精品解析：江西抚州市崇仁县第一中学2025-2026学年高二下学期7月阶段性作业数学试题

2025－2026学年下学期高二数学阶段性作业 命题人：沈璐瑶 审题人：戴建波 李志员 说明： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，在试题卷上作答不给分． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出集合，利用补集的定义可得集合. 【详解】因为全集，，故. 2. 已知数列为等比数列，是方程的两个实数根，则（   ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是方程的两个不同实根， 所以，，所以， 因为是等比数列，所以，所以， 又因为，所以. 3. 已知等差数列中，，，则（ ） A. 26 B. 24 C. 20 D. 30 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知，解得， 故. 4. 若直线与曲线相切，则（    ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由，求导得. 因为直线与曲线相切，设切点为， 则切线斜率，解得. 则切点为，则，解得. 5. 函数，的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系及基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为， 所以 ， 又，， 所以当且仅当，即时等号成立． 6. 已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】设该等比数列的公比为， 由，得，所以， 所以或， 取，此时满足且，则成立， 但数列不是单调递减数列，故充分性不成立； 当数列为单调递减数列时，则有，所以， 所以，所以或， 可得成立，故必要性成立； 因此“”是“为单调递减数列”的必要不充分条件. 7. 将正整数分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，即为的最优分解，当，是的最优分解时，定义，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义得到为奇数和为偶数时，数列的通项公式，进而求出数列前100项的和. 【详解】由题意，当（）时，由于，所以； 当（）时，由于，所以. 所以数列的前项和为. 8. 已知函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的定义及导数与函数单调性间的关系，可得为奇函数且为减函数，从而将问题转化成函数与函数的图象有个交点，再利用导数求出的单调性，进而得出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】因为，易知的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 又恒成立，所以为减函数， 令，得到，所以，整理得到，令， 因为函数恰有个零点，则函数与函数的图象有个交点， 又，当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 又时，，时，，时，， 时，，且恒成立，其图象如图所示， 由图可知，要使函数与函数的图象有个交点，则， 解得，所以实数的取值范围是. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若数列的前项和满足，则（ ） A. B. C. 为等比数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据与的递推关系推导、的通项公式；对于B：由上可知为等差数列，由等差中项性质可得结果；对于C：不为等比数列；对于D：，构造函数，利用定义法证明该函数恒大于0. 【详解】对于A：当时，； 当时，，相减得， 所以数列是等比数列，进而得，， 所以，A选项正确； 对于B：因为，所以数列是以1为公差的等差数列， 所以由等差中项性质可得 ，故B选项正确； 对于C：，不为常数，所以不是等比数列，故C选项错误； 对于D：， 当时，则； 当时，令， 则， 所以单调递增，所以，即， 综上：，故D项正确. 故选：ABD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】应用作差法计算比较大小判断A，应用不等式的性质计算判断B，结合基本不等式计算判断C，D. 【详解】由题设，知，即，A错； 由，则，故，所以，则，B对； 由，又，故等号取不到，所以，C对； 由x＞1，，而，故不一定成立，D错． 11. 若存在，使，称为“xf点”，为“xf函数”，则（ ） A. 是“xf函数” B. 是“xf函数” C. 最多存在4个不同的“xf点” D. 存在幂函数，使得对任意， 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：假设是“xf函数”，得出存在，，构造函数研究其零点即可；B：利用零点存在性定理判断；C：化简即可；D：设，根据条件解方程即可. 【详解】A选项，若是“xf函数”， 则存在，使，显然，则有， 令，则，其在上单调递减， 因为，， 所以存在使得，， 则当时，单调递增；当时，单调递减； 故， 因为在上单调递增， 所以， 则方程无解，故A错误； B选项，若是“xf函数”， 则存在，使， 令， 因为，， 所以由零点存在性定理可知，存在，使，故B正确； C选项，若是“xf函数”， 则存在，使， 即，该四次方程，最多有四个不同的实根， 故最多存在4个不同的“xf点”，故C正确； D选项，假设存在幂函数，使得对任意，， 可设，则对任意，， 则，即，得，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设集合，，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由 ，利用 推出 ，从而确定 ，再检验 中的另一个元素是否也属于 ． 【详解】因为 ，且 ，所以 ． 又 ，其中 ，，所以只能有 ，解得 ． 当 时，，，此时 ，符合题意． 13. 已知数列：且满足，令，则数列的前2026项和为______． 【答案】 【解析】 【分析】先变形再构造数列，再应用等差数列通项公式计算，最后结合错位相减计算求解. 【详解】令，可得，由 变形可得，则， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以， 则， 故数列的前2026项和为． 14. 已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由是函数的两个不同的极值点可得，进而得到，然后构造函数，求出函数的值域后可得所求范围． 【详解】由题意可知：的定义域为，且． 因为函数有两个不同的极值点，， 则，是方程的两个实数根，且， 可得，解得， 又因为 ， 构建，则， 可知在上单调递增，则， 若不等式 恒成立，则， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设集合，． （1）当时，求与； （2）若时，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出集合A和B，根据交集，并集运算的定义，即可得答案. （2）根据条件，可得，分别讨论和两种情况，根据包含关系，列出不等式组，综合即可得答案. 【小问1详解】 由题意，集合， 当时，集合， 所以，. 【小问2详解】 由，得， 当时，，解得，此时满足； 当时，则，解得， 综上，实数m的取值范围为 16. 已知数列满足， （1）令，求，，及的通项公式； （2）求数列的前2n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列递推式即可求得，，；判断为等比数列，即可求得其通项公式； （2）设，求得其通项公式，利用分组求和法，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，故，， ， 当时，由，， 故为首项为1，公比为2的等比数列， 故； 【小问2详解】 设，则， 又，故，而， 故是首项为1，公比为2的等比数列， 故， 故 . 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先对分类讨论的单调性，确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时，，所以在上单调递增，无极小值； 若时，当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 此时有极小值，极小值为， 且该极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 18. 已知数列中，，设，如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点得到折线，过向x轴作垂线，垂足分别为． （1）求数列的通项公式及梯形的面积； （2）求由该折线与直线y＝0，所围成的区域的面积； （3）记，若恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1），3 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据递推式构造等差数列，利用等差数列的通项公式得到的通项公式；代入计算的坐标，继而计算面积； （2）根据题意可分析知，为n个梯形的面积和，求出梯形面积通项，利用错位相减法求和； （3）根据（2）写出的通项公式，根据数列的增减性求数列的最小值，从而计算的最大值． 【小问1详解】 数列中，由，得， 则数列是首项为，公差为1的等差数列， ，因此； 则， 所以， 所以梯形的面积为； 【小问2详解】 ，记梯形的面积为， 则， 因此， 于是， 两式相减得， 则， 所以由该折线与直线y＝0，所围成的区域的面积 ； 【小问3详解】 由（2）知，则， ， 不等式恒成立， 而数列都是递增数列，则数列是递增数列， 当n＝1时，，因此，解得，所以的最大值为． 19. 已知函数. （1）求的最大值； （2）当时，，求的取值范围； （3）证明: ，. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后结合导数可得该函数单调性，即可得其最值； （2）由题意可得对任意恒成立，当时，符合题意，令 ，利用导数分及可讨论该函数单调性，结合函数单调性分析即可得解； （3）结合（1）中所得，当时，，取，合理放缩可得，再左右分别求和即可得证. 【小问1详解】 ， 由题得， 当时，，所以，在上单调递增； 当时，令， 则 ，则在上单调递减， 则，所以在上单调递减， 所以，所以的最大值为； 【小问2详解】 由 ，整理得， 当时，，符合题意； 令 ，则 ， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以； ① 当时，，所以在上单调递增， 所以，符合题意； ② 当时，， ， 所以存在，使得， 当时，， 所以在上单调递减，则当时，，不符合题意； 综上，实数的取值范围是； 【小问3详解】 由（1）知，，故， 当且仅当时，等号成立，故当时，， 取，，， 则， 故，，，， 所以 ， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年下学期高二数学阶段性作业 命题人：沈璐瑶 审题人：戴建波 李志员 说明： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，在试题卷上作答不给分． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列为等比数列，是方程的两个实数根，则（   ） A. B. C. 4 D. 3. 已知等差数列中，，，则（ ） A. 26 B. 24 C. 20 D. 30 4. 若直线与曲线相切，则（    ） A. B. C. 0 D. 1 5. 函数，的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 6. 已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 将正整数分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，即为的最优分解，当，是的最优分解时，定义，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若数列的前项和满足，则（ ） A. B. C. 为等比数列 D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 若存在，使，称为“xf点”，为“xf函数”，则（ ） A. 是“xf函数” B. 是“xf函数” C. 最多存在4个不同的“xf点” D. 存在幂函数，使得对任意， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设集合，，若，则______． 13. 已知数列：且满足，令，则数列的前2026项和为______． 14. 已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设集合，． （1）当时，求与； （2）若时，求实数m的取值范围． 16. 已知数列满足， （1）令，求，，及的通项公式； （2）求数列的前2n项和. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且，求的取值范围. 18. 已知数列中，，设，如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点得到折线，过向x轴作垂线，垂足分别为． （1）求数列的通项公式及梯形的面积； （2）求由该折线与直线y＝0，所围成的区域的面积； （3）记，若恒成立，求实数的最大值． 19. 已知函数. （1）求的最大值； （2）当时，，求的取值范围； （3）证明: ，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $