福建省福州市鼓楼区2024-2025学年八年级下学期期末数学练习卷

福建省福州市鼓楼区 八年级（下）期末数学练习卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列曲线中，表示是的函数的是(    ) A. B. C. D. 2.方程的二次项系数、一次项系数和常数项可以是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.在一次“中华传统文化知识”演讲比赛中，有名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，取前名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这名同学成绩的(    ) A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数 4.如图，，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出的中点，，若的长为米，则，间的距离是(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5.如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路如果阴影部分的总面积是，那么满足的方程是(    ) A. B. C. D. 6.将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数的图象，则函数的表达式是(    ) A. B. C. D. 7.在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，，，分别是边，上的动点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.定义：若，满足，为常数，则称点为“好点”． 若是“好点”，则 ______； 在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为______． 10.老师在计算学生每学期的总评成绩时，按照“平时成绩占，考试成绩占”的比例计算若小明的平时成绩为分，考试成绩为分，则他的总评成绩为______分 11.一次函数和的图象都经过点，且与轴分别交于、两点，则的面积是          ． 12.某校举行健美操比赛，甲、乙、丙三个班各选名学生参加比赛若参赛学生的平均身高都是米，甲、乙、丙三个班参赛学生身高的方差分别是，，，则参赛学生身高比较整齐的班级是______． 13.已知方程的两根分别为，，则的值为______． 14.如图，在平面直角坐标系内，点，点，点、都在轴上，若四边形是菱形，则点坐标是______． 15.已知二次函数的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 16.已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是______． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程：； ． 18.本小题分 如图，在▱中，已知为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接求证：． 19.本小题分 一次函数的图象与平行，且过点，求一次函数表达式． 20.本小题分 某校甲，乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取名学生统计这部分学生的竞赛成绩分下面给出了部分信息． 甲班名学生竞赛成绩分，，，，，，，，， 乙班名学生竞赛成绩分，，，，，，，，， 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 乙班 ， 根据以上信息，回答下列问题： 填空：          ，          ，           请结合平均数，中位数，众数和方差等数据说明哪个班成绩比较好 甲班共有学生人，乙班共有学生人按竞赛规定，分及分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少 21.本小题分 定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ， 是差积方程． 方程 ______填是或不是“差积方程”； 若关于的方程是“差积方程”，求出的值． 若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则 ______． 22.本小题分 已知：如图，求作：的平分线． 作法： 以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交的两边于点，； 分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点不与点重合； 作射线射线即为所求． 使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹； 完成下面的证明． 证明：连接，． ______ ______， 四边形是____________填推理的依据， 射线是的平分线______填推理的依据． 23.本小题分 请根据活动过程完成任务一、任务二． 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为． 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由圆柱形水杯的厚度忽略不计 24.本小题分 如图，在中，，，，于点点从点出发，沿线段向点运动，点从点出发，沿线段向点运动．两点同时出发．速度都为每秒个单位长度，当点运动到时，两点都停止．设运动时间为秒． 求线段的长； 设的面积为，求与之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻，使得：：？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 25.本小题分 若函数：的图象关于直线翻折得到新函数的图象． 求函数的顶点坐标用含的式子表示； 若，，三点都在函数的图象上，探究：是否存在实数，使得总成立？若存在，试直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 若，顶点的纵坐标为，当时，函数的最大值，最小值，且，求的解析式； 在的条件下，对于上任意一点总有恒成立，求实数的最小值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】本题考查函数的概念，根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，则称是的函数，其中是自变量”逐项判断即可． 【详解】解：对于每一个自变量的取值，因变量可能不止一个值与之相对应，所以不是的函数，故本选项不符合题意； B.对于每一个自变量的取值，因变量可能不止一个值与之相对应，所以不是的函数，故本选项不符合题意； C.对于每一个自变量的取值，因变量有且只有一个值与之相对应，所以是的函数，故本选项符合题意； D.对于每一个自变量的取值，因变量可能不止一个值与之相对应，所以不是的函数，故本选项不符合题意； 故选：． 2.【答案】  【解析】解：方程整理得，， 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，， 故选：． 先把一元二次方程整理成一般形式，再找出二次项系数、一次项系数和常数项即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握二次项系数、一次项系数和常数项的意义是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了． 故选：． 由于比赛取前名参加决赛，共有名选手参加，根据中位数的意义分析即可． 本题考查了统计量的选择，以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数． 4.【答案】  【解析】本题考查了三角形中位线定理的应用；由中位线定理得，即求解． 【详解】解：的中点分别为，，且的长为米， 是的中位线， 米； 故选：． 5.【答案】  【解析】解：停车位所在区域阴影部分可合成长为，宽为的矩形，阴影部分的总面积是， 根据题意可列出方程． 故选：． 根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位所在区域阴影部分可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：， 向右平移个单位，此时：， 再向上平移个单位，此时：， 即． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：、由抛物线可知，，，得，则，由直线可知，，矛盾，不合题意； B、由抛物线可知，，，得，则，由直线可知，，矛盾，不合题意； C、由抛物线可知，，，得，则，由直线可知，，一致，符合题意； D、由抛物线可知，，，得，则，由直线可知，，矛盾，不合题意． 故选：． 先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再看一次函数图象是否一致． 本题考查二次函数和一次函数的图象，熟知一次函数和二次函数的性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：延长到，使，连接，过点作于点，如图， ， 点与点关于轴对称， ， ， 的最小值是， ，， ， 在中，， 故选：． 延长到，使，连接，过点作于点，推出的最小值是，再求出的长即可． 本题考查轴对称，垂线段最短，解直角三角形，掌握轴对称的性质是解题的关键． 9.【答案】    【解析】解：是“好点”， ， 消去得到， 故答案为：； 在的范围内，若直线上存在“好点”， ， 消去得， ， 故答案为：． 根据题意得出，消去即可得到； 根据题意得出，消去得，由在，得出． 本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系等知识，本题综合性强，有一定难度． 10.【答案】  【解析】解：他的总评成绩为分， 故答案为：． 根据加权平均数的定义列式计算即可． 本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴交点，三角形的面积． 可先根据点的坐标用待定系数法求出，的值，即求出两个一次函数的解析式，进而求出它们与轴的交点，即，的坐标．那么三角形中，底边的长应该是，纵坐标差的绝对值，高就应该是点横坐标的绝对值，因此可根据三角形的面积公式求出三角形的面积． 【解答】 解：把点代入，得：，  点  把点代入，得， 点． ，   故答案为． 12.【答案】甲班  【解析】解：甲、乙、丙三个班参赛学生身高的方差分别是，，， 甲的方差最小，即参赛学生身高比较整齐的班级是甲班， 故答案为：甲班． 根据方差的意义求解即可． 本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义． 13.【答案】  【解析】解：由题意，方程的两根分别为，， ，故答案为：． 依据题意，利用根与系数的关系得到，的值，然后代入计算即可． 本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用关系式是关键． 14.【答案】或  【解析】解：如图，过作轴于， 点，点， ，，点， 当点在点的右侧时，四边形是菱形， ， ， 点， 当点在点的右侧时，同理可得， 点， 综上所述：点或， 故答案为：或． 由坐标与图形的性质可求，，点，分点在点的右侧和点在点的左侧两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解． 本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 15.【答案】  【解析】方法一： 解：由题意可得： ，即， 设另一根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 即方程的另一个根为． 故答案为：． 方法二： 解：关于的一元二次方程的一个根为， 二次函数与轴的一个交点为， 二次函数的对称轴是直线， 二次函数与轴的另一个交点为， 方程的另一个根为． 故答案为：． 利用抛物线的对称轴是直线，得到，设另一根为，根据根与系数的关系得，然后求出另一根即可． 本题考查了抛物线与轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键． 16.【答案】  【解析】解：， ． 直线是抛物线的对称轴，且此时，且， 为抛物线的顶点，且抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 当时，点、都在左侧或与重合，此时一定有，符合题意； 当时， ， 在点右侧，即，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即， 解得：， ， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 依据题意，先证得点是该抛物线的顶点，根据点，均在抛物线上，，可知该抛物线开口向下，对称轴是直线，然后分和两种情况讨论，进而计算可以得解． 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 17.【答案】，；   ．  【解析】， ， 则或， 解得，； ， ， 则， 解得． 左边利用提公因式法因式分解，再进一步求解即可； 左边利用完全平方公式因式分解，再进一步求解即可． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18.【答案】理由见解析．  【解析】证明：四边形是平行四边形． ． ． 为的中点， ． 在和中． ， ≌， ． 根据平行四边形的性质，根据平行线的性质求出，求出证明≌，即可得出结论． 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 19.【答案】解：一次函数的图象平行于直线， ， 一次函数表达式为：， 过点， ， ， 这个一次函数的解析式为．  【解析】运用待定系数法进行求解．两个一次函数的图象平行，则它们的值相等，求得解析式即可． 本题考查了两直线平行的问题，熟记两平行直线的解析式的值相等是解题的关键． 20.【答案】解：，，； 乙班成绩较好，因为两个班平均成绩相同，但是乙的中位数，众数都比甲班高，且乙班成绩的方差较小，更稳定． 人， 答：估计这两个班可以获奖的总人数是人．  【解析】【分析】 本题主要考查了中位数，平均数，方差，用样本估计总体等，灵活运用所学知识是解题的关键． 根据中位数，众数和平均数的定义进行求解即可； 从平均数，中位数，众数和方差的角度分析即可； 分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在分及以上的人数占比即可得到答案． 【解答】 解：甲班成绩从高到低排列为：、、、、、、、、、， 故中位数，众数； 乙班的平均数， 故答案为：，，； 见答案． 21.【答案】不是；   或；   ．  【解析】解：解得：，， ， 不是“差积方程”； 故答案为：不是； 解得方，， 是“差积方程”， ， 即或， 解得或； 设的另一个根为， ，， ，， 是“差积方程”， ， 即或， 解得， ，， ； 故答案为：． 解得：，，由定义可判断不是“差积方程”； 解得方，，根据是“差积方程”，得，解得或； 设的另一个根为，可得，，即，，由是“差积方程”，有，解得，故，，即可求出． 本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及绝对值，解一元二次方程等知识，解题的关键是读懂题意，理解“差积方程”的定义． 22.【答案】  ，，四边相等的四边形是菱形．  【解析】解：图形如图所示： 证明：连接，． ， 四边形是菱形四边相等的四边形是菱形， 射线是的平分线菱形的对角线平分一组对角． 故答案为：，，四边相等的四边形是菱形． 根据要求作出图形； 证明四边形是菱形即可． 本题考查作图复杂作图，菱形的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 23.【答案】任务水流抛物线的函数表达式为：； 任务水流能流到圆柱形水杯内，理由见解答部分．  【解析】解：任务由题意得：点的横坐标为，点的坐标为， ， 解得：， 水流抛物线的函数表达式为：； 任务水流能流到圆柱形水杯内． 理由：当时，， ， 水流能流到圆柱形水杯内． 任务易得点的横坐标和点的坐标，代入所给的函数解析式，可得和的值； 任务把代入任务中得到的函数解析式得到函数图象上的点，和比较即可得到水流是否能流到圆柱形水杯内． 本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：抛物线顶点的横坐标． 24.【答案】解：，，， ， ， ， 解得：； ， 过点作于，如图所示： ， ， ∽， ，即， ， ； ， ：：，即：， 整理得：， 解得：，， 在运动过程中存在某一时刻，使得：：，的值为：或．  【解析】由勾股定理求得，由三角形面积公式得出，即可得出结果； 由勾股定理求得，过点作于，则，则∽，得出，即，求出，，即可得出结果；，：：，即：，解得：，． 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 25.【答案】；   当时，；当时，；   ；．  【解析】，，， 函数的顶点坐标为； 将，，分别代， 得， ， ， 总成立， ，即， 化简得， ， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，当时，；当时，； 当时，， 由函数的图象关于直线翻折得到新函数的图象，函数的顶点坐标为，顶点的纵坐标为，得新函数的解析式为， 当时，二次函数的随的增大而减小， ，， ， ， 解得，，都不符合题意，舍去； 当时，二次函数经过顶点，且到对称轴直线的距离大于或等于到对称轴直线的距离， 由二次函数的图象可知，对应的值大于或等于对应的值， ，． ，不符合题意，舍去． 当时，二次函数经过顶点，且到对称轴直线的距离大于到对称轴直线的距离， 由二次函数的图象可知，对应的值大于对应的值， ，， ， ， 解得，不符合题意，舍去， 函数的解析式为； 将代入， 得， 化简，得， ， 对于上任意一点，总有恒成立， 需取最大值， ， 当，即时，的最大值为， ，即取得最小值为． 根据二次函数顶点坐标公式计算，即可解答； 将，，分别代，求出，，，根据总成立，得到，即可得到不等式组，再分类讨论：当时，当时，即可解答； 当时，，根据题意可得到函数的解析式为，再分类讨论：当时，当时，当时，逐一分析求解即可； 将代入，并化简得，对于上任意一点，不等式恒成立，则需取最大值，得，即可解答． 本题考查二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，不等式组，一元二次方程，翻折，掌握知识点是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$