第26章《二次函数》单元测试卷（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学《二次函数》单元复习卷，120分钟150分，覆盖定义、图像性质、实际应用等核心知识，通过篮球轨迹、天麻销售等真实情境设计，培养抽象能力、模型意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|二次函数定义（题1）、图像顶点（题3）、增减性（题4）|结合“镜面函数”（题7）考查创新应用| |填空题|6/24|图像平移（题11）、不等式解集（题12）、新定义“黎点”（题15）|通过表格数据（题14）培养数据分析能力| |解答题|9/86|配方求顶点（题17）、利润问题（题21）、电缆架设（题22）、乒乓球轨迹（题25）|以天麻销售、电缆安全等真实情境构建模型，发展应用意识与推理能力|

《二次函数》 单元测试 （考试时间：120分钟；分值：150） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数解析式中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据：形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、是二次函数，故此选项符合题意； C、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．已知抛物线上有点，当时，则P点纵坐标b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是得到抛物线的顶点式及熟练掌握y与x的变化关系．根据抛物线解析式得到顶点坐标，结合函数性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴其顶点坐标为． ∵，且， ∴抛物线开口向上， ∴． 故选C． 3．函数的图像的顶点坐标是（  　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点式的性质：y＝a（x−h）2＋k中，顶点坐标为（h，k），即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴函数图象顶点坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的顶点式的相关性质是解题的关键． 4．对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．先确定抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质得当时，随的增大而减小，所以对称轴不能在直线的左边，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∵时，随的增大而减小， ∴，解得：， 故：B． 5．下面的三个问题中都有两个变量： ①将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积y与矩形一条边长x； ②赵老师匀速从家走到学校所走的路程y和行走时间x； ③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼成本价为10元/kg，原价为30元/kg，此时日销量为10kg，当月饼单价每降价1元，每天可以多卖出10kg，月饼利润y与降价x；其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】①将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，求出矩形的面积与矩形一条边长之间的函数关系式即可得出答案；②赵老师爬香山时，路程一定，则所花的时间和平均速度成反比，不是二次函数，即可得出答案；③求出月饼利润与降价之间的函数关系式，即可得出答案．本题主要考查了求函数关系式，二次函数图象，根据题意求出相应的函数解析式，是解题的关键． 【详解】解：①矩形一条边长为x，则另外一条边长为，则矩形的面积为：， ∴矩形的面积y是矩形一条边长为x的二次函数，且二次函数的开口向下，抛物线过原点O，因此变量与变量之间的函数关系可以用图示的图像表示， 故①符合题意； ②赵老师匀速从家走到学校所走的路程y和行走时间x，设速度为m，则 ∴y是x的一次函数，不是二次函数，因此变量与变量之间的函数关系不可以用图示的图像表示， 故②不符合题意； ③根据题意，得，不过原点， ③不符合题意；综上分析可知，变量与变量之间的函数关系可以用图示的图像表示的是①，故A正确． 故选：A． 6．如图，若二次函数的图象过点，且与轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，注意利用顶点坐标，对称轴解析式，以及特殊点的函数值是解题的关键．①根据函数图象开口向上判断出，再根据对称轴判断出，根据函数图象与轴的交点判断出，然后相乘即可得解；②根据函数图象的对称轴在轴的左侧解答；③根据顶点纵坐标值大于时的函数值列式整理即可得解；④把与时的值联立求解即可． 【详解】解：①对称轴，， ， 函数图象与轴的交点在轴负半轴， ， ，故①正确； ②根据图象，对称轴， 抛物线开口向上， ， ， 整理得，故②正确； ③点不是顶点坐标， 函数图象的顶点坐标的纵坐标为：， ， ，故③正确； ④当时，， ， 当时，， 即， 解得，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④共4个． 故选：D． 7．规定：若两个函数、的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“镜面”函数．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“镜面”函数．若二次函数（a为常数，a≠0）的“镜面”函数的图象与x轴只有一个交点，则其“镜面”函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，根据“镜面”函数的定义，原函数的镜面函数是将原函数中的替换为得到；镜面函数与轴只有一个交点，即判别式为零，由此求出的值，再代入镜面函数表达式即可； 【详解】解：∵ 原函数为 （）， ∴ 其“镜面”函数为 ； ∵ “镜面”函数与轴只有一个交点， ∴ 判别式； ∴； 解得 ； 代入“镜面”函数： ； 故选：B 8．在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”P的可能性最大的线路是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意即可得出结论． 【详解】解：B、D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；A、B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过.A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路． 故选：B． 【点睛】本题主要考查学生的细心程度，认真分析是解决本题的关键． 9．将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得新抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数与一次函数图象的综合判断，先根据平移规则，确定新抛物线的解析式，再联立新抛物线与直线的解析式，根据根与系数的关系，判断出的符号，进而判断出直线经过的象限即可． 【详解】解：由题意，新的抛物线的解析式为， 令，整理，得：， ∵新抛物线与直线交于，两点，， ∴， ∴当，时，经过一，二，四象限； 当，时，经过一，三，四象限； 故一定经过第一、四象限； 故选：D． 10．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，y随x的增大而减小 C．对称轴是直线 D．与坐标轴有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 根据二次函数的图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：对于抛物线， ∵， ∴开口向上，A正确； 对称轴是直线，C正确； 当时，y随x的增大而增大，B错误； 当时， 解得， ∴抛物线与轴有一个交点， 又∵抛物线与轴有一个交点， ∴抛物线与坐标轴有两个交点，D正确； 故选：B． 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，满分24分。） 11．将抛物线y=x2向左平移3个单位所得图象的函数表达式为___． 【答案】y=(x＋3)2 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移3个单位所得直线的解析式为：y=（x+3）2． 故答案是：y=（x+3）2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，正确理解平移法则是关键． 12．已知抛物线经过点，则不等式的解集是 _____． 【答案】或 【分析】根据抛物线经过点，可得抛物线开口向下，且当时，或，再根据二次函数的图象和性质即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线经过点， 抛物线开口向下，且当时，或， 不等式的解集是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了利用二次函数的图象解一元二次不等式，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键． 13．已知抛物线的图象经过，，，四个点，则与的大小关系是________（填“>”或“”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，根据题意确定对称轴为直线，结合开口方向即可求解． 【详解】解：∵抛物线的图象经过，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线开口向上，， ∴， 故答案为： 14．二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数与x轴交点坐标求对称轴，结合开口方向比较函数值大小． 【详解】解：由表格知：二次函数与x轴交于点和，故图象对称轴为：直线， ∵当时，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴，该函数图象开口向上，函数值在对称轴两侧随距离增大而增大， ∵，，， ∴． 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如都是“黎点”．若抛物线（a，c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，c的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题． 抛物线为常数)上有且只有一个“黎点”推出方程有且只有一个解，即，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线上有且只有一个“黎点”， ∴方程有且只有一个解， 方程整理可得， 即有， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 16．将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 将抛物线向下平移个单位后，得到新抛物线，其与轴有公共点等价于对应二次方程有实数根，因此判别式大于等于零，由此列不等式求解的取值范围． 【详解】将抛物线 向下平移 个单位长度后，得到新抛物线的表达式为 ， 平移后的抛物线与轴有公共点，即方程 有实数根， 因此判别式 ， 计算判别式：， 由，得，解得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题6分）已知抛物线． (1)利用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1) (2)（或）时，随的增大而减小 【分析】本题考查了解析式的顶点式，对称轴，增减性．熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． （1）化成顶点式后确定对称轴即可； （2）根据抛物线的性质解答即可． 【详解】（1）解：（1）， 该抛物线的顶点坐标． （2）由（1）可得抛物线开口向上，对称轴为直线， （或）时，随的增大而减小． 18．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 分别求出点A、B、C的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】令，则， 解得，，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴． 19．（本题8分）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与x轴交于O，A两点，顶点为点B． (1)大致画出该二次函数的图象． (2)若点，连接，则四边形的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数与几何综合： （1）根据二次函数图象的画法画图即可； （2）先把解析式化为顶点式得到点B的坐标和对称轴，再求出点A的坐标，进而得到，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示函数图象即为所求； （2）解：∵二次函数解析式为， ∴顶点B的坐标为，对称轴为直线， ∵二次函数的图象与x轴交于O，A两点， ∴由对称性可知点A的坐标为， ∴， ∴ ． 20．（本题8分）在二次函数中，与的几组对应值如表所示． … … … … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)根据图象写出一条函数性质． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，见解析 (3)时，随的增大而减小；时，随的增大而增大（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由表格所给数据用待定系数法求函数解析式； （2）将二次函数解析式化为顶点式求顶点坐标，描点连线画函数图像； （3）写出二次函数的增减性（答案不唯一）． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 由题意图象过，，代入得， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 顶点坐标为． 作图如下： （3）解：当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大（答案不唯一） 21．（本题8分）昭通市彝良县小草坝镇是乌天麻原产地，近段时间，天麻陆续上市．某公司推出一款成本为70元的天麻特产礼盒，当每盒售价为120元时，每周可销售300盒．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据市场调查发现，每盒每降低1元，每周销量可增加10盒． (1)写出公司每周的利润W元与降价x元之间的函数关系； (2)当降价多少元时，公司每周的利润最大，最大为多少元？ (3)若公司每周的利润要达到15960元，并最大限度让利于民，则定价应为多少元？ 【答案】(1)， (2)每盒天麻降价为10元时，该公司每周能获得最大利润，最大的利润是16000元， (3)公司想要每周获得15960元的利润，销售单价应定为108元． 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，明确题意，列出相应的方程，写出函数关系式，并利用二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出公司每天的利润W元与降价x元之间的函数关系； （2）将（1）中的函数关系式化为顶点式，即可求解； （3）令求出相应的x值，再根据最大限度让利于民，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由（1）得： ， ∴时，最大为16000， 即当降价10元时，公司每天的利润最大，最大为16000元； （3）解：当， 解得：，， ∵最大限度让利于民， ∴不合题意，舍去， ∴定价应为（元）， 答：定价应为108元． 22．（本题10分）根据以下素材，探索完成任务. 运用二次函数研究电缆架设问题 素材1 如图a，电缆在空中架设时.两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状． 如图b，在一个斜坡上按水平距离间隔75米架设两个塔柱.每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米）， 按如图b建立坐标系（轴在水平方向上），可得抛物线表达式：，点、在同一水平线上，经测量，米，斜坡的坡比为． 素材2 若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于18.75米时，符合安全要求，否则存在安全隐患． （说明：直线轴分别交直线和抛物线于点、．点距离坡面的铅直高度为的长） 任务1 确定电缆形状 求点的坐标及直线的函数表达式． 任务2 判断电缆安全 上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 任务3 探究安装方法 注：可建立新的坐标系 工程队想在坡比为的斜坡上架设电缆，两个塔柱的高度仍为米，电缆抛物线的形状与任务1相同，若电缆下垂恰好符合安全高度要求，则两个塔柱的水平距离应为多少米？ 【答案】任务1，，；任务2，符合安全要求，利用见解析；任务3，两个塔柱的水平距离为80米 【分析】（1）根据坡比求出的长度，结合象限得到点D的坐标； （2）假设抛物线上点P的坐标，作垂直于x轴，交直线于点Q，通过求出的最大值判断是否符合安全； （3）先建立合适的平面直角坐标系，结合（1）的抛物线形状，利用待定系数法得到抛物线的解析式，类似于第（2）题的方法求出线段的表达式，从而根据题意得到抛物线的解析式，最后假设两点坐标，根据塔柱高是米求出点的坐标，通过横坐标得到两个塔柱的水平距离． 【详解】解：（1）在中， ∵斜坡的坡比为， ∵， 又∵， ∴， ∵在第四象限， ∴， 设直线的表达式为， 将点代入得， ∴； （2）设为抛物线上一点，过作轴垂线交直线于点，则可设点的坐标为，点的坐标，线段的长度为，则有 ， ∵，可以取到， ∴有最小值，当时，， ∴符合安全要求； （3）以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， ∵抛物线形状不变，长度不变， ∴设抛物线表达式为， 设为抛物线上一点，过作轴垂线交直线于点，则可设点的坐标为，点的坐标，则线段的长度为， ， ∵， ∴有最小值， 又∵恰好符合安全高度要求， 当时，， ∴解上面式子得，，， （因为对称轴在轴左侧，所以，负值舍去）， ∴抛物线表达式为， ∴设点的坐标为， 点的坐标， 的长， 解得，（不合题意，舍去）， 所以两个塔柱的水平距离为80米． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用，题目从实际出发结合坡比的知识求抛物线和直线的解析式．此外题目还综合二次函数和一次函数解析式求线段长度的最值． 23．（本题12分）求证：抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴必有两个不同的交点． 【答案】见解析 【分析】令，得到关于的一元二次方程，进而根据一元二次方程的根的判别式判断根的情况，进而得证． 【详解】令，则 原方程有两个不等实数根， 即抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴必有两个不同的交点． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题，转化为求一元二次方程根的判别式是解题的关键． 24．（本题14分）已知二次函数的图象过点，． (1)当时，求a的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：根据题意，，， 则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】(1)根据题意当时，将点代入即可得出a的值； (2)首先，把点，分别代入函数，得，，然后，再将代入，得，最后，由，可证得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵二次函数的图象过点， ∴， 解得； （2）略 25．（本题14分）发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高，发球机采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分．某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 45 m 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是 ，表格中的值为 ； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度减少，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后 过网（填“能”或“不能”）． 【答案】(1)， (2) (3)能 【分析】（）根据表格中的数据，函数值为时，自变量的值即为水平距离；根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （）由（）可知抛物线的顶点坐标为，设，再利用待定系数法解答即可求解； （）当发球机的发球高度减少时，可得抛物线解析式为，再求出时的值，进而比较即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是， ∵当和当时的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴与时对应的函数值相等， ∵时， ∴， 故答案为：， （2）解：由（）可知，抛物线的顶点坐标为， 设， 把代入，得， 解得， ∴满足条件的函数表达式为； （3）解：当发球机的发球高度减少时，则此时抛物线解析式为， 当时，， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能过网， 故答案为：能． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《二次函数》 单元测试 （考试时间：120分钟；分值：150） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数解析式中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知抛物线上有点，当时，则P点纵坐标b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．函数的图像的顶点坐标是（  　） A． B． C． D． 4．对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．下面的三个问题中都有两个变量： ①将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积y与矩形一条边长x； ②赵老师匀速从家走到学校所走的路程y和行走时间x； ③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼成本价为10元/kg，原价为30元/kg，此时日销量为10kg，当月饼单价每降价1元，每天可以多卖出10kg，月饼利润y与降价x；其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 6．如图，若二次函数的图象过点，且与轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．规定：若两个函数、的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“镜面”函数．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“镜面”函数．若二次函数（a为常数，a≠0）的“镜面”函数的图象与x轴只有一个交点，则其“镜面”函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 8．在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”P的可能性最大的线路是（    ） A． B． C． D． 9．将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得新抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 10．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，y随x的增大而减小 C．对称轴是直线 D．与坐标轴有两个交点 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，满分24分。） 11．将抛物线y=x2向左平移3个单位所得图象的函数表达式为___． 12．已知抛物线经过点，则不等式的解集是 _____． 13．已知抛物线的图象经过，，，四个点，则与的大小关系是________（填“>”或“”或“<”） 14．二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 15．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如都是“黎点”．若抛物线（a，c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，c的取值范围是___________． 16．将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 三、解答题（本大题共9题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题6分）已知抛物线． (1)利用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ 18．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．求的面积． 19．（本题8分）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与x轴交于O，A两点，顶点为点B． (1)大致画出该二次函数的图象． (2)若点，连接，则四边形的面积为__________． 20．（本题8分）在二次函数中，与的几组对应值如表所示． … … … … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)根据图象写出一条函数性质． 21．（本题8分）昭通市彝良县小草坝镇是乌天麻原产地，近段时间，天麻陆续上市．某公司推出一款成本为70元的天麻特产礼盒，当每盒售价为120元时，每周可销售300盒．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据市场调查发现，每盒每降低1元，每周销量可增加10盒． (1)写出公司每周的利润W元与降价x元之间的函数关系； (2)当降价多少元时，公司每周的利润最大，最大为多少元？ (3)若公司每周的利润要达到15960元，并最大限度让利于民，则定价应为多少元？ 22．（本题10分）根据以下素材，探索完成任务. 运用二次函数研究电缆架设问题 素材1 如图a，电缆在空中架设时.两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状． 如图b，在一个斜坡上按水平距离间隔75米架设两个塔柱.每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米）， 按如图b建立坐标系（轴在水平方向上），可得抛物线表达式：，点、在同一水平线上，经测量，米，斜坡的坡比为． 素材2 若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于18.75米时，符合安全要求，否则存在安全隐患． （说明：直线轴分别交直线和抛物线于点、．点距离坡面的铅直高度为的长） 任务1 确定电缆形状 求点的坐标及直线的函数表达式． 任务2 判断电缆安全 上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 任务3 探究安装方法 注：可建立新的坐标系 工程队想在坡比为的斜坡上架设电缆，两个塔柱的高度仍为米，电缆抛物线的形状与任务1相同，若电缆下垂恰好符合安全高度要求，则两个塔柱的水平距离应为多少米？ 23．（本题12分）求证：抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴必有两个不同的交点． 24．（本题14分）已知二次函数的图象过点，． (1)当时，求a的值； (2)求证：． 25．（本题14分）发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高，发球机采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分．某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 45 m 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是 ，表格中的值为 ； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度减少，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后 过网（填“能”或“不能”）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $