甘肃陇南市宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 以商业航天、人工智能研发等真实情境为载体，融合概率统计、排列组合等知识，通过分层设问考查数学抽象、数据观念与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|离散型随机变量、正态分布、相关系数|第7题以商业航天部件质量为情境，结合正态分布考查次品率计算，体现数学眼光观察现实世界| |多选题|3/18|独立性检验、排列组合、平行线交点|第10题“六艺文化”课程排列，融入相邻不相邻问题，渗透文化传承| |填空题|3/15|二项式系数、线性回归、期望|第14题次品抽取期望计算，强化数学思维的逻辑性| |解答题|5/77|独立性检验、分布列、回归模型|第19题对比两种回归模型拟合效果，第17题《最强大脑》关联独立性检验与分布列，突出数据分析与模型观念|

参考答案 1．答案：C 解析：因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量, 对于A,种子含水量的测量误差不能一一列举,故不是离散型随机变量; 对于B,某品牌电视机的使用寿命不能一一列举,故不是离散型随机变量; 对于C,某网页在24小时内被浏览的次数能一一列举,是离散型随机变量; 对于D,测量某一零件的长度产生的测量误差不能一一列举,故不是离散型随机变量. 故选:C. 2．答案：B 解析：射击命中次数X服从二项分布, 均值,方差, 所以, . 故选：B. 3．答案：A 解析：因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域， 所以y与x负相关，所以A正确，D错误； 当时，，所以y约为1359， 所以B，C错误. 4．答案：D 解析：A，由X服从两点分布，则， 而，则，对； B，由，则，对； C，由，则，， 又，则，，对； D，由，，则， 故，错. 5．答案：D 解析：依题意,可知X服从两点分布, 又,则, 所以,. 故选：D. 6．答案：D 解析：方法一:将6本书平均分成3组,有种分法,再将没有语文练习册的一组分给甲同学,有2种方法,然后将剩下2组分给另外2个同学,有种分法.综上,不同的分配方法种数为. 方法二:不妨记除甲外的2位同学分别为乙、丙,首先甲从除语文练习册外的5本书中任意拿2本,则有种情况;乙再从剩下的4本书中拿2本,则有种情况;最后将剩下的2本给丙即可.按照分步乘法计数原理可知一共有种不同的分配方法. 7．答案：D 解析：已知,. 又指标的部件为正品,即区间为正品. 要使次品率不高于,即满足正品率大于或等于. 因此要保证区间,则, 所以,解得,故选项A、B、C均可能,选项D不可能. 8．答案：C 解析：本题等价于将除负责人外的42人分成三组,并满足每组人数均大于0且是3的倍数,若按学号从小到大将42人分成三组,每组人数分别为3x,3y,3z,其中,则,即,由隔板法可得该方程的解的个数为,即两位负责人的选取方法种数是78. 9．答案：BD 解析：利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，因此A错误； 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，因此B正确； 线性相关系数r的范围在-1到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强， 反之，线性相关性越弱，因此C选项错误； 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小， 即模型的拟合效果越好，D选项正确； 10．答案：ABD 解析：对于选项A，课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，通过捆绑法，将课程“礼”“乐”“射”看成一个整体，再与其他3门课程全排列，共有种排法，故A正确； 对于选项B，在所有排列中，课程“礼”排在“乐”的后面与课程“乐”排在“礼”的后面的情况等可能，各占一半，所以课程“礼”排在“乐”的后面的排法有种，故B正确； 对于选项C，课程“射”“御”排在不相邻两周，通过插空法，先排好其他的4门课程，产生5个空位可选，在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，故C错误； 对于选项D，不考虑任何限制条件，6门课程总的排法为种，课程“乐”排在第一周的排法为种，课程“御”排在最后一周的排法为种，课程“乐”排在第一周且课程“御”排在最后一周的排法为种， 则满足条件的排法种数为，故D正确.故选ABD. 11．答案：ACD 解析：对于A，这两组平行线有个交点，A正确；对于B，一个交点可以引出4条射线，则可以构成条射线，B错误；对于C，10条平行线中的每一条直线上都有7个点，可以构成条线段，7条平行线中的每一条直线上都有10个点，可以构成条线段，则可以构成条线段，C正确；对于D，10条平行线中的每2条平行线与7条平行线中的每2条平行线可以构成一个平行四边形，则可以构成个平行四边形，D正确. 12．答案：1或2或3 解析：由题得或，或，解得或或或.又，，且，可能的值是1或2或3. 13．答案：2 解析：由已知,, 代入线性回归直线方程得,解得. 故答案为:2. 14．答案： 解析：由题意可知：X的取值为2，3，4，5. . 15．答案：(1)96 (2)360 解析：(1)从10名志愿者中，选出3人共有种， 其中全部为男生有种，全部为女生有种， 则选出的三人中既有男生又有女生，共有种选择方法. (2)选出的3名志愿者中有2男1女，共有种，将其进行分配共有种， 故共有种不同的选派方法. 16．答案：(1)； (2)6561 (3)3281 解析：(1)因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大, 当n为偶数时,仅有中间一项的二项式系数最大,即,所以, 故. 即,二项式系数最大项为第5项：； (2)令,得, 所以. (3)令,得, 令,得. 两式相加可得. 17．答案：(1)见解析 (2)依据小概率值的独立性检验，可以认为喜欢《最强大脑》与性别有关； (3) X 0 1 2 P 数学期望为. 解析：(1)     喜欢 不喜欢 合计 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 60 40 100 (2)零假设：喜欢《最强大脑》与性别无关. . 故有充分的证据认为不成立，即依据小概率值的独立性检验，可以认为喜欢《最强大脑》与性别有关. (3)由题意，X可取0,1,2. , , ， X的分布列如下： X 0 1 2 P . 18．答案：(1) (2) X 0 2 3 P (3)见解析 解析：(1)恰有2个正确选项的概率为，则恰有3个正确选项的概率为， 正确选项是2个时，随机选一个正确可得3分，概率为； 正确选项是3个时，随机选一个正确可得2分，概率为， 因此 (2)由题知，X可能的取值为0，2，3， ， ， ， 分布列为： X 0 2 3 P (3)由题知，Y可能的取值为0，4，6， ， ， 故， ， 故当且仅当时， 19．答案：(1)模型①的残差平方和为1.9,拟合效果更好的是模型②； (2)预测该年销售量约为千件. 解析：(1)已知模型①的回归方程为,依次计算各样本的残差平方： 当时,,残差的平方为, 当时,,残差的平方为, 当时,,残差的平方为, 当时,,残差的平方为, 当时,,残差的平方为, 因此模型①的残差平方和为, 由于残差平方和越小拟合效果越好,且,故模型②拟合效果更好. (2)对两边取自然对数,得,令, 则转化为线性回归模型. 因为,,, , 根据最小二乘法公式：,, 所以,当时,（千件）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026年宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学 高二下学期期末考试数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需或动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．下列是离散型随机变量的是(      ) A.种子含水量的测量误差 B.某品牌电视机的使用寿命 C.某网页在24小时内被浏览的次数 D.测量某一零件的长度产生的测量误差 2．中心极限定理在概率论中应用广泛.根据该定理,若随机变量,当n充分大时,可以由服从正态分布的随机变量近似替代,且的均值､方差分别与随机变量的均值､方差近似相等.某射手对目标进行400次射击,且每次射击命中目标的概率为,则估计射击命中次数小于336的概率约为(      ) 附：若,则,. A.0.9987 B.0.9773 C.0.8414 D.0.5 3．调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是(      ) A.y与x负相关 B.当时，y一定为1359 C.当时，y一定小于1359 D.两变量无线性关系 4．下列说法错误的是(      ) A.若离散型随机变量X服从两点分布，且，则 B.若随机变量，则 C.随机变量X，Y满足，若，则， D.随机变量，若，则 5．若随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中,则(      ) A., B., C., D., 6．唐老师有语文、数学等6本不同学科的练习册,平均分给3个同学,若甲同学不拿语文练习册,则不同的分配方法种数为( ) A.360 B.180 C.90 D.60 7．十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业,意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期.某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布,其中指标的部件为正品,其他为次品,要使次品率不高于,则的值不可能为(      ) （参考数据：） A.0.015 B.0.016 C.0.02 D.0.021 8．某班级共有44位同学,在一次春季研学活动中,要按学号抽取两位同学担任活动的负责人,并使抽到的学号能将其余同学仍按学号顺序自然分成三组,且每组的人数均大于0且是3的倍数,则两位负责人的选取方法种数是( ) A.55 B.66 C.78 D.132 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是(      ) A.利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量无关 B.在残差图中，残差点在以横轴为中心的水平带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C.样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D.用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”6门体验课程，每周开设1门，连续开设六周，则(      ) A.课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B.课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C.课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D.课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 11．已知平面内有两组平行线，一组有10条，另一组有7条，且这两组平行线相交，则(      ) A.这两组平行线有70个交点 B.这两组平行线可以构成140条射线 C.这两组平行线可以构成525条线段 D.这两组平行线可以构成945个平行四边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，则x可能的值是__________________. 13．某产品的广告投入x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下: x 2 3 5 6 y 20 35 50 55 若y关于x的线性回归方程为,则_____________. 14．某工厂6件产品中有3件次品，现在从中随机每次抽取1件且不放回，设X为抽到第2件次品时的抽取次数，则X的期望为__________. 四、解答题(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（14分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. (1)若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法? (2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法? 16．（15分）已知其中,,,,.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. (1)求n值及二项式系数最大项； (2)求（用数值作答）； (3)求的值（用数值作答）. 17．（16分）《最强大脑》是江苏卫视借鉴德国节目《SuperBrain》推出的大型科学竞技类真人秀节目，是专注于传播脑科学知识和脑力竞技的节目.某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：     喜欢 不喜欢 合计 男生     10     女生 20         合计             已知在这100人中随机抽取1个不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4. (1)请将上述列联表补充完整； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明你的理由； (3)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》.现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X，求X的分布列与数学期望. 附：，其中. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（16分）某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为p（），记X为甲随机选择1个选项的得分，Y为甲随机选择2个选项的得分， (1)若，求； (2)求X的概率分布列和数学期望； (3)证明：当且仅当时，. 19．（16分）某公司对近五年的人工智能产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计如下表： 年投入额x（百万元） 1 2 3 4 5 年销售量y（千件） 0.5 1 1.5 3 5.5 该公司科研团队用两种模型①,②对数据进行拟合,得到模型①的回归方程为,并计算得模型②的残差平方和约为0.0462. (1)求模型①的残差平方和,根据两个模型的残差平方和,选择一个拟合效果更好的模型； (2)若某年投入额为8百万元,用拟合效果更好的模型预测产品该年的销售量. 参考公式和数据：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式为,；设,,,,,,. ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $