2027届高三数学一轮复习 第三十九讲 导数与单调性（一）

该高中数学高考复习学案系统梳理了导数与单调性专题，涵盖单调性判定、不含参及含参单调区间讨论等核心考点，按“基础-方法-应用”层次构建知识网络，通过问题链设计引导学生自主推导解题步骤，形成系统性认知框架。 亮点在于诊断性自测与分层训练设计，开篇设置导函数符号判定等基础题，配合含参讨论步骤分解任务，培养数学思维与表达素养。每个题型配真题演练及反思提示，帮助学生自主诊断薄弱环节，教师可依学情精准指导，提升复习实效。

2027届高三数学一轮复习 第三十九讲 导数与单调性（一） 【学习目标】利用导数求函数的单调区间. 【学习重点】导函数符号的确定；含参函数的单调区间的求解. 【学习难点】导函数符号的确定；含参函数的单调区间的求解. 必掌握知识点 一：单调性基础问题 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【解题方法总结】 1、求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性． 注：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数． ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减． 必考题型全归纳 题型一、导数与单调性关系判断 1．下列命题是正确为（    ）个 （1）若函数在内单调递减，则一定有. （2）若函数在某一范围内导数的绝对值越大，那么函数在这个范围内变换得就越快，此时函数的图象就会更“陡峭”(向上或向下)． （3）在内，且的零点有有限个或可列个，则在上为增函数． （4）若函数在上存在单调递减区间，则当时，有解． （5）若函数在区间内是增函数，则实数a的取值范围是． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用函数的单调性与函数的导数的关系，逐一判断各个命题作答. 【详解】对于（1），显然函数在R上单调递减，，而，（1）错误； 对于（2），若函数在某一范围内导数的绝对值越大，那么函数在这个范围内变换得 就越快，此时函数的图象就会更“陡峭”(向上或向下)，（2）正确； 对于（3），在内，且的零点有有限个或可列个，则在上为增函数，（3）正确； 对于（4），函数在上存在单调递减区间，则当时，有解，（4）正确； 对于（5），由求导得，依题意，， 显然当时，恒成立，因此，（5）错误， 所以正确命题的个数是3.故选：B 2．（陕西省部分重点高中2022-2023学年高三上学期11月联考文科数学试题）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可推得在上有解，分离参数，得在上有解，由此构造函数，判断其单调性，即可求得答案. 【详解】由题可知在上有解， 即在上有解，设 ， 当时，，递减，当时，，递增， 故，， 所以，解得，所以的取值范围是，故选：A 3（多选）．（甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题）已知函数在上可导，其导函数满足且，令，则（    ） A．函数的单调递减区间为 B．是函数的极小值点 C．函数必有零点 D． 【答案】AD 【分析】求出，即可得到的单调性与极值点，即可判断A、B、C，由单调性得到，即，即可判断D. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递增， 当时，， 当时，，故在上单调递减， 所以是函数的极大值点，故A正确，B错误； 若，则没有零点，故C错误； 由在上单调递增，得， 即，化简得，故D正确.故选：AD. 题型二、基础初等函数、 复合函数单调区间求解 4．（【全国百强校】广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次统测（4月段考）数学（文）试题）函数的单调递减区间是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 所以单调递减区间是，选D. 5．（云南省曲靖市第一中学2019-2020学年高考复习质量监测（三）数学（文）试题）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递减区间为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数是函数的反函数，所以，再求得，再求函数的定义域，再结合复合函数的单调性求解即可. 【详解】：由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知，函数是函数的反函数，所以，即，要使函数有意义，则，即，解得，设，则函数在上单调递增，在上单调递减．因为函数在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是，故选D． 【点睛】本题考查了函数的反函数的求法及复合函数的单调性，重点考查了函数的定义域，属中档题. 6．（北京市一零一中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题）下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合一次函数，二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可． 【详解】由一次函数的性质可知，y=-3x-1在区间(1，+∞)上为减函数，故A错误； 由反比例函数的性质可知，y=在区间(1，+∞)上为减函数， 由二次函数的性质可知，y=x2-4x+5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，y=|x-1|+2在(1，+∞)上单调递增．故选D． 【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题． 题型三、导数求单调区间、含参讨论单调性 7． （2021年新高考数学一轮复习）已知函数．讨论在区间的单调性； 【答案】在，上单调递增，在上单调递减． 【分析】先求导，根据导数和函数单调性的关系即可求出， 【详解】因为， ， 令，解得，或， 当或时，，当时，， 在，上单调递增，在上单调递减． 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题. 8．（河北省邯郸市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题）已知函数，其中为常数. （1）求函数的单调区间； （2）若是的一条切线，求的值； （3）已知，为整数，若对任意，都有恒成立，求的最大值. 【答案】(1)答案见解析；(2)0；(3)2. 分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设切点为则：，从而可得结果；（3）恒成立等价于对恒成立，构造函数，通过导函数的符号判断函数的单调性求解函数的最值，然后可得结果. 详解：（1）函数的定义域为． 若时，则，所以在上单调递增； 若时，则当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增． （2）设切点为则：，解得． （3）当时，对任意，都有恒成立等价于对恒成立．令，则， 由（1）知，当时，在上递增． 因为，所以在上存在唯一零点， 所以在上也存在唯一零点，设此零点为，则． 因为当时，，当时，， 所以在上的最小值为，所以， 又因为，所以，所以． 又因为为整数且，所以的最大值是． 点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大， 本部分的要求一定有三个层次： 第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； 第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等； 第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 9．（天津市武清区2025-2026学年度第二学期期中练习高二数学）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若在区间上存在零点，证明：． 【答案】(1)若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】（1）求导，分类讨论，根据导数的符号确定单调区间； （2）分离参数，转化为不等式关系，构造新函数，求导，确定单调性可证. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，由，可得；由，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)因为在区间上存在零点， 所以存在，有 ，即， 若要证明，则只需，即只需， 不妨设，，求导得， 令，， 求导得， 所以当时，单调递增，所以， 当时，单调递增，所以， 即当时，不等式恒成立.故得证. 题型四、导数与函数零点、方程根个数（数形结合） 10．（北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题）已知函数的单调递增区间是，单调递减区间是的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合函数单调区间，由零点存在定理判断零点个数. 【详解】已知函数的单调递增区间是，单调递减区间是，，， ， ，，， 时，恒成立， 所以在区间上各有1个零点，零点个数为3.故选：C 11．（【全国百强校】四川省棠湖中学2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可设g(x)=，可得=，g(x)有最小值g（-1）=-1，同时可得≥4，可得当且仅当x=a+In2=-1成立，可得a的值. 【详解】：由，可令g(x)=, =，故g(x)=在（-2，-1）上是减函数，（-1，）上是增函数，故当x=-1时，g(x)有最小值g（-1）=-1， 而≥4，（当且仅当=，即x=a+In2时成立）； 故f（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等式成立）； 故x=a+In2=-1，即a=-In2-1.故选D. 【点睛】本题主要考查的函数与方程的综合运用，其中函数的零点问题等价于方程的根的问题，函数图像的交点的问题，这三个方法可以相互转化.研究这类题目，要注意观察表达式的特点，这个题目中的右侧函数是对勾形式函数，求最值较为好求，需先分析题目特点再寻找解题方法. 12．（四川省南江中学2025-2026学年高二下学期期中测试数学试题）对于函数，则（   ） A．函数的单调递减区间为 B．不存在，使得直线与曲线相切 C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 【答案】BCD 【分析】利用商的导数结合定义域就可判断A，利用导数来求切线斜率，结合函数零点即可判断B，利用偶函数，及分段函数单调性及值域，即可判断C，利用极值点偏移来证明即可判断D. 【详解】函数的定义域为 且 ，求导得：， 由，解得或， 所以的单调递减区间是和 ，故A错误； 假设存在切线 ，设切点为，则斜率， 所以在该点的切线方程为：， 由切线过点，所以代入上面切线方程可得： ， 因为是增函数，所以有唯一解， 但不在定义域内，所以不存在这样的，故B正确； 由是偶函数，则只需分析 的根为3个： 当时，由A选项可得： 在上是单调递增，其值域为 ， 所以在时，对任意 仅有1个根；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为 ， 且当时，，当时，， 所以当 时，一定有2个根， 此时当时，满足在区间内有3个根，故C正确； 若，不妨设，要证 ， 由于，且在上单调递增， 所以原不等式等价于证明： ， 又因为，所以又等价于证明：， 构造， 求导得 ， 构造函数，，求导得：， 再构造函数，，求导得：， 则在上单调递增，即， 所以，则在上单调递减， 即， 所以， 即当时，， 故在上单调递减，即， 所以得证，即不等式恒成立，故D正确. 题型五、导数几何意义：切线方程、切线存在性 13（多选）．（河南洛阳市2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷）设函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的单调递减区间为 B．函数有极小值 C．曲线在处的切线方程为 D．函数恰有两个零点 【答案】BC 【分析】先对函数求导得到，再通过导数符号分析单调性与极值，计算特殊点处的导数值与函数值以验证切线方程，最后令求解零点，逐一判断选项正误． 【详解】对于A，函数的定义域为，， 令，得，所以的单调递减区间为，A错误； 对于B，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是极小值点，极小值为，B正确； 对于C，，， 所以曲线在处的切线方程为，即，C正确； 对于D，令，得（因为），所以函数只有个零点，D错误． 14．（重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性； (3)若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减．(3) 【分析】（1）求导得，则得到切线斜率，再写出切线方程即可； （2）求导得，再分，和讨论即可； （3）分，和讨论即可. 【详解】（1）当时，，，， 所以在点处的切线方程为，即． （2）由题意得的定义域为， ， ①当时，，所以在上单调递增． ②当时，， 由，解得， 不妨设，则由韦达定理有， 又， ，即，故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减． ③当时，， 可得，所以在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减． （3）①当时，在上单调递增，，矛盾； ②当时，在上单调递增， 所以当时，，矛盾； ③当时，所以在上单调递减，，符合题意， 综上：所求实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求导并因式分解得，再合理分类讨论即可. 15．（云南西南名校联盟2025-2026学年高三下学期5月联考数学试题）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，因此先对函数 求导，再将 代入导函数，结合已知切线斜率列出方程，进而求解 的值； （2）先求出函数 的定义域和导函数 ，然后根据判别式 的取值情况，分情况讨论导函数的正负性，从而确定函数 的单调性. 【详解】（1）已知 ，其定义域为 ， ，则， 因为函数 在点 处的切线斜率为 2 ，所以 ，  即 ，解得 . （2）由（1）可知 ， 令 ，其判别式 ， 当 ，即 时 在 上恒成立， 又因为 ，所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增； 当 ，即 或 时，由 ，即 ， 根据求根公式可得. 若 ，则 ，因为 ，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增； 若 ，则 ，且 ， 当 0 或 时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 , 上单调递减. 巩固提升： 1（多选）．（江苏省盐城市响水中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．-2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点 B．0是函数的极小值点 C．函数的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 【答案】BC 【分析】根据导函数的正负，即可判断原函数单调性和极值，得出正确选项. 【详解】由题意可得，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误.故选：BC 2（多选）．（河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．是函数的极大值点，是函数的极小值点 B．是函数的极小值点 C．函数的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 【答案】BCD 【分析】观察导函数图象，分别确定导数取正值和负值的区域，结合导数与单调性和极值的关系判断函数的单调性和极值即可. 【详解】由题意可得，当时，，当且仅当时取等号， 当时， ， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以是函数的极小值点，所以B，C，D正确，A错误.故选：BCD. 3（多选）．（山西省山西大学附属中学校2024-2025学年高一上学期第三次月考数学试题）下列命题正确的有（ ） A．命题“”的否定是“” B．方程的解在内 C．函数的单调递减区间是 D．“”是“不等式对一切实数恒成立”的充要条件 【答案】AB 【分析】对于A，根据特称命题的否定，可得答案；对于B，构造函数，根据零点存在性定理，可得答案；对于C，根据复合函数的单调性，结合二次函数与幂函数的单调性，可得答案；对于D，根据不等式，利用分类讨论思想，建立不等式，可得答案. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A正确； 对于B，令，易知函数单调递增， 由， 则函数在上存在零点，故B正确； 对于C，由，则，可得，解得， 由函数在上单调递减，且为增函数， 则函数的单调递减区间为，故C错误； 对于D，由不等式恒成立， 则或，可得，故D错误.故选：AB 4．（苏教版（2019）选修第一册突围者第5章第三节课时1单调性）若函数的单调递减区间是，则其单调递增区间为______．实数的值为______． 【答案】 ， 【分析】由函数的单调递减区间得到的两个根，可得的值，再利用导函数正负与原函数单调性的关系求解单调递增区间. 【详解】因为， 又因为的单调递减区间是，所以的两个根为，， 即，解得． 且的解集为，所以的解集为 所以的单调递增区间是，， 故答案为：，    5．（第二节导数与函数的单调性（讲））函数的单调递增区间是____；单调递减区间是_____. 【答案】 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间. 【详解】函数定义域为，， 令，则，解得，， 令，则，解得，， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 故答案为：； 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第三十九讲 导数与单调性（一） 【学习目标】利用导数求函数的单调区间. 【学习重点】导函数符号的确定；含参函数的单调区间的求解. 【学习难点】导函数符号的确定；含参函数的单调区间的求解. 必掌握知识点 一：单调性基础问题 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【解题方法总结】 1、求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性． 注：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数． ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减． 必考题型全归纳 题型一、导数与单调性关系判断 1．下列命题是正确为（    ）个 （1）若函数在内单调递减，则一定有. （2）若函数在某一范围内导数的绝对值越大，那么函数在这个范围内变换得就越快，此时函数的图象就会更“陡峭”(向上或向下)． （3）在内，且的零点有有限个或可列个，则在上为增函数． （4）若函数在上存在单调递减区间，则当时，有解． （5）若函数在区间内是增函数，则实数a的取值范围是． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（陕西省部分重点高中2022-2023学年高三上学期11月联考文科数学试题）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（多选）．（甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题）已知函数在上可导，其导函数满足且，令，则（    ） A．函数的单调递减区间为 B．是函数的极小值点 C．函数必有零点 D． 题型二、基础初等函数、 复合函数单调区间求解 4．（【全国百强校】广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次统测（4月段考）数学（文）试题）函数的单调递减区间是 A． B． C． D． 5．（云南省曲靖市第一中学2019-2020学年高考复习质量监测（三）数学（文）试题）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递减区间为 A． B． C． D． 6．（北京市一零一中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题）下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（    ）. A． B． C． D． 题型三、导数求单调区间、含参讨论单调性 7． （2021年新高考数学一轮复习）已知函数．讨论在区间的单调性； 8．（河北省邯郸市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题）已知函数，其中为常数. （1）求函数的单调区间； （2）若是的一条切线，求的值； （3）已知，为整数，若对任意，都有恒成立，求的最大值. 9．（天津市武清区2025-2026学年度第二学期期中练习高二数学）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若在区间上存在零点，证明：． 题型四、导数与函数零点、方程根个数（数形结合） 10．（北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题）已知函数的单调递增区间是，单调递减区间是的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（【全国百强校】四川省棠湖中学2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为 A． B． C． D． 12．（四川省南江中学2025-2026学年高二下学期期中测试数学试题）对于函数，则（   ） A．函数的单调递减区间为 B．不存在，使得直线与曲线相切 C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 题型五、导数几何意义：切线方程、切线存在性 13（多选）．（河南洛阳市2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷）设函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的单调递减区间为 B．函数有极小值 C．曲线在处的切线方程为 D．函数恰有两个零点 14．（重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性； (3)若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. 15．（云南西南名校联盟2025-2026学年高三下学期5月联考数学试题）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 巩固提升： 1（多选）．（江苏省盐城市响水中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．-2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点 B．0是函数的极小值点 C．函数的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 2（多选）．（河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．是函数的极大值点，是函数的极小值点 B．是函数的极小值点 C．函数的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 3（多选）．（山西省山西大学附属中学校2024-2025学年高一上学期第三次月考数学试题）下列命题正确的有（ ） A．命题“”的否定是“” B．方程的解在内 C．函数的单调递减区间是 D．“”是“不等式对一切实数恒成立”的充要条件 4．（苏教版（2019）选修第一册突围者第5章第三节课时1单调性）若函数的单调递减区间是，则其单调递增区间为______．实数的值为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $