安徽安庆市部分校2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，通过空间直角坐标系、概率统计（如“村BA”知识竞赛）、函数导数综合等问题，融合数学眼光（空间观念、几何直观）、思维（推理能力、运算能力）与语言（模型观念、数据意识），实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|空间直角坐标系、直线垂直、等差数列、贝叶斯公式、回归分析、曲线性质|多结论判断（如第8题4个结论辨析），考查逻辑推理| |填空题|3题15分|直线倾斜角、随机变量方差、函数零点（亲密函数定义）|创新概念应用（亲密函数），体现数学抽象| |解答题|5题77分|数列证明与求和、立体几何（线面平行、二面角）、概率统计（“村BA”情境）、椭圆综合、函数导数（必要不充分条件证明）|真实情境创设（“村BA”知识竞赛），分层设问（如第19题三问梯度设计），突出综合应用|

高二数学参考答案与评分标准 选择题:(本题共11小题，第1~8每小题5分，共40分 ；第9~11题每题6分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C A D B A D BC ACD ACD 填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12. 13. 14. 解答题:(本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15．【解答】（1）证明：由题意，数列满足，可得， 可得，即． 又由，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列； 6分 （2）解：由（1）可得，所以． 设数列的前项和为， 则． 若，即， 因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为99． 13分 16．【解答】解：（1）证明：取的中点，连接、， 由为的中点知， 因为平面，平面，所以平面， 由为的中点且，知， 所以， 4分 因为平面，平面， 所以平面． 因为，，平面，所以平面平面． 又因平面，所以平面． 7分 （2）取的中点，由知， 以为坐标原点，、所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，所以， 则，，1，，，，，，，， 所以， 由，得，所以． 设平面的法向量为， 则，则，即， 取，则，， 所以平面的一个法向量为 10分 因为平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则，即平面与平面夹角的余弦值为 15分 17．【解答】解：（1）设 “甲同学所选的题目回答正确”， 设，，分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”， “所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”， 由题得（B） 6分 （2）由题意可知，的可能取值为，1，8，15， 则， ， ， ， 因此的分布列为： 1 8 15 因此 15分 18．【解答】解：（1）由椭圆定义得， 所以△的周长为，解得， 又，解得，故，所以椭圆方程为； 3分 （2）①由题意得，设直线，， 设，，，，，， 联立，消去得， ， 则， 5分 ， 故， 由对称性可知，，则直线的斜率为， 7分 直线的方程为， 由对称性可知，直线若过定点，则定点在轴上， 令得，又， 故， 故直线恒过定点，定点坐标为 10分 ②过点作轴，交于点， 直线方程为，令得，故， 所以 13分 则， 15分 由基本不等式得， 且仅当，即时，等号成立，故△的面积最大值为 17分 5．【解答】解：（1）由定义得，，且， 因此，，，因此解得，， 综上，， 4分 （2）证明：必要性：若函数为偶函数，， 因此对任意的，有， 对上式两边同时求导，可得：， 因此函数是奇函数， 6分 若，因此，即， 进而有，即，， 因此对任意，，因此必要性成立 8分 不充分性：不妨取，， 此时，满足题设，但函数显然不是偶函数，因此充分性不成立， 综上所述，“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件 10分 （3）由对任意，且，都有， 可得：对任意，且，都有， 即函数在上是不减函数，即恒成立 11分 由，可得：， 设，因此 13分 因此对恒成立，即对恒成立， 令，，因此， 因此函数在和是减函数，在是增函数， 大致图像如图， 15分 当时，不等式可化为，此时， （ⅱ）当时，不等式可化为，此时， （ⅲ）当时，不等式可化为，此时，， 综上所述，实数的取值范围是 17分 高二数学参考答案与评分标准 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 (考试时间:120分钟，试卷满分:150分) 一、选择题:(本题共8小题，每小题5分，共40分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1．在空间直角坐标系中，点，2，关于轴的对称点坐标是（　　） A．，2， B．，， C．，2， D．，， 2．直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．已知等差数列，，，若，则（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4．已知函数，则（　　） A． B． C．3 D．5 5．在的展开式中，含的项的系数是（　　） A．15 B． C．35 D． 6. 某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为．当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为；否则，第一件产品合格的概率为．某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，求当天生产线初始状态良好的概率（　　） A． B． C． D． 7．已知由一组样本数据确定的回归直线方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线的斜率为1.4，那么当时，的估计值为（　　） A．9.6 B．10 C．10.6 D．9.4 8．在平面直角坐标系中，曲线，其中．给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②设，，，在曲线上，则； ③当时，记曲线上的点到直线的距离为，则； ④对于任意，存在使得直线与曲线的公共点个数为3． 其中所有正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题:(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9．已知数列的通项公式为，则当数列的前项和取最小值时，项数为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 9．在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是　　 A．若 B．若 C．若 D．若 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．点是双曲线上位于第一象限的动点，当轴时，△为等腰直角三角形，直线为双曲线的半焦距），则下列说法正确的是（　　） A．双曲线的离心率为2 B．若直线与双曲线相交于点，，则直线，，，的斜率之积为定值 C．仅存在两个的值，使得直线与双曲线仅有一个交点 D．设直线与轴的交点为，则△的面积小于 三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12.若直线l的斜率为k，倾斜角为，而则k的取值范围是　　 ． 13．已知随机变量有三个不同的取值，分别是0，1，，其中，又，，则随机变量的方差的最小值为　　 ． 14．对于函数，，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则，称为亲密函数．若，互为亲密函数，则实数的取值范围是　　 ． 四、解答题:(本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15．(本小题满分13分) 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数． 16．(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱中，、分别为，的中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 17． (本小题满分15分) “村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、． （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分．设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望． 18．(本小题满分17分) 已知椭圆的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于，两点，△的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）过作轴的垂线交椭圆于点． ①试讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． ②求△面积的最大值． 19．(本小题满分17分) 已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合，． （1）设，求集合； （2）设，集合，，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； （3）设，，若对任意，且，都有，求实数的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $