2026-2027学年人教版九年级数学上册 第25章 一元二次方程 单元综合限时训练

**基本信息** 2026-2027学年九年级数学人教版第25章一元二次方程单元综合培优卷，60分钟100分，覆盖根的概念、判别式、实际应用等核心知识，梯度设计适配单元复习，强化数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|根的概念、病毒感染/增长率模型、新运算|结合函数图像判断方程根，体现几何直观与创新意识| |填空题|4/12|方程解、根与系数关系、参数取值范围|考查根与系数关系应用，强化推理能力| |计算题|1/10|解方程|基础运算训练，巩固解法规范性| |解答题|5/54|判别式证明、绿地面积/快递增长率等实际问题|以矩形绿地、快递增长为情境，构建方程模型，发展应用意识与模型观念|

2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第25章） 一元二次方程单元综合培优提升限时训练 考试时长：60分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(     ) A. B. C. 或 D. 2.若是方程的一个根，则的值是(     ) A. B. C. D. 3.有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，则下列方程正确的是(     ) A. B. C. D. 4.如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为(     ) A. B. C. D. 5.定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例若为实数是关于的方程，则它的根的情况为(     ) A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 6.某地区的消费品月零售总额持续增长，九月份为亿元，十月、十一月两个月一共为亿元，设九月份到十一月份平均每月增长的百分率为，则可列方程(     ) A. B. C. D. 7.已知一元二次方程的两个根分别是点的横坐标、纵坐标，那么点在(     ) A. 第一象限 B. 坐标轴上 C. 第一象限或第三象限 D. 第二象限或第四象限 8.函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的情况是(     ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.若，则           ． 10.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为           ． 11.关于的方程有实数根，则的取值范围是           ． 12.，是方程的两个实数根，则的值为           ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.解方程： ； ． 四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分已知关于的方程． 若该方程有一个根为，求的值； 求证：方程总有两个不相等的实数根． 15.本小题分已知关于的方程． 若方程有两个相等的实数根，求的值； 若方程无实数根，求的取值范围． 16.本小题分某小区在绿化工程中有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块面积相同的矩形绿地，使他们面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度． 17.本小题分 如图，要用篱笆虚线部分围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为． 设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃的面积为，用含的代数式表示． 当为何值时，所围矩形苗圃的面积为？ 18.本小题分我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年月份投递快递总件数为万件，月份投递快递总件数万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． 求该公司投递快递总件数的月增长率； 若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么月份投递快递总件数是否达到万件？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第25章） 一元二次方程单元综合培优提升限时训练 考试时长：60分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(     ) A. B. C. 或 D. 2.若是方程的一个根，则的值是(     ) A. B. C. D. 3.有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，则下列方程正确的是(     ) A. B. C. D. 4.如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为(     ) A. B. C. D. 5.定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例若为实数是关于的方程，则它的根的情况为(     ) A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 6.某地区的消费品月零售总额持续增长，九月份为亿元，十月、十一月两个月一共为亿元，设九月份到十一月份平均每月增长的百分率为，则可列方程(     ) A. B. C. D. 7.已知一元二次方程的两个根分别是点的横坐标、纵坐标，那么点在(     ) A. 第一象限 B. 坐标轴上 C. 第一象限或第三象限 D. 第二象限或第四象限 8.函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的情况是(     ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.若，则           ． 10.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为           ． 11.关于的方程有实数根，则的取值范围是           ． 12.，是方程的两个实数根，则的值为           ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.解方程： ； ． 四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分已知关于的方程． 若该方程有一个根为，求的值； 求证：方程总有两个不相等的实数根． 15.本小题分已知关于的方程． 若方程有两个相等的实数根，求的值； 若方程无实数根，求的取值范围． 16.本小题分某小区在绿化工程中有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块面积相同的矩形绿地，使他们面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度． 17.本小题分 如图，要用篱笆虚线部分围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为． 设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃的面积为，用含的代数式表示． 当为何值时，所围矩形苗圃的面积为？ 18.本小题分我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年月份投递快递总件数为万件，月份投递快递总件数万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． 求该公司投递快递总件数的月增长率； 若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么月份投递快递总件数是否达到万件？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第25章） 一元二次方程单元综合培优提升限时训练 考试时长：60分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 【答案】A  2.若是方程的一个根，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  3.有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  4.如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】 解：设剪去小正方形的边长是， 则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故选D． 5.定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例若为实数是关于的方程，则它的根的情况为(    ) A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C  【解析】【分析】 利用新定义得到，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用可判断方程根的情况． 本题考查了新定义问题，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【解答】 解：为实数是关于的方程， ， 整理得， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 6.某地区的消费品月零售总额持续增长，九月份为亿元，十月、十一月两个月一共为亿元，设九月份到十一月份平均每月增长的百分率为，则可列方程(    ) A. B. C. D. 【答案】D  7.已知一元二次方程的两个根分别是点的横坐标、纵坐标，那么点在(    ) A. 第一象限 B. 坐标轴上 C. 第一象限或第三象限 D. 第二象限或第四象限 【答案】B  8.函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的情况是(    ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C  第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.若，则          ． 【答案】  10.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为          ． 【答案】  11.关于的方程有实数根，则的取值范围是          ． 【答案】  12.，是方程的两个实数根，则的值为          ． 【答案】  三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.解方程： ； ． 解：方程整理得：， 这里，，， ， ， 解得：，； 方程整理得：， 分解因式得：， 可得或， 解得：或．  【解析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 方程利用公式法求出解即可； 方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 已知关于的方程． 若该方程有一个根为，求的值； 求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)解：是关于的方程的一个根， ， 解得. (2)证明：， 该方程总有两个不相等的实数根. 15.本小题分 已知关于的方程． 若方程有两个相等的实数根，求的值； 若方程无实数根，求的取值范围． 【答案】(1)解：，，.. ∵方程有两个相等的实数根， ， 即， 解得. (2)∵方程无实数根， ， 即， 解得.  16.本小题分 某小区在绿化工程中有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块面积相同的矩形绿地，使他们面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度． 【答案】解：设人行通道宽为． 依题意，得， 解得：，舍去． 答：人行通道的宽度为．  17.本小题分 如图，要用篱笆虚线部分围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为． 设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃的面积为，用含的代数式表示． 当为何值时，所围矩形苗圃的面积为？ 【答案】(1)解：依题意，得. . (2)依题意，得， 解得或. 答：当或时，所围矩形苗圃的面积为. 18.本小题分 我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年月份投递快递总件数为万件，月份投递快递总件数万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． 求该公司投递快递总件数的月增长率； 若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么月份投递快递总件数是否达到万件？ 【答案】解：设该公司投递快递总件数的月增长率为． 依题意，得． 解得：，不符合题意，舍去． 答：该公司投递快递总件数的月增长率为． 万件， ， 若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么月份投递快递总件数不能达到万件．  【解析】设该公司投递快递总件数的月增长率为，利用该快递公司今年月份投递快递总件数该快递公司今年月份投递快递总件数该公司投递快递总件数的月增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 利用该快递公司今年月份投递快递总件数该快递公司今年月份投递快递总件数该公司投递快递总件数的月增长率，可求出该快递公司今年月份投递快递总件数，再将其与万件比较后即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $