10.4 三元一次方程组的解法暑期专项练习2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 初中数学暑期三元一次方程组解法专项训练，以消元转化为核心，通过实际情境建模与方法拓展，系统培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|选择6-7题、解答17题|加减/代入消元法，优先消系数简单未知数|三元方程组→消元→二元方程组，体现转化思想| |实际应用|选择1-2、8-10题，填空11-15题|根据等量关系建模，整体消元求部分和|实际问题数量关系→抽象为三元方程，培养模型意识| |方法拓展|解答19题|整体换元法，将复杂式子设元简化运算|多元问题→整体思想→简化运算，发展数学思维灵活性|

10.4 三元一次方程组的解法 暑期专项练习2025-2026学年 人教版七年级数学下册 一、单选题 1．电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）张 A．10 B．11 C．12 D．13 2．现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等，将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态，用分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图1-图3，其中图3的天平右边托盘中是个球，那么的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 4．在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 6．运用加减法解方程组较简单的方法是（    ） A．先消去，再解 B．先消去，再解 C．先消去，再解 D．三个方程相加得再解 7．解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表．现各买一杯，需要花费的钱数是（   ） 口味 次数 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 A．41元 B．31元 C．40元 D．30元 9．如图是一个正方体的展开图，若正方体相对面上的数相等，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 10．有五张卡片，分别标记为A、B、C、D、E，每张卡片上各写有一个正整数．现将指定的五对卡片上的数字相加，所得两数之和记录如下表： 卡片组合 A、B B、C C、D D、E E、A 两数的和 以下说法错误的是（     ）． A．A卡片上的数最小 B．C卡片上的数大于D卡片上的数 C．B卡片上的数最大 D．E卡片上的数仅比B卡片上的数小 二、填空题 11．小丽、小红去文具店买学习用具，小丽买了3支笔、7支改正液、1个文件袋花了64元，小红买了4支笔、10支改正液、1个文件袋花了79元，小明看到后表示自己也准备三种学习用具各买1个，则他共需___________元． 12．小虎的妈妈从花店买回一个花瓶和一把喷水壶，小虎按如图所示放置并测量，则桌子的高度为_______． 13．已知在等式中，当时，；当时，；当时，．求时，________． 14．数学课上，老师在一副扑克牌中随机抽取了5张牌，分别记为A、B、C、D、E，牌面上的数字均为之间的正整数．已知相邻两张牌上的数字之和如下表所示，则数字第二大的牌是____________．（填字母） 牌 数字之和 13 8 15 10 12 15．甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，则丙组有______名同学． 三、解答题 16．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码时，则接收方对应收到的密码是．双方约定：。例如：发出，则收到．当接收方对应收到一组密码是时，则发送方发出的密码是多少？ 17．解方程组：． 18．综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“亲民点”． 【初步运用】 (1)下列各点：①，②，③，其中是“亲民点”的有_________（只填序号）； 【深入理解】 (2)若第四象限内的点是“亲民点”，且点D到两坐标轴的距离相等，求点D的坐标； 【能力提升】 (3)若点与点都是“亲民点”，求k的值． 19．阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得 (1)学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组 (2)拓展提升，已知关于的方程组的解为，解方程组 (3)对于有理数，定义一种新的运算“*”：，其中为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知，求的值． 20．已知点O在直线上，点A、B与点C、D分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，过点O分别作两条射线，且，求的度数； (3)如图3，若，在的内部作一条射线，使得，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B C B A A A B 1．A 【分析】本题考查了三元一次不定方程的应用．根据题意列出三元一次方程组是解题的关键． 设三种票分别买了张．则根据题意列出关于的三元一次方程组，然后解的值即可． 【详解】解：分别设三种票买了张． 则根据题意，得， 由②得③ 将③代入①，得：． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意并列得正确的方程组是解题的关键．设一个圆锥的质量为，一个圆柱的质量为，一个球的质量为，由图1，图2可得，，然后利用含的代数式表示出，，最后将其代入中计算即可求得答案． 【详解】解：设一个圆锥的质量为，一个圆柱的质量为，一个球的质量为， 由图1得， 整理得：①， 图2得， 整理得：②， ①②得：， 将代入②得：， 则， 那么， 即， 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查不等式的性质与等式的性质，解题的关键是根据图形列出不等式与等式． 设▲、●、■这三种物体的质量分别为，由图得到即可求解． 【详解】设▲、●、■这三种物体的质量分别为， 由图可得， 解得， 所以 故选：C． 4．B 【详解】解：∵等式中，当时，；当时，；当时，； ∴， 解得：． 5．C 【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得： ， ∴， ， 将代入得： ， 解得：． 6．B 【分析】观察三元一次方程组各未知数的系数，第一个方程本身不含y，第二，三个方程中y的系数成整数倍数关系，消去y的计算量最小，是最简便的方法． 【详解】解：∵原方程组为 方程①不含未知数y，方程②中y的系数是2，方程③中y的系数是， ∴将 ，即可直接消去y，得到 ， 再和方程①组成二元一次方程组，计算最简便， 因此先消去y再求解是较简单的方法． 7．A 【详解】解：A．，得，，符合题意； B．，得，，不符合题意； C．，得，，不符合题意； D．，得，，不符合题意． 8．A 【分析】设小明购买茉莉口味奶茶一杯需要花费x元，购买桂花口味奶茶一杯需要花费y元，购买蜜桃口味奶茶一杯需要花费z元，根据两次购买情况列方程组，把两式相加，整理可得答案． 【详解】解：设小明购买茉莉口味奶茶一杯需要花费x元，购买桂花口味奶茶一杯需要花费y元，购买蜜桃口味奶茶一杯需要花费z元， 由题意得：， ，得， ∴， ∴现各买一杯，需要花费41元． 9．A 【分析】根据Z字形，确定相对面，得到，进而求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：由图和题意可得：， 解得， ∴. 10．B 【分析】设出五个卡片上的数，根据题目给出的两两和列等式，计算出每个数的具体值，再排序逐一判断选项． 【详解】设五张卡片上的数分别为，，，，， 根据题意得： ， 将所有等式左右相加，得 ， ， ，， ， 把代入和，得，， 把代入，得， 把代入，得， 得到五个数为 ，，，，， 排序得 ， 逐一判断： A选项：最小，结论正确； B选项：，结论错误； C选项：是最大数，结论正确； D选项：仅比小，是第二大数，结论正确． 11． 【分析】设三种学习用具的单价，根据两人的花费列出方程组，通过对方程组变形，整体计算得到三种学习用具各买一件的总费用． 【详解】设1支笔的价格为元，1支改正液的价格为元，1个文件袋的价格为元. 根据题意列方程组得： 将得： ， 将得： ， 得： ， ∴他共需元． 12． 【分析】设桌子高度为，喷水壶高度为，花瓶高度为，根据图中两种测量方式测出的数据，可列出方程组，再利用消元法解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子高度为，喷水壶高度为，花瓶高度为， 根据图中测量关系列方程组： ， 将两个等式相加，和抵消，得， 解得， 即桌子高度为． 13．22 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， 当时， ． 14．D 【分析】根据题意列出所有相邻和的等式，先求出五个数的总和，再依次计算出每个字母对应的数字，将数字从大到小排序后即可得到第二大数字对应的字母. 【详解】解：根据题意得：， 将五个等式左右两边分别相加得： ， 化简得：， 依次计算每个字母对应的数字： ， 由得：， 由得：， 由得：， 由得：， ∵， ∴数字第二大的牌为． 15．9或7 【分析】本题主要考查了方程组的应用、不等式的应用等知识点，将实际问题转化为数学问题是解题的关键. 设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人，由题意得，再根据极值可得或13，再分或13两种情况，分别确定b、c的关系，然后运用列举法确定c的值即可解答． 【详解】解：设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人． 则由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴或13， 当时，则，即； ∴， 当时，；当时，；当时，，此时，不符合题意（因题干提及甲、乙、丙三组，默认各组人数为正整数）；当时，，此时，不符合题意； 当时，则，即，此方程无符合题意的解． 综上，丙组的学生数为9或7名同学． 故答案为：9或7． 16． 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，根据发送方与接收方密码的约定关系，列出关于、、的方程组，通过解方程组求出发送方的密码. 【详解】解：由题意，得解得 所以发送方发出的密码是 故答案为：. 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是根据发送方与接收方密码的对应关系，准确列出方程组，并熟练运用代入消元法求解方程组. 17． 【分析】利用加减消元法解答即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解法是解题的关键． 【详解】解： 得，， 得，， 得， 解得， 故，， 故方程组的解为． 18．(1)①②③ (2) (3) 【分析】（1）将点代入，进行判断即可； （2）根据题意，易得，代入，进行求解即可； （3）先把代入求出的关系，再把代入，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故①，②，③，三个点均是“亲民点”； （2）解：∵第四象限内的点，到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， ∵点是“亲民点”， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵点是“亲民点”， ∴， 整理，得， ∵是“亲民点”， ∴， 整理，得， ∵， ∴， 解得． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿材料的换元法，设 ，解新方程组后回代得到原方程组的解； （2）将待解方程组变形，对应已知方程组的解做整体换元求解； （3）根据新定义列出等式，通过整体计算得到所求值． 【详解】（1）解：对于方程组 令 则原方程组可化为 整理得 解得 因此 解得 （2）解：已知方程组的解为 将两边同时除以，得 因此 解得 （3）解：由新运算定义和已知条件，得 要求 得 得 整理得即 20．(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义、角的运算等知识点，弄清各角之间的关系成为解题关键． （1）由角平分线的定义可得，即，进而求得，易得，最后根据平角的性质即可解答； （2）由（1）可得：，即①；由，即②，③，然后三式联立求解即可； （3）先根据题意画出图形，设，则，设；由可得，进而得到，即，解得：；再根据平角的性质得到，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得： ， ∴①， ∵， ∴②，③， 联立①②③可得：． （3）解：，证明如下： ∵， ∴设，则， 设， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $