向量共线仍套用共面定理条件不成立 2.坐标等式对应错位方程组列写错误 （25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. （25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ）小试牛刀1 A．0 B．-1 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共面的性质进行求解即可. 【详解】共面， ， ，解得. 故选：C （25-26高二上·广东广州·期中）已知空间四点，，，共面，则x为（    ）小试牛刀2 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】求得的坐标，根据题意可知存在实数使得，利用空间向量的坐标运算可得出关于的方程组，进而可求得实数的值. 【详解】依题意得， 因为四点共面，所以共面， 所以存在实数使得， 即，所以，解得. 故选：D. （25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知 若三向量共面，则实数____.小试牛刀3 【答案】3 【分析】由空间向量共面定理，待定系数求解即可. 【详解】因为三向量共面，故存在实数，使得， 所以 则 解得. 故答案为：3. 【题型7：空间向量共面定理及其推论】 【练方法】 公式结论 1.共面向量定理：若不共线则向量与共面存在唯一实数 2.推论1（四点共面）：共面且 3.推论2：三个向量共面存在不全为0实数 方法技巧 1.证明向量共面优先使用解出即可判定 2.四点共面证明用推论1验证系数和等于1 3.辨析题区分共线（单参数）、共面（双参数）定理 易错提醒 1.四点共面推论忽略条件仅写出线性组合等式 2.基底向量共线时强行使用共面定理定理前提失效 （25-26高二上·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.经典例题1例题    【答案】 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： （24-25高三上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则_____．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，结合四点共面，即可得到结果. 【详解】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵点四点共面， ∴，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据空间向量的线性运算得到，利用四点共面可知，即可得到的值. （24-25高二上·浙江·期中）已知三棱锥的体积为3，M是空间中一点，，则三棱锥的体积是_______.小试牛刀2 【答案】2 【分析】由可得存在一点，使得，即可得，再利用相应比例关系可得对应体积. 【详解】如下图所示： 由可得； 即, 可得，即； 又，由空间向量基本定理可得在平面内存在一点，使得； 所以，，可得， 由三棱锥的体积为3，可得三棱锥的体积即为三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用空间向量的共面定理得出点与点的比例关系，再根据对应比例求得相应三棱锥的体积. （23-24高二上·广东东莞·阶段检测）如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则______．小试牛刀3    【答案】 【分析】确定，根据共面得到，解得答案. 【详解】 ； 四点共面，故，即. 故答案为： 课后过关检测 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏泰州·期末）设m是实数，已知，，若，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】利用空间向量平行的坐标运算求解答案． 【详解】由，设，即． 2．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 3．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 4．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理及体积法求点到平面距离求解. 【详解】由，且，得点在平面内， 因此的最小值即为点到平面的距离，即三棱锥底面上的高， 长方体中，，， 等腰底边上的高，， 由，得，即，解得， 所以的最小值为. 故选：D 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且 ，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 6．（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 7．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 二、多选题 8．（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 9．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 10．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【分析】根据空间向量线性运算、模、平行、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 三、填空题 11．（24-25高二下·江苏淮安·阶段检测）已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M_________（填“属于”或“不属于”）平面ABC． 【答案】属于 【分析】将已知式子变成，由此即可判断. 【详解】 ， 四点共面．即点平面ABC． 故答案为：属于 12．（2026高二·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 13．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 【答案】 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，则，即， 则. 14．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 【答案】/ 【分析】借助空间向量线性运算及四点共面条件计算即可得. 【详解】由，则， 则， 由A，B，C，P四点共面，则，解得. 15．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 16．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）四棱锥的底面为正方形，，，，，平面，则______． 【答案】/ 【分析】法一：可将四棱锥放入正方体中，则可作出截面与正方体各棱交点，再利用相似三角形性质计算即可得解；法二：过点作直线，延长与直线交于点，则交于点，再作出相应的相似三角形，利用相似三角形性质计算即可得解. 【详解】法一：如图1，将四棱锥放入正方体中， 延长与正方体刚好交于点，延长与交于点，连接， 过点作与交于点， 此时，，，，四点共面，则与的交点为点， ，又，则，，， ，. 法二：如图2，过点作直线，延长与直线交于点， 连接交于点，过点作交于点， 则点为上靠近点的四等分点． ，，则，，， 又，． 四、解答题 17．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    18．在正方体中，，分别为，的中点，若点满足，证明：，，，四点共面.    【答案】证明见解析 【分析】取中点，连接，，.先证明，再证明，即可证明. 【详解】取中点，连接，，，如图所示. 因为点是中点，所以. 因为点为的中点，所以， 因为， 所以， 因为，点是中点，所以G为HD的中点. 又点为的中点，所以为的中位线， 所以， 所以，，，四点共面.    1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【1.1.1 空间向量及其线性运算】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．空间向量的有关概念 （1）定义：在空间中，把具有____大小___和___方向____的量叫做空间向量． （2）长度：向量的__大小______叫做向量的长度或_模_____ （3）表示法 ①字母表示法：空间向量用字母表示 ②有向线段表示法：向量的起点是A，终点是B，则向量也可以记作________，其模记为_______或________． （4）几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为__0___的向量 单位向量 模为__1__的向量 或 相反向量 与长度___相等____而方向__相反 _____的向量，称为的相反向量 相等向量 方向__相同_____且模____相等___的向量 或 共线向量或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 或 2．空间向量的共线与共面 （1）共线、共面向量 共线（平行）向量 共面向量 定义 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线______互相平行或重合________________，那么这些向量叫做___共线向量______或平行向量 平行于____同一个平面___________的向量，叫做共面向量 充要条件 对于空间任意两个向量（），的充要条件是存在实数，使___ ______ 若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使______ （2）直线l的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．我们把与向量平行的非零向量称为直线l的___方向向量 ____． 3．空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言表述 首尾顺次相接，___首指向尾___为和 图形表示 平行四边形法则 语言表述 以共起点的两边为邻边作平行四边形，___共起点对角线___为和 图形表示 减法运算 三角形法则 语言表述 共起点，连终点，方向指向__被减____向量 图形表示 运算律 交换律 __ ____ 结合律 _ _____ 4．空间向量的线性运算满足的运算律 交换律：___ ____. 结合律：________. 分配律： ________， ________. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：空间向量有关的概念辨析】 【练方法】 公式结论 1.空间向量：空间中具有大小和方向的量记模长 2.零向量：模长为0方向任意与任意向量平行 3.单位向量：模长等于1与同向单位向量 4.相等向量：模相等且方向相同与位置无关 5.相反向量：模相等方向相反满足 6.平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量规定任意向量 方法技巧 1.辨析题抓关键词区分模相等/方向相同两个相等向量必要条件 2.判断平行向量不要求起点终点共线仅看方向关系 3.单位向量必须同时满足模为1同向单位向量要除以模长 4.零向量是高频陷阱平行、共线判定优先考虑特殊情况 易错提醒 1.仅模相等就判定向量相等忽略方向一致要求 2.认为零向量有固定方向 3.混淆相反向量与平行向量平行不代表反向 （25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ）经典例题1例题 A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 （24-25高二上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ）小试牛刀1 A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 （22-23高二上·福建福州·阶段检测）（多选）在平行六面体中与向量相等的向量有（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ）小试牛刀3 A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【题型2：空间向量的加减运算】 【练方法】 公式结论 1.三角形法则： 2.平行四边形法则：共起点两向量对角线为 3.减法： 4.运算律：交换律结合律 方法技巧 1.向量化简优先统一起点首尾相接向量直接合并 2.减向量转化为加相反向量统一使用加法法则运算 3.图形类向量运算标记线段对应向量消去中间公共向量 4.多向量连加按结合律分组简化计算步骤 易错提醒 1.减法向量首尾颠倒错写成 2.忽略向量方向单纯对标线段长度计算 （25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·山东淄博·期中）在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 在长方体中，等于（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·广西河池·阶段检测）如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：空间向量的数乘运算】 【练方法】 公式结论 1.数乘定义：实数与乘积 与同向；反向； 2.运算律： 方法技巧 1.系数分配律展开时实数要乘括号内全部向量不漏项 2.提取公共向量系数合并同类项化简线性表达式 3.由数乘符号快速判断向量同向/反向关系 易错提醒 1.数乘分配律漏乘写成 2.混淆忘记加绝对值 （25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·湖南·阶段检测）在四面体中，，设，，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：空间向量的共线及求参数】 【练方法】 公式结论 1.共线向量定理：存在唯一实数使 2.三点共线充要条件：或 方法技巧 1.判定两向量共线构造等式对应坐标成比例求解 2.已知三点共线代入线性表达式列方程组求参数 3.含零向量题型先单独讨论特殊情况 易错提醒 1.忽略前提直接套用共线定理 2.坐标成比例时分母为零不分类讨论漏解参数 （25-26高二上·福建三明·期中）在空间直角坐标系中，向量，，若，则______.经典例题1例题 （25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为______．小试牛刀1 （23-24高二上·安徽·期末）已知向量与共线，则（   ）小试牛刀2 A． B．0 C．2 D．6 （25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5 判定四点共面】 【练方法】 公式结论 1.四点共面向量共面 2.等价条件：存在实数使 3.充要推论：存在不全为0实数 方法技巧 1.固定其中一点写出三条从该点出发的向量 2.假设线性等式成立联立坐标方程有解则四点共面 3.快速检验：能否用两个基底向量线性表示第三条向量 易错提醒 1.随意选取无公共起点的三个向量判定共面 2.方程组无解仍判定四点共面 （25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （22-23高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ）小试牛刀1 A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 （22-23高二上·河南洛阳·阶段检测）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（    ）小试牛刀3 A．共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．不共面 【题型6：空间向量共面求参数】 【练方法】 公式结论 1.若与不共线共面则满足 2.坐标对应相等得到关于参数的二元一次方程组解出参数值 方法技巧 1.先确认基底不共线再设线性组合等式 2.向量坐标一一对应拆分出参数方程组 3.多层参数分步消元求解验算结果代回原式验证 易错提醒 1.基底向量共线仍套用共面定理条件不成立 2.坐标等式对应错位方程组列写错误 （25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ）小试牛刀1 A．0 B．-1 C．1 D． （25-26高二上·广东广州·期中）已知空间四点，，，共面，则x为（    ）小试牛刀2 A．8 B．9 C．10 D．11 （25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知 若三向量共面，则实数____.小试牛刀3 【题型7：空间向量共面定理及其推论】 【练方法】 公式结论 1.共面向量定理：若不共线则向量与共面存在唯一实数 2.推论1（四点共面）：共面且 3.推论2：三个向量共面存在不全为0实数 方法技巧 1.证明向量共面优先使用解出即可判定 2.四点共面证明用推论1验证系数和等于1 3.辨析题区分共线（单参数）、共面（双参数）定理 易错提醒 1.四点共面推论忽略条件仅写出线性组合等式 2.基底向量共线时强行使用共面定理定理前提失效 （25-26高二上·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.经典例题1例题    （24-25高三上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则_____．小试牛刀1 （24-25高二上·浙江·期中）已知三棱锥的体积为3，M是空间中一点，，则三棱锥的体积是_______.小试牛刀2 （23-24高二上·广东东莞·阶段检测）如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则______．小试牛刀3    课后过关检测 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏泰州·期末）设m是实数，已知，，若，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．6 2．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且 ，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 6．（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 7．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 10．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 三、填空题 11．（24-25高二下·江苏淮安·阶段检测）已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M_________（填“属于”或“不属于”）平面ABC． 12．（2026高二·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 13．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 14．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 15．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 16．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）四棱锥的底面为正方形，，，，，平面，则______． 四、解答题 17．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 18．在正方体中，，分别为，的中点，若点满足，证明：，，，四点共面.    1 学科网（北京）股份有限公司 $