重庆市第八中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

重庆八中2025一2026学年度（下)期末考试高二年级 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.样本数据2,3,5,6,9的标准差为 A.5 B.5 C.√6 D.6 2.根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型 Y=bx+a+e, E(e)=0,D(e)=o2 得到经验 回归模型)=bx+à，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对 随机误差假设的是 残差 +残差 0 A B. 残差 4残差 0 0 D 3.已知函数f(x)=sin2x+3x,则lim f(π)-f(π-△x) =+0 AX A.-5 B.1 C.4 D.5 4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+2)是偶函数，且f①)=3，则f(5)= A.-3 B.0 C.3 D.5 5.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是 /-101- (第5题图) 重庆八中2025一2026学年度（下）期末考试高二年级数学试题 第1页共4页 6、在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0 或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.7 和0.3：发送1时，接收为0和1的概率分别为0.2和0.8.若接收信号为1的概率为 0.65,则发送信号为1的概率为 A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 7.已知集合A={x|5≥x≥-2}，集合B={x|2m-1>x≥m+1,m∈R},若命题“3x∈A, 使得x∈B”为真命题，命题“xeB,都有x∈A”为假命题，则实数m的取值范 围是 A.(（34] B.(3,4) C.(2,4] D.(2,4) 8.已知透数国-2可+5-2x,x 则f(x)的最大值是 A. B.5 C. D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题中正确是 八.数据-2,1,3,4,6,6,9,10的第25百分位数是1 B.若事件M、N的概率满足P(M)∈(O,1),P(W∈(O,1),且P(NM)+P(N)=1, 则M、N相互独立 C.已知随机变量X~B(n,),若D3X+2)=4,则n=2 D.已知X~N(2,o2)且P(X>3)=P(X<a),则(2x-a)的展开式中x4的系数为240 10.随着国产新能源汽车的发展，我国新能源汽车销量逐月攀高，2026年5月全品类乘 用车销量排行榜前15名都是新能源汽车.某新能源汽车企业在2018年的年产量为41 万辆，由于技术升级和市场需求增长，该企业每年的产量构成一个等差数列，年产 量逐年增加且每年增加固定的d万辆.已知该企业在2018年、2020年、2022年这 三年的年产量之积等于其2018年至2026年这九年总产量的三分之一.记该企业前n 年的累计产量为S万辆.则下列结论正确的有 ,若2018年的年产量为1万辆，则每年增加1万辆 ,若2018年的年产量人于每年增加的固定产量，则每年增加固定产量小于1万辆 ·2018年与2019年的年产量之的最小值为2万辆 ·2018年的年产量的取值范围是(0,2)万辆 重庆八中2025一2026学年度（下）期末考试高二年级数学试题 第2页共4页 11.对于函数y=(x),x∈D,设A,={(x,y)川y≥f(x),x∈D),对于点集M,若存在 (x。,yo)∈M,使得任取(x,y)∈M,总有2y。,则称(x,y)为“最低点”.对于函数y=f(x) 和y=g(x),以下说法中正确的是 A.若f(x)=nx,则A,没有最低点 B.若y=f(x)和y=g(x)都有最小值，则A∩A。有最低点 Q.若A,∩A。有最低点，则y=f(x)和y=g(x)都有最小值 D.若AUA有最低点，则y=f(x)或y=g(x)有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.把4本不同的《挹青苑》分给3个人，每人至少一本，则不同的分法种数为 13.若x∈R,cos3x+cos2x-a>0恒成立，则实数a的取值范围为 14.在一个无限延展的平面上，有一颗粒子，从平面直角坐标系的原点出发，每秒向上 向下、向左、向右移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为，记第秒末粒 子回到原点的概率为pn,求p4=_一，P2n= -.(neN,∑(C)2=Cn） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知椭圆C:x2+2y2=2,左、右焦点分别为F,E,过点E作倾斜角为匹的直线1 交椭圆于A,B两点. (1)求AB的长； (2)求△ABF的面积. 16.(15分) 已知函数f(x)=xe-a(片x2+x),且a>0. (1)若曲线y=f(x)与x轴相切，求实数a的取值： (2)讨论函数f(x)的单调区间. 重庆八中2025一2026学年度（下)期末考试高二年级数学试题 第3页共4页 17.如图，在三棱柱ABC-4BC中，△ABC是正三角形，四边形A4C,C为菱形，∠44C- A AB=2AB B (1)证明：AC1⊥AB: (2)求二面角B-A4-C1的正弦值， 18.“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下： ①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头： ②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平 局 现有(n≥3)人玩游戏. (1)分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率P(3)、p(4: 石头剪刀布 (2)求1≥3)人玩一轮游戏，平局的概率p(m(结果用n表示)： (3)设当n=5时，玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率Q. 19.对于函数y=f(x),x∈I,若存在∈I,使得f()=,则称为函数f(x)的一阶 不动点；若存在∈1，使得f(f()=x,则称为函数f(x)的二阶不动点；依此类推， 可以定义函数f(x)的阶不动点，其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳 定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为A和B,即A={xf(x)=x, B={ff(x》=x}. (1)若f(x)=e(K>0,证明：集合A={f)=x}中有且仅有一个元素； (2)若函数)在定义域内单调递增，求证：A=B: 3者回=a--2地a-,时论家合的了突的个数 重庆八中2025一2026学年度（下）期末考试高二年级数学试题 第4页，共4页重庆八中2025一2026学年度（下)期末考试高二年级数学试题答案 2 3 5 6 7 8 9 10 11 C D D A B A B BCD AB AD 1.C【解答】解：样本均值x=2+3+5+6+9 =5, 5 标准差5=传2-5列+6-5+5-5+6-5+9-5列门，一V传9+4+0+1+16，=6. 2.D【解答】解：对于A,残差与观测时间有线性关系，故A错误： 对于B,残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变小，故B错误： 对于C,残差与观测时间是非线性关系，故C错误； 对于D,残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，故D正确。 3.D【解答】解：f)=2cos2x+3,f)=5,ima)-fa-a=fa)=5. 4.A【解答】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，fx+2)是偶函数， 即fx)的图象关于原点及x=2对称，则f5)=-f3)=-f)=-3. 5.B【解答】解：由题意可知，当x<-2和-1<x<1时，f(x)>0, 所以f(x)在(-0，-2)，(-1，)上单调递增， 当-2<x<-1和x>1时，f(x)<0,所以fx)在(-2，-1)，L,+)上单调递减，所以选B. 6.C【解答】解：设事件A为“发送信号0”，事件4为“发送信号1”，事件B,为“接收信号为0”，事 件B为“接收信号为1”，则P(B。|A)=0.7,P(B)=0.3,P(B。|4)=02,P(B4)=0.8. 设发送信号为1的概率为x,则接收信号为1的概率为 P=P(A)P(B,|4)+P(4)PB14)=1-x)×0.3+x×0.8=0.65,解得x=0.7,即发送信号为1的概率为0.7. m+1≤2m-1 7.A【解答】因为命题“3x∈A,使得x∈B"为真命题，所以A∩B≠☑，即{m+1≤5，解得2≤m≤4； -2≤2m-1 m+1≤2m-1 命题“x∈B,都有x∈A”为假命题，所以B4A。BSA时，B=☑，m<2,B≠☑， 2m-1≤5 -2≤m+1 解得2≤m≤3，所以m≤3，因此B4A等价于m>3。综上，3<m≤4。 8.B【解答】法-：三角换元：令fx)=√2V2x-2+√3-2x, u=√2x-2 v=√3-2x 则u=os8v=m8,9[0引 令u=cos8v=sm80e0,}fe倒=5cos0+s油0=5sm0+pmp=5 第1页共8页 当日=-p,函数最大值为5 2 法二：柯西不等式：f(x)=√2√2x-2+√3-2x由柯西不等式可得： (2N2x-2+N5-2x2≤(2)2+12)(2x-2)+(3-2x)=3 当且仅当2-V2xr-2 即x=4时取等号。因此问≤5 1√3-2x 3 9.BCD【解答】解：A:8个数据从小到大排列，由于8×0.25=2， 所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数+3=2，故A错误： B:由P(N|M)+P(=1,可得P(N|M)=1-P(N)=P(W), 即PW=PW,可得PMM=PM)PM,所以M、N相互独立，故B正确： P(M) C:因为X-时则D8x+2习=9D0=9xn写号2n=4,所以a=2,放C正确： D:由题可得：3+a=2,即a=1,则对于(2x-1,有T1=Cg(2x).-y=2仁1yCgx, 2 有I=2-2(-1)2.Cx-2=240x,故(2x-a)的展开式中x的系数的值为240，故D正确： 10.AB【解答】根据题意，2018年至2026年对应数列的第1项至第9项，所以等差数列{a,}满足：4>0， 公装4>0，且4马8,9a=%,所以a48=放44=3，即4a+2=3. 2 当a=1时，d=1,故A正确. 若a>d,则0<d+2d<a+2d,所以d(d+2d)<a(a+2d)=3,即d2<1,故d<1,故B正确. 由a%+2d=3,得d=3-乌 2a12 所以a+a2=g+4+d=2a 3-g=+3之2巴3=3，当且仅当4=1时，等号成立， +2a2=224V224 故a+a2的最小值为3，故C错误. 由44+20=3，得2a=3-4>0,即3-4G>0,解得0<4<5，故D错误. a 11.AD【解答】解：对于A,由图像可知，A没有最低点，故A正确： 对于B,可举反例：f(x)= e',x≤0 0,x>0’8)= 0,x<0 e,x20' 第2页共8页 此时4，∩4=x,川(0且y2e)或(x>0且2e)},故B错误： 对于C,可举反例：fx)=e,g(x)=e，此时A,∩A。={x,y)川(c>0且2e)或（≤0且2e)}, 显然此时(0,1)为4，∩4，但f)和g(x)都没有最小值，故C错误： 对于D,若4U4有“最低点”，不妨记最低点为(，)e(4U4), 则(x。,y)∈A或(x,)∈A,且有fx)≥%或g(x)≥， 故f(x)=,或g(x)n=,故D选项正确. 12 13 14 36 (-00,-10 9，(C)2 4:4 12.36【解答】解：把4本不同的挹青苑分给3个人，每人至少一本， 则不同的分法种数为CCS.G=36种。 13.(-0,-1)【解答】解：cos3x+cos2x-a=cos3x+2cos2x-1-a,即cos3x+2cos2x-1-a>0恒成立， 可得a<cos3x+2cos2x-1恒成立， 令t=cosx∈-1,1]，则f)=t+22-1,所以f)=t(3t+4, 当-1<t<0时，f"0<0,当0<t<1时，f'①>0， 所以f)在(-1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增，所以f)的最小值为f0)=-1, 因为a<4cosx+2cos2x-1,所以a<-1,所以实数a的取值范围为(-0，-1). 14、品：【解答】解由圆意得粒子在第四秒日到原点。分街种情汉专虑： ①每一步分别是四个不同方向的排列，共有A种情况， ②每一步分别是两个相反方向的排列，共有2C种情况，B=心+2C。24+129 44 4x4×4×464 法一：第2n秒末要回到原点，则必定向左移动k步，向右移动k步，向上移动(n-)步，向下移动(n-k) 步，÷B.=2cCSC益-1方2 1 k042 F2m-74女CG2Cy-C 42n 法二：设向上a次，向下b次，向左c次，向右d次 已知a+b+c+d=2,又因为要回到原点，a=b,c=d得 [2a+2c=2n a+c=n 2b+2d=2n b+d=n 第3页共8页 即问题等价于2n个空中，有n个a或c,n个b或d 第-步：2n个空中选n个给a和c:Cn 第二步：放置a和c;b和d n=0+n=1+n-1=2+n-2=..=n+0,所以一共有 cccc+cc-ccc 42m 15.【解答】解：(D由椭圆c:号+少=，即有d=2,=1,c=-8=1,即(10， 所以直线1的方程为y=x+1, 联立 2+2y2=2'得3x+4x=0,为=0或5=-4 y=x+1 所以8昨+1-卡2x10-=4 F2 3: 得为 (2)由x=0,得y=1,由5=-4， 1 31 不纺设0，以-手月△4B5的面积3-x刘R1K以-%×x1-(月 16.【解答】解：(1)设切点为(，e*-a(5号+x》,则切线斜率为f()=(o+1e-a）), 因为曲线y=f(x)与x轴相切，则f'(x)=(x。+1)(-a)=0，解得x。=-1或=lna, 当=-1时，切点为(-1,0)，即f-1)=-1+=0,解得a=2, e 2 e 1 当x。=lna时，切点为(lna,0),即f(na)=二aln2a=0,解得a=l, 2 综上=1或子 (2)f'(x)=(x+10e-a),令f"(x)=0,得x=-1或x=lna, ①当a=上时，f(x20恒成立，所以f)在R上单调递增： ②当0<a<l时，ma<-l,由f>0,得x<a或x>-l: 由f'(x)<0,得ma<x<-1,所以f(x)的单调递增区间为(-o,lna),(-L,+oo),单调递减区间为(na,-1). ③当a>1时，hna>-1,由f)>0,得x<-1或x>lna: e 由f'(x)<0,得-1<x<na,所以f(x)的单调递增区间为(-o,-1),(na,+oo),单调递减区间为(-l,na), 综上所述，当0<a<上时，f)的单调递增区间为（∞，na),(-l,+∞），单调递减区间为(a,-: e 第4页共8页 当a=上时，f在R上单调递增： 当a>上时，f)的单调递增区间为(-o,-l),(na,+o),单调递减区间为(-lma) 17.【解答】(1)取AC的中点为O,连接B0,A0, 由题知△MBC是正三角形，：B0⊥AC,又A4=4C,∠44C=5,:△4AC为正三角形， 3 AO⊥AC, B 又AO∩BO=0,∴AC⊥平面4B0,又AC/1AC,4G⊥平面A4B0,4Bc平面4B0,∴A4B⊥AC: (2)取O为AC的中点，过O作平面ABC的垂线， 以该垂线为z轴，以OB,OC所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角 坐标系， 不妨设AB=2a,依题AB=AC=BC=2a,A4=2a,AC=2a,AB=2W2a, 则A0,-a,0),B(√3a,0,0),C(0,a,0) 1 [x2+0y+a)2+z2=4a2 x=- 设4(x,y,z),则{x2+0y-a)}+z2=4a2 →{y=0 ,.A5a0 , (x-V3a)2+y2+z2=8a V 2= a 5 -1 d)B=(3a,a.0).4C-(0. 元·B=0 √5ar+a%=0 [=1 设平面B4法向量为万=（名，以，马），则 月·4=0F55+a%* 1 y=5, 5=0 (名=2 元=0,5,2)， 1 +%+ =1 同理平面A4C的法向量乃=（名，2，），则万 a2=0 → 2=0, 2ay2=0 元2=1,0， 设锐二面角B-A4-C为0，则1cos9Hc0s<元，%米写2=方， 3 2 第5页共8页 18.【解答】解：(1)“石头、剪刀、布”游戏中，石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头， 人玩一轮游戏，平局的概率为P)=S+子 33 4人玩一轮游戏，平局的概率为p4④=G+C￡_3 34 27 (2):平局的情况比较多，∴考虑”人玩游戏分出胜负的概率下， p_G(C+C++C=32-2-2”-2 3 3-1 其中C表示分出胜负的三种情况，即n人只出了①石头，剪刀：②石头，布：③剪刀，布，此时分胜负， 而分出胜负与平局是对立事件， 故m(心3)人玩一轮游戏，平局的概率p)=P=1-p=1-2-2 3-, (3)由于5人玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者， 情形一：第一轮平局，第二轮决出唯一获胜者， 此时月=0-2S)-}警 3535=371 情形二：第一轮淘汰1位游戏者，第二轮淘汰3位游戏者，决出唯一获胜者， 时月=气99)-多曾 情形三：第一轮淘汰2位游戏者，第二轮淘汰2位游戏者，决出唯一获胜者 此时月=S,,,-9多-器 情形四：第一轮淘汰3位游戏者，第二轮淘汰1位游戏者，决出唯一获胜者， 此时=-S,-9 Γ33337 综上所述：9=R+B+B+B=85+20+90+180_375_125 37 37=729 .1 19.【解答】(1)证明：设m(x)=fx)-x,则m(x)=e°-x,求导得m'(x)=二e°-1， e 令m(x)=0,可得x=e,当xe(0,e)时，m'(x)<0,当x∈(e,+o)时，m'(x)>0, 所以m(x)=m(e)=0,所以m(x)有唯一零点， 所以集合A={xf(x)=x}中有且仅有一个元素： (2)证明：设x,为函数f(x)的不动点，则f(x)=。, 则ff(x)》=f(x)=x。,即x。为函数f(x)的稳定点，即AsB. 设为函数fx)的稳定点，即ff(x》=x, 假设f(x)=,而f(x)在定义域内单调递增， 第6页共8页 若。>x。,则fU(x》=f0)>f(x)=>0,与fUf(x》=x矛盾： 若%。<x。,则fUf(x》=fy)<fx)=y。<x。,与fUfx》=x矛盾； 故必有=x,即f(x》=f0y)=f()=%=x, 即f(x)=%=x,故x为函数f(x)的不动点即BA,综上，A=B,得证： (3)当a>-1时，因为函数f)=a+1x-1+21m,其中x>0, x 2 所以/国=a+1+宁+子0，在@树上单词避端， 由(2)可知，)的稳定点与f例的不动点等价，所以考忠f)=a+x-上+加匹的不动点即可： x+ 令国--号狐+m>0, 所以F()=立 1 三+a+三，所以F'(x)在(0，+∞)上单调递减 ①当a>0时，F(x)>0恒成立，即F(x)在(0，+∞)上单调递增， 当x无限接近于0时，FR)道向于负无穷小，且Pe)-子ne+ax2-己>0， 故存在唯一的x。e(0,),使得F()=0,即f(x)=x有唯一解，所以此时f(x)有唯一不动点，所以集合B 的元素有1个； 21 ②当a<0时，即-1<a<0时，F0=子+a+1>0,当x趋向无穷大时， 2 ×-+a+ →a<0, 21 1 121 所以存在难一+@)，使得F6)手×a+字0，a=天宁污 此时F(x)在(0，x)上单调递增，在(x,+∞)上单调递减， 故F=Fe)属+s低子号 当x趋近于0时，F(x)趋向于负无穷大，当x趋近于正无穷大时，F(x)趋向负无穷大时， 设h)=子r-2 云--子，则()在0，+)上单调递增， 且e-号如-子名-0，又a=-子片亨在e0网时#须莲 放aw当F@号子名-0时，即名=6，此时a= 。，方程F)=0有一个解， 即f(x)有唯一不动点，所以集合B的元素有1个： 当因名号0即<心，此时-1ca<号方程F下0定 即f(x)无不动点，所以集合B为空集： 第7页共8页 @当P0号号子0时，即天>，时-号a0,方程四=0有两个解 即fx)有两个不动点，所以集合B的元素有2个： 2 回当a=0时，F=号x-(x>0),方程F)=0有一个解，所以集合B的元素有1个 踪上，当0时或a三时，集合B的元素有1个 当-1<a<- -3时，集合B为空集： 当3 <a<0时，集合B的元素有2个. 第8页共8页