精品解析：福建省福州市鼓楼区 福州黎明中学2025-2026年学年 八年级下学期数学期末考试试卷

2025—2026学年第二学期 八年级期末考数学科考试（题目卷） （完卷时间：150分钟，总分150分） 注意事项： 1.用笔要求：客观题用2B铅笔涂卡，主观题用黑色签字笔作答． 2.答题区域：必须在各题指定的矩形框内作答，超出边框或答在草稿纸、试卷空白处无效． 3.禁涂改带/修正液：禁止使用涂改液、修正带、胶带． 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 如图，在中，的平分线交于点M．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线得出内错角相等，进而证得为等腰三角形，求出的长，最后利用线段的和差关系求出． 【详解】四边形是平行四边形，  ，  ，  平分，  ， ， ， ， ， ． 2. 下表是小明8次射击的成绩： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 成绩/环 8 9 8 8 7 9 10 8 则小明这8次成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 8，8 B. 8，8.5 C. 9，8 D. 8，9 【答案】A 【解析】 【详解】解：首先将小明8次射击成绩从小到大排列为 ， ∵数据中出现的次数最多，共出现次， ∴众数为， ∵一共个数据，中位数为第个和第个数据的平均数， 又∵第个和第个数据都为， ∴中位数为， 因此众数和中位数分别是和． 3. 如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行逐项分析即可判断． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、在中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意． 4. 如图，在菱形中，E、F分别是的中点，若，则菱形的周长是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵E、F分别是的中点 ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长为：； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5. 如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形性质即可知为中点，所以为的中位线，即可求解． 【详解】的周长的一半, ， ， ， ， ， ， ，可知为中点，且点是的中点， 为的中位线， ， 的周长为． 6. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】理清总比赛场数的计算方法，再根据已知总场数列出方程． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， ∵每个球队需要与除自身外的个球队各比赛一场，且甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛， ∴总比赛场数为， 已知计划安排28场比赛， 因此可列方程． 7. 如图是反映A，B两地某月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月A，B两地平均气温的说法不正确的是（ ） A. A地平均气温的最大值大于B地平均气温的最大值 B. A地平均气温的中位数低于B地平均气温的中位数 C. A地平均气温的方差小于B地平均气温的方差 D. A地有以上的天数的平均气温低于B地平均气温的最小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的特征，识别最大值、中位数、最小值及数据的离散程度（方差）进行逐一判断． 【详解】解：A、A地气温最大值约为，B地气温最大值约为， ， ∴A地最大值大于B地最大值，说法正确； B、A地气温中位数约为，B地气温中位数约为， ， ∴A地中位数低于B地中位数，说法正确； C、A地气温数据分布范围约为，B地气温数据分布范围约为，A地数据更分散， ∴A地方差大于B地方差，说法错误； D、B地气温最小值约为，A地下四分位数（箱体下边缘）约为， 下四分位数以下的数据占总数的，且， ∴A地有以上的天数平均气温低于B地最小值，说法正确． 8. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 9. 实数a，b，c满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行求值，正确进行变形，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．运用完全平方公式结合已知等式进行变形求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C 10. 如图1，在中，．动点P从的顶点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→A匀速运动回到点A．图2是点P运动过程中，线段AP的长度y（cm）随时间t（s）变化的图象．其中点Q为曲线部分的最低点．下列选项正确的是（ ） A. 的面积是 B. C. D. 图2中m的值是 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象获取的长度及边上的高，利用等腰三角形性质和勾股定理求出的长，进而计算三角形面积、角度及总运动时间进行判断． 【详解】解：作于点， 由图可知， 当时，， 此时点运动到点， ∴， ∵，， 当点在上运动时，的长度先减小后增大， 当时，最短， 由图可知的最小值为， ∴， 在中，， ∵，， ∴，故B选项错误； ∴的面积， 故A选项错误； 在中，若， 则，这与矛盾， ∴，故C选项错误； 点运动的总路程为， ∴， 故D选项正确. 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 如图，在中，，D是边的中点．已知，则___________°． 【答案】66 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，利用等边对等角求出的度数，再利用角的和差关系求解. 【详解】解：在中，，是边的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴（等边对等角）， ∵， ∴， ∵ ∴ 故答案为：66. 12. 写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 【答案】 对称轴为轴（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．三条抛物线的解析式均为的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴，顶点坐标为， 当取、、时，这一性质保持不变． 故答案为：对称轴为轴（答案不唯一）． 13. 某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据 二月份的营业额为万元，月均增长率为，得到 三月份的营业额为万元，四月份的营业额为万元，结合 四月份的营业额为万元，即可列得方程． 【详解】解：根据题意， 可列方程为． 14. 若是方程的一个解，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将方程的解代入方程得到，再将原代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴ ∴， ∴． 15. 如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合图像可知，方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值，即可获得答案． 【详解】解：直线与相交于点， 方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值， 方程的解为． 16. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，于点N，过点作的平行线交正方形的外角的平分线于点，连接，．有如下结论：①；②；③四边形是平行四边形；④若，，点为直线上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质和垂直定义证明   即可判断①；根据勾股定理和线段关系分析  与  的数量关系判断②；在上取点，使，证明可得 ，结合  判断③；根据将军饮马模型，利用轴对称性质找到点  关于直线  的对称点，结合勾股定理计算最小值判断④. 【详解】解：四边形 是正方形 ，  ，  ，  ， ，   ，  ， 在 和  中      ，，故结论①正确 若 ，则   在和 中          ，即 为中点 题目未限定为中点，故不一定等于 ，故结论②错误， 在上取点，使，连接，如图2， 四边形是正方形 ， ，， ∴，， ∴，  平分     ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，  ∵，  四边形  是平行四边形，故结论③正确 ，   ， ∴   在上取点，使， 如图3，连接、，   平分 ， ∴点 、是 关于直线  的对称点，连接， ∴， ∴  ，当、、三点在一条直线上时，等号成立，此时最小值为  的长， ∵， ∴，    的最小值是  故结论④正确． 综上所述，正确的结论是①③④ ． 三、解答题（共7小题，满分86分） 17. 已知二次函数． （1）求该函数的最大值； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）由于二次函数开口向下，有最大值，通过顶点公式求最大值； （2）在给定内，求函数的值，通过计算端点和顶点值即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，有最大值，顶点坐标为； ∴函数最大值为7； 【小问2详解】 解：当时， 当时，； 当时，； 顶点在内，． ∵抛物线开口向下， ∴在内，最小值为，最大值为； ∴y的取值范围为． 18. 某校八年级数学兴趣小组利用课余时间对本年级学生1分钟跳绳次数情况进行调查，调查报告如下： 八年级学生1分钟跳绳次数情况调查报告 调查目的 1.了解八年级学生1分钟跳绳次数情况； 2.确定需重点指导跳绳技能的学生 调查方式 随机抽样调查 调查内容 实地调查被抽到学生的1分钟跳绳次数（成绩满分为10分） 调查结果 解决问题 1分钟跳绳成绩低于被调查学生跳绳成绩中位数的学生，需重点指导跳绳技能 结合调查信息，解决问题： （1）小明1分钟跳绳的成绩为8分，他是否属于需重点指导跳绳技能的学生，请说明理由； （2）若又有m个人参与调查，把他们的1分钟跳绳成绩合并到之前的数据中，发现唯一众数发生了改变，求当m的值最小时，八年级1330名学生中，估计需重点指导跳绳技能的学生人数． 【答案】（1）小明不属于需重点指导跳绳技能的学生，理由见解析 （2）八年级1330名学生中，估计需重点指导跳绳技能的学生人数为人． 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图得到中位数，即可解答； （2）利用众数改变求得，再用样本估计总体即可解答． 【小问1详解】 解：小明不属于需重点指导跳绳技能的学生，理由如下： 由条形统计图可得总人数为人， 则数据从小到大排列，中位数为第13个人的成绩， 即中位数为分， 小明的成绩为8分，大于7分， 故小明不属于需重点指导跳绳技能的学生； 【小问2详解】 解：原数据各组人数：6分8人，7分6人，8分4人，9分5人，10分2人；原唯一众数是6分(8人)； 要让众数发生改变(6分不再是众数)，需让某一组人数： 7分现有6人，最少增加人，即 (此时7分人数，唯一众数变为7分，众数真正改变)； 其他分数需要增加的人数都大于3，故m最小值为3； 合并后总样本量：人； 从小到大累计：6分共8人(1~8位)，7分共9人(9~17位)，第14、15位都是7分，中位数仍为7分； 中位数判断：28个数据的中位数是第14、15位数据； 需要重点指导的是成绩低于中位数7分的学生，只有6分的8人； （人）， 八年级1330名学生中，估计需重点指导跳绳技能的学生人数为人． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根． （2）若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 ． 【解析】 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）先解方程得出，，再分两种情况：当时，当时，分别列出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：， 该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ， 解得：，， 方程的一个根是另一个根的3倍， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或 ． 20. 月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： （1）用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； （2）若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； 【小问2详解】 解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 21. 某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价y（万元）与年产量x（吨）的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式；（不用写x的取值范围） （2）当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价每吨售价年产量） 【答案】（1） （2）该产品的年产量为吨 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据题意可得，即可得到方程求解，再检验是否符合题意即可． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为， 代入和，则， 解得， ∴y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得，， 而由题意得，，故不符合题意，舍去， ∴该产品的年产量为吨． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线，分别与轴交于点、． （1）求点、的坐标： （2）若线段上存在一点，使得，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）点坐标为，点坐标为 （2）点的坐标为 （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出直线和直线的函数解析式，即可求得点C坐标； （2）设点，根据的面积列方程，求解即可； （3）根据平行四边形的性质以及平移的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入直线， 得， 解得， ∴直线， 将点代入直线， 得， 解得， ∴直线， 当时，， ∴点坐标为， 当时，， ∴点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∵点在线段上，如图所示： 设点， ∴的面积， ∴， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：，，， 设点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则 ①，为平行四边形的边时，此时，且， 则点， ②，为平行四边形的边时，此时，且， 则点， ③，为平行四边形的边时，此时，且， 则点， 综上，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或． 23. 解答下列问题 （1）如图1，已知矩形中，点是上的一动点，过点作于点，于点，于点，试证明； （2）若点在的延长线上，如图2，过点作于点，的延长线于点，于点，则、、三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （3）如图3，是正方形的对角线，在上，且，连接，点是上任一点，于点，于点，猜想、、之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有、、这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论． 【答案】（1）证明：过作于点，如图： ∵， ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴，且互相平分 ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即； （2）； （3）； （4）条件：点是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．结论： 【解析】 【分析】（1）过作于点，由矩形得到，且互相平分，，然后证明出，得到，进而证明即可； （2）过作于点，同理可证，即可证明； （3）连接和，交于O，由正方形的性质得出，，由三角形面积关系得出，证出，即可得出结论； （4）由图1、图2、图3的特性求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：结论：； 证明：过作于点，如图： 同理可证， ∵， ∴ ∴，即； 【小问3详解】 解：； 连接和，交于O，如图3所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵于点F，于点G， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：由图1、图2、图3的特性可得，如图①， 条件：点是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高． 结论：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期 八年级期末考数学科考试（题目卷） （完卷时间：150分钟，总分150分） 注意事项： 1.用笔要求：客观题用2B铅笔涂卡，主观题用黑色签字笔作答． 2.答题区域：必须在各题指定的矩形框内作答，超出边框或答在草稿纸、试卷空白处无效． 3.禁涂改带/修正液：禁止使用涂改液、修正带、胶带． 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 如图，在中，的平分线交于点M．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1 2. 下表是小明8次射击的成绩： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 成绩/环 8 9 8 8 7 9 10 8 则小明这8次成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 8，8 B. 8，8.5 C. 9，8 D. 8，9 3. 如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，E、F分别是的中点，若，则菱形的周长是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 5. 如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是反映A，B两地某月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月A，B两地平均气温的说法不正确的是（ ） A. A地平均气温的最大值大于B地平均气温的最大值 B. A地平均气温的中位数低于B地平均气温的中位数 C. A地平均气温的方差小于B地平均气温的方差 D. A地有以上的天数的平均气温低于B地平均气温的最小值 8. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 实数a，b，c满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，．动点P从的顶点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→A匀速运动回到点A．图2是点P运动过程中，线段AP的长度y（cm）随时间t（s）变化的图象．其中点Q为曲线部分的最低点．下列选项正确的是（ ） A. 的面积是 B. C. D. 图2中m的值是 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 如图，在中，，D是边的中点．已知，则___________°． 12. 写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 13. 某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为_________． 14. 若是方程的一个解，则的值是___________． 15. 如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是______． 16. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，于点N，过点作的平行线交正方形的外角的平分线于点，连接，．有如下结论：①；②；③四边形是平行四边形；④若，，点为直线上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（共7小题，满分86分） 17. 已知二次函数． （1）求该函数的最大值； （2）当时，求的取值范围． 18. 某校八年级数学兴趣小组利用课余时间对本年级学生1分钟跳绳次数情况进行调查，调查报告如下： 八年级学生1分钟跳绳次数情况调查报告 调查目的 1.了解八年级学生1分钟跳绳次数情况； 2.确定需重点指导跳绳技能的学生 调查方式 随机抽样调查 调查内容 实地调查被抽到学生的1分钟跳绳次数（成绩满分为10分） 调查结果 解决问题 1分钟跳绳成绩低于被调查学生跳绳成绩中位数的学生，需重点指导跳绳技能 结合调查信息，解决问题： （1）小明1分钟跳绳的成绩为8分，他是否属于需重点指导跳绳技能的学生，请说明理由； （2）若又有m个人参与调查，把他们的1分钟跳绳成绩合并到之前的数据中，发现唯一众数发生了改变，求当m的值最小时，八年级1330名学生中，估计需重点指导跳绳技能的学生人数． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根． （2）若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 20. 月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： （1）用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； （2）若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 21. 某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价y（万元）与年产量x（吨）的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式；（不用写x的取值范围） （2）当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价每吨售价年产量） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线，分别与轴交于点、． （1）求点、的坐标： （2）若线段上存在一点，使得，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 23. 解答下列问题 （1）如图1，已知矩形中，点是上的一动点，过点作于点，于点，于点，试证明； （2）若点在的延长线上，如图2，过点作于点，的延长线于点，于点，则、、三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （3）如图3，是正方形的对角线，在上，且，连接，点是上任一点，于点，于点，猜想、、之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有、、这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $