精品解析：重庆市九龙坡区2024-2025学年高二下学期期末学业质量调研抽测数学试题

2024—2025学年度（下期）高中学业质量调研抽测 高二数学试题 （数学试题卷共6页，共19个小题，考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前、先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，再代值计算即可. 【详解】由求导得， 则. 故选：A. 2. 已知集合，则满足的集合M共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式得到，结合即可确定集合的个数. 【详解】因， ，则，故集合的个数即集合的子集个数，有个. 故选：D. 3. 若随机变量X服从正态分布，已知，则（ ） A. 0.7 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 【答案】B 【解析】 分析】根据正态分布对称性可求概率. 【详解】因为随机变量X服从正态分布， 所以， 则. 故选：B. 4. 若命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】利用举例子说明存在性命题为真命题；再利用基本不等式求得的范围判断命题q为假命题，即可确定选项. 【详解】对于命题p：，，可取，则有，故命题为真命题； 对于命题q：，，因时，， 当且仅当时，等号成立，故命题q为假命题，则是真命题. 故选：C. 5. 从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，第二个数是6的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题随机取出4个不同的数共有，第二个数是6，则4个数中第二大的是6，在7，8，9中选一个，1，2，3，4，5中选2个数，再求概率即可. 【详解】由题知随机取出4个不同数共有种， 第二个数是6，则4个数中第二大的是6，所以有， 所以概率为. 故选：C. 6. 已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（ ） A. 0.206 B. C. 0.596 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据线性回归方程必过样本中心点，可求，再推导出，可求的值. 【详解】由表格中数据得， ， 代入方程得，，解得，因此. 由两边取对数，得. 又，所以，，即. 故选：D 7. 品牌电商服务商是指专门为品牌方提供电子商务服务的商家，其中包括运营、营销、仓储物流、客户服务等内容.某品牌方准备与甲、乙、丙3家服务商进行合作，为此对这3家服务商的运营、营销、仓储物流、客户服务4个项目进行考察，并根据考察结果对每项内容按照从优到劣分为A，B，C三个等级，则甲服务商的4项内容等级均高于乙和丙服务商的所有可能情况的种数为（ ） A. 24 B. 120 C. 256 D. 625 【答案】D 【解析】 【分析】先分情况计算每个项目甲高于乙和丙服务商的情况，接着即可求出结果. 【详解】若甲服务等级为A，则乙和丙可以B，C等级，共有种； 若甲服务等级为B，则乙和丙只能C等级，此时有1种情况， 所以每个项目甲高于乙和丙服务商的情况有5种， 所以甲服务商的4项内容等级均高于乙和丙服务商的所有可能情况的种数为. 故选：D 8. 若函数（）的极小值点为2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，利用求得的值，从而得到，分和两种情况讨论，当时，结合二次函数图象判断函数单调性，从而求得的取值范围. 【详解】求导得， 因为极小值点为2，所以，解得， 所以， （1）当时，，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增，极小值点为2符合题意； （2）当时，令得， ①当时，，令得，令得或， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以极小值点为2符合题意； ②当时，要使得极小值点为2，结合二次函数图象，则要求，解得； 综上，的取值范围为， 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据随机变量X的期望和方差计算公式即可判断A，B项；利用随机变量的期望与方差性质计算即可判断C，D两项. 【详解】根据随机变量X的分布列，可得，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 10. 设正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接利用均值不等式判断A选项，通过“1”的代换判断B选项，利用平方判断CD选项. 【详解】A选项，， 当且仅当即时等号成立，故的最大值为，A错误； B选项，，当且仅当时等号成立，故B正确； C选项，由，得， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； D选项，由，得， 当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 的极小值为1 C 设，，，则 D. 若曲线与曲线无公共点，则实数k的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导判断函数的单调性并求出极值，判断AB选项；利用的单调性及对应的自变量的值判断C选项；分离参数，设，通过导数求得的最值，进而得到的取值范围，判断D选项. 【详解】求导得，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，A正确； 由的单调性知在处取得极大值，无极小值，B错误； C选项，，，， 因为，在上单调递减，所以，即，C正确； D选项，由得， 设，则， 令得，令得，所以，， 又显然当时，， 所以若曲线与曲线无公共点的充分必要条件是，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在上的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过求导，推出函数在给定区间上的单调性，即可求得其最小值. 【详解】由求导得：， 因，由可得，由可得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故时，函数取得极小值，也是最小值，为. 故答案为：. 13. 的展开式中，含项的系数为__________. 【答案】55 【解析】 【分析】将原式拆解成两个二项式的和，借助于通项的分析即得. 【详解】， 因二项式的通项为， 则的展开式中含项的系数为； 对于，只需求其中的展开式含项的系数，即. 故的展开式中，含项的系数为. 故答案为：55. 14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机抽取2次，每次取1个球，记m为第一次取出的球上的数字，n为取出的两个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过1的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题可知总样本空间有36种，再在其中找出符合题意的情况，计算概率即可. 【详解】由题知从中不放回的随机抽取2次，共有种， 其中符合题意得有：， 共18种， 则概率为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）证明：； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）求导分析函数单调性，根据单调性确定最小值即可证明； （2）设切点，求出切线方程，再利用切线过点，解出，即可得到切线方程； 【小问1详解】 证明：函数定义域为R，， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以，即得证. 【小问2详解】 设切点，，， 所以切线方程为：， 即，又过， 所以， ， 所以切线方程为：. 16. 为增强学生体质，某校大力倡导学生周末参加体育锻炼，一段时间后，该校随机抽取180名学生了解周末体育锻炼达标情况，其中抽取男生100人，体育锻炼达标有90人，抽取女生80人，体育锻炼达标有65人. （1）完成下列2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生周末体育锻炼达标情况与性别有关？ 达标 未达标 合计 男生 女生 合计 （2）现从抽取的周末体育锻炼未达标的学生中按男生和女生比例分层抽取5人，再从这5人中随机抽取3人了解其周末参加体有锻炼的情况，设抽取的3人中女生人数为，求的数学期望. 参考公式及参考数据： ，. 0.15 010 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）完成列联表，计算卡方值并与对应的小概率值比较即得结论； （2）先求出抽样比，确定抽取的5人中，男生2人，女生3人，得到的可能值有1，2，3，利用超几何分布概率公式计算对应的概率值，列出分布列，计算数学期望即可. 【小问1详解】 依题意，完成下列2×2列联表如下： 达标 未达标 合计 男生 90 10 100 女生 65 15 80 合计 155 25 180 零假设学生周末体育锻炼达标情况与性别没有关联， 因， 根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即可以认为学生周末体育锻炼达标情况与性别有关联. 【小问2详解】 由（1）中列联表知体育锻炼未打标的男生与女生的人数比为， 则抽取的5人中，男生2人，女生3人，从这5人中随机抽取的3人中女生人数为的可能值有1，2，3， 故， ， ， 则随机变量的分布列为： 1 2 3 故的数学期望为. 17. 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，完成了世界首次月球背面采样返回任务.某校为了激发同学们对探月工程的关注，该校组织了探月知识比赛，比赛分为两个阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分为高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，再回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段仅答对2个问题的选手进入低分组，再回答4个问题，每答对1个得10分，答错不得分.已知甲选手第一阶段的每个问题答对的概率都是，第二阶段，若甲选手进入高分组，每个问题答对的概率都是，若甲选手进入低分组，每个问题答对的概率都是. （1）求甲选手第一阶段被淘汰的概率； （2）求甲选手在该次比赛得分为20的概率； （3）已知该次比赛甲选手进入了低分组，记甲选手在该次比赛中得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）分析甲选手第一阶段被淘汰的两种情况，利用二项分布概率公式计算即得； （2）由甲选手在该次比赛得分为20，可分成进入高分组和进入低分组两种情况，分别利用二项分布概率公式计算即得； （3）由题意得到的可能取值为：，分别求出对应的概率值，列出分布列表，计算数学期望即可. 【小问1详解】 甲选手第一阶段被淘汰，即甲回答的3题中，答对了0个或1个， 故其概率为：； 【小问2详解】 甲选手在该次比赛得分为20，包括两种情况：① 进入高分组，答对1个问题；② 进入低分组，答对2个问题. 故其概率为：； 【小问3详解】 依题意，甲选手在该次比赛中得分的可能取值为：， 则，，， ，. 则随机变量X的分布列为： 0 10 20 30 40 故随机变量X的数学期望为：. 18. 已知函数. （1）求的极值； （2）若函数有两个不同的零点，. （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）设，且的最大值为，求的最大值. 【答案】（1）当时，无极值；当，有极大值，无极小值. （2）（ⅰ） （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求导，含参讨论单调性确定极值即可； （2）（ⅰ）根据单调性及函数有两个不同的零点，可确定m的取值范围； （ⅱ）设，根据零点解得，则，，求导分析单调性确定最值即可. 【小问1详解】 定义域为，， 当时，，在单调递增，无极值点， 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，无极小值， 综上，当时，无极值；当，有极大值，无极小值. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知当时，在单调递增至多有一个零点，所以不符合题意； 当时，在单调递增，在单调递减， 又函数有两个不同的零点，，且时，，时，， 所以，解得. （ⅱ）令，，又， 所以， 解得，即， ， 又，且的最大值为，所以， 令， ， 令，， 所以，即， 所以在单调递增， ， 所以的最大值为. 19. 某市推广智能家居节能计划，调研发现一个家庭安装智能灯泡的数量X（单位：个）的分布列为： X 0 1 2 3 P 其中，.每个家庭安装智能灯泡的个数是相互独立的.记事件A：一个家庭单月节省电量总和至少为4度.若事件A发生，则认为该家庭完成节能目标. （1）求m与p的比值； （2）每个智能灯泡互不影响，且每个智能灯泡每月节省的电量Y（单位：度）的分布列如下（，）； Y 1 2 3 4 5 P 其概率满足下列条件： ①（）；②. （ⅰ）求，的值； （ⅱ）若政府希望有30%以上的家庭完成节能目标（即），试问：对任意的，该目标能否完成？请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）;（ii）能完成 【解析】 【分析】（1）利用分布列概率和等于1求得； （2）（i）根据已知分布列，结合其满足的两个条件，先求得，再利用分布列的概率之和为1求得； （ii）利用全概率公式求得  ，  ，利用导数研究其单调性进而证得对任意，有 . 【小问1详解】 随机变量  表示一个家庭安装智能灯泡的数量，其分布列概率和等于1， ∴，，，； 【小问2详解】 （i）由于  取离散整数值，分析条件 ， 故：， 概率总和为 1：，代入得， 解得； （ii）事件：一个家庭单月节省电量总和至少为 4 度，即总节省电量 . 总节省电量 ，其中  独立同分布于 ， 与  独立. 由（1）知，故  的分布为：，，，， 计算 ： 若，则 ，故 ， 若 ，则 ，故 ， 若，则，需. 计算 ： ：，概率  ： 或 ，概率 ， 故，所以 ， 若，则，需. 计算 ：  仅当所有 ，概率 ， 故， 则： . 设函数  ，  . 求导得， 令，则，为开口向下的抛物线， ∵，∴存在唯一的实数，使得，且内，单调递增，内，单调减， 又∵，∴存在唯一的实数，使得，且内，单调递增，内，单调减， 又∵当 ，， 当 ，， ∴在 内 恒成立， 因此，对任意，有 ，即政府目标总能完成. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度（下期）高中学业质量调研抽测 高二数学试题 （数学试题卷共6页，共19个小题，考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前、先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知集合，则满足的集合M共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 3. 若随机变量X服从正态分布，已知，则（ ） A 0.7 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 4. 若命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 5. 从集合中随机取出4个不同数，并将其从大到小依次排列，第二个数是6的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（ ） A. 0.206 B. C. 0.596 D. 7. 品牌电商服务商是指专门为品牌方提供电子商务服务商家，其中包括运营、营销、仓储物流、客户服务等内容.某品牌方准备与甲、乙、丙3家服务商进行合作，为此对这3家服务商的运营、营销、仓储物流、客户服务4个项目进行考察，并根据考察结果对每项内容按照从优到劣分为A，B，C三个等级，则甲服务商的4项内容等级均高于乙和丙服务商的所有可能情况的种数为（ ） A. 24 B. 120 C. 256 D. 625 8. 若函数（）的极小值点为2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 的极小值为1 C. 设，，，则 D. 若曲线与曲线无公共点，则实数k的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在上的最小值为__________. 13. 的展开式中，含项的系数为__________. 14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机抽取2次，每次取1个球，记m为第一次取出的球上的数字，n为取出的两个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过1的概率为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）证明：； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 16. 为增强学生体质，某校大力倡导学生周末参加体育锻炼，一段时间后，该校随机抽取180名学生了解周末体育锻炼达标情况，其中抽取男生100人，体育锻炼达标有90人，抽取女生80人，体育锻炼达标有65人. （1）完成下列2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生周末体育锻炼达标情况与性别有关？ 达标 未达标 合计 男生 女生 合计 （2）现从抽取的周末体育锻炼未达标的学生中按男生和女生比例分层抽取5人，再从这5人中随机抽取3人了解其周末参加体有锻炼的情况，设抽取的3人中女生人数为，求的数学期望. 参考公式及参考数据： ，. 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2706 3.841 6635 17. 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，完成了世界首次月球背面采样返回任务.某校为了激发同学们对探月工程的关注，该校组织了探月知识比赛，比赛分为两个阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分为高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，再回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段仅答对2个问题的选手进入低分组，再回答4个问题，每答对1个得10分，答错不得分.已知甲选手第一阶段的每个问题答对的概率都是，第二阶段，若甲选手进入高分组，每个问题答对的概率都是，若甲选手进入低分组，每个问题答对的概率都是. （1）求甲选手第一阶段被淘汰的概率； （2）求甲选手在该次比赛得分为20的概率； （3）已知该次比赛甲选手进入了低分组，记甲选手在该次比赛中得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 18. 已知函数. （1）求的极值； （2）若函数有两个不同的零点，. （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）设，且的最大值为，求的最大值. 19. 某市推广智能家居节能计划，调研发现一个家庭安装智能灯泡的数量X（单位：个）的分布列为： X 0 1 2 3 P 其中，.每个家庭安装智能灯泡的个数是相互独立的.记事件A：一个家庭单月节省电量总和至少为4度.若事件A发生，则认为该家庭完成节能目标. （1）求m与p的比值； （2）每个智能灯泡互不影响，且每个智能灯泡每月节省的电量Y（单位：度）的分布列如下（，）； Y 1 2 3 4 5 P 其概率满足下列条件： ①（）；②. （ⅰ）求，的值； （ⅱ）若政府希望有30%以上的家庭完成节能目标（即），试问：对任意的，该目标能否完成？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$