安徽合肥市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025i“2026§^C正Tw.°一，71 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上， 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的、 1.集合A={xlx<5且x∈N|的元素的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 2.在等差数列|an}中，a1=2,a3±8，则ag= A.20 B.21 C.22 D.23 3.已知a,beR,则“a2>b2”是“a3>b3"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4在+ 6 的展开式中，x的系数为 A.15 B.18 Q.20 D.30 rx,x≤a, 5.已知a>0,若函数f(x)= 的值域为[0，+co),则a的最小值为 [In x,x>a A. B.1 C.2 D.e e 6.已知f(x)是定义在R上的偶函数f(x+1)是奇函数，八-2)=1，则f(10)= A.-2 B.-1 C.1 D.2 数学第1页（共4页） 7.已知正项等比数列|a.|满足a1+a,=36,a1a6=128,记Tn为|an|的前n项积，若对任意的 n∈N·,都有Tn≤T,则k= A.7 B.8 C.9 D.10 &.已知函数)=总8(x)=e+2,若直线y=c+6与曲线y=八)和y=8()都相切，则 b= A.0 B.1 C.2 D.e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知a>b>0,c<0,则 A.ac<bc B.a>b C.a2-ab>O D.c2-ac>0 10.已知公差不为0的等差数列{an|的首项a1=3,且a1,a3,a,成等比数列，|bn|是公比为2 的等比数列，且b,=a,则下列说法正确的是 A.a=2n+1 B.数列{an·bn|的前n项和为3(n-1)·2m+1+9 C.对任意的neN',都有bn≥a。 D.存在k∈N·,使得ak+bk=1566 11.已知函数f(x)=x(x-a)(e-e),则下列说法正确的是 A.(x)至少有2个零点 B.若a=1,则f(x)≥0的解集为[0，+o) C.3ae(0,1),使得f(x)在(1，+∞)上有极值点 D.Vae（-o,0),f(x)在(-o,1)上恒有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12不等式：子>0的解集为 13.用数字0,1,2,3,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为 数学第2页（共4页） 14.为对学生进行安全教育，某校要调查学生是否闯过红灯，为防止学生有所顾忌而不如实作 答，设计如下调查方案：每名学生均从一个装有2个红球4个黄球的盒子中一次性任取2个 球，至少取到1个红球的学生回答问题一“你是否闯过红灯？”，未取到红球的学生回答问 题二“你出生的月份是否是4的倍数？”.由于两个问题的答案均只有“是“和“否”，且回答 的是哪个问题其他人不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生会如实作答， 已知某校1000名学生参加了该调查，且有300人回答的结果为“是”，则从该校随机选择 1名学生，估计其闯过红灯的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知幂函数f(x)=(m2+m-1)x在(0，+∞)上单调递增 (1)求f(x)的解析式； (2)设a>6>0,试比较f生与@b的大小关系 16.（15分) 为检测一款流感疫苗的效果，随机选了180人进行对比实验，给部分人接种流感疫苗，然 后调查他们所有人在某个流感暴发季内是否患流感，得到如下列联表： 患流感 未患流感 接种流感疫苗 20 70 未接种流感疫苗 60 30 (1)记未接种流感疫苗的人患流感的概率为P,患流感的人未接种流感疫苗的概率为q,求 P,9的估计值； (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析该流感疫苗能否降低流感的患病率， n(ad-bc)2 P(xi>k) 0.01 0.005 0.001 =(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) k 6.635 7.879 10.828 数学第3页（共4页） 17.(15分) 已知正项数列a.的前n项和为34=04了a一号，且a-6,为等比数列 1 (1)求S: (2)求|an|的通项公式； (3)求数列|nan|的前n项和Tn 18.(17分) 为了解某河流的水质情况，从该河流随机采集了16份河水样本，假设其中只有2份重金 属超标（简称“超标”） (1)从这16份水样中随机抽取2份，求其中至少有1份超标的概率， (2)为了高效检测水质，将这16份水样随机分成4组，每组4份，先将同组的4份水样各 抽取一部分混合到一起进行1次检测，如果检测结果为合格，说明该组的4份水样均 不超标，该组检测结束，如果检测结果为不合格，说明该组的4份水样中有超标的，此 时需对该组的每份水样再进行1次检测，得到每份水样的检测结果，该组检测结束， (1)求2份超标水样分在同一组的概率； （ⅱ)设4组水样均检测结束所需的检测次数为X,求X的分布列与数学期望E(X)· 19.(17分) 已知函数fu)=2-血荒meR,且m0, (1)若直线x+y=2与曲线y=f(x)相切，求m的值； (2)讨论f(x)的单调性； (3)当m=1时，设x,≠x2,且f(x)=f(x2)=b,证明：lx1-x2|<e2+1-2b. 附：当x>0且x-0时，xlnx-+0. 数学第4页（共4页）2 高二7月数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.答案A 命题透析本题考查集合与元素的概念. 解析因为 A={x|x<5\right. 且 x∈N|={0，1，2，3，4}， ，所以A有5个元素. 2.答案D 命题透析本题考查等差数列基本量的计算. 解析设公差为d，则 $$d = \frac { a _ { 3 } - a _ { 1 } } { 2 } = \frac { 8 - 2 } { 2 } = 3 ，$$ 所以 $$a _ { 8 } = a _ { 1 } + 7 d = 2 + 7 \times 3 = 2 3 .$$ 3.答案D 命题透析本题考查充分、必要条件的判断. 解析 $$a ^ { 2 } > b ^ { 2 }$$ 等价于 $$| a | > | b | ， a ^ { 3 } > b ^ { 3 }$$ 等价于 a>b. 由 |a|>|b| 不一定能推出a>b，比如 a=- 2， b=1 满足 |a|> 1b1，但不满足 >b；由 a>b 也不一定能推出 |a|>|b|， ，比如 a=1，b=-2 满足a>b，但不满足 |a|>|b|. .所以 $$“ a ^ { 2 } > b ^ { 2 }$$ ”是“ $$“ a ^ { 3 } > b ”$$ 的既不充分也不必要条件. 4.答案C 命题透析本题考查二项式定理的应用. 解析 的通项为 $$T _ { k + 1 } = C _ { 6 } ^ { t } \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 6 - k } \left( \frac { 1 } { x } \right) ^ { t } = C _ { 6 } ^ { t } x ^ { 1 2 - 3 k }$$ ，令12-3k =3， 得k=3，所以 $$x ^ { 3 }$$ 的系数为 $$C _ { 6 } ^ { 3 } = 2 0 .$$ 5.答案B 命题透析本题考查分段函数及函数的最值. 解析作出 f(x) 的图象如图所示，结合图象可知 a 的值最小为1. y x 6.答案C 命题透析本题考查函数的周期性、奇偶性. 1 解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以 f(-x)=f(x). .因为f(x+1)是奇函数，所以 f(-x+1)=-f(x+ 1)，即 f(x+1)=-f(-x+1)， 则 f(x)=-f(-x+2)=-f(x-2)， ，则 f(x)=f(x+4)， ，所以f(x)是周期为4的 周期函数，则 f(10)=f(2×4+2)=f(2)=f(-2)=1. 7.答案 D 命题透析本题考查等比数列的性质. 解析设 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 的公比为 q. 由等比数列的性质，可知 $$a _ { 2 } a _ { 7 } = a _ { 3 } a _ { 6 } = 1 2 8 ，$$ ，结合 $$a _ { 2 } + a _ { 7 } = 3 6 ，$$ ，可知 $$a _ { 2 } ， a _ { 7 }$$ 是方程 $$x ^ { 2 } -$$ 36x+128=0 的两根，解得两根为4和32，根据题意， $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ }的前 n 项积 $$T _ { n }$$ ，存在最大值，则 $$a _ { n }$$ 一定是从大于1递 减 到小于1，于是 $$a _ { 2 } = 3 2 ， a _ { 7 } = 4 ，$$ ，则 $$q ^ { 5 } = \frac { a _ { 7 } } { a _ { 2 } } = \frac { 1 } { 8 }$$ $$\frac { 1 } { 3 } ， 且 1$$ $$q = \left( \frac { 1 } { 8 } \right) ^ { \frac { 1 } { 5 } } = 2 ^ { - \frac { 3 } { 5 } } ，$$ ，所以 $$a _ { n } = a _ { 2 } q ^ { n - 2 } = 3 2 \cdot { 2 ^ { - \frac { 3 } { 5 } } \left( n - 2 \right) } ，$$ ，由不等 式3 $$3 2 \cdot { 2 ^ { - \frac { 3 } { 5 } } \left( n - 2 \right) } \ge 1 \Rightarrow 1 - 5 - \frac { 3 \left( n - 2 \right) } { 5 } \ge 0 \Rightarrow n \le \frac { 3 1 } { 3 } \approx 1 0 . 3 3 ，$$ ，因此当n $$a _ { 1 0 } > 1 ，$$ ，当 n=11 时， $$a _ { 1 1 } < 1 ，$$ 故 $$T _ { 1 0 }$$ 最 大，即 k=10. 8.答案 B 命题透析本题考查导数的几何意义. 解析f $$f ' \left( x \right) = \frac { 1 - x } { e ^ { x } } ， g ' \left( x \right) = e ^ { x } \left( 1 + x \right)$$ )=e'(1+x)，设直线 y=kx+b 与f(x)的图象相切于点 $$\left( x _ { 1 } ， f \left( x _ { 1 } \right) \right) ，$$ ，与g(x)的图象相切 于点 $$\left( x _ { 2 } ， g \left( x _ { 2 } \right) \right) ，$$ 则 $$k = f ' \left( x _ { 1 } \right) = g ' \left( x _ { 2 } \right) ， b = f \left( x _ { 1 } \right) - f ' \left( x _ { 1 } \right) x _ { 1 } = g \left( x _ { 2 } \right) - g ' \left( x _ { 2 } \right) x _ { 2 } ，$$ $$\frac { 1 - x _ { 1 } } { e ^ { x } } = e ^ { x } \left( 1 + x _ { 2 } \right) \left( 0 ， \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { e ^ { x } } \right) =$$ $$2 - x _ { 2 } ^ { 2 } e ^ { x _ { 2 } } \textcircled 2 .$$ .注意到 $$x _ { 1 } = - x _ { 2 }$$ 满足①式，将 $$x _ { 1 } = - x _ { 2 }$$ 代入②式中，可得 $$\frac { \left( - x _ { 2 } \right) ^ { 2 } } { e ^ { - x _ { 2 } } } + x _ { 2 } ^ { 2 } e ^ { f _ { 2 } } = 2 ， x _ { 2 } ^ { 2 } e ^ { x } + x _ { 2 } ^ { 2 } e ^ { 2 } = 2 ，$$ ，即 $$x _ { 2 } ^ { 2 } e ^ { x _ { 2 } } = 1 ，$$ 所以 $$b = 2 - x _ { 2 } ^ { 2 } e ^ { x _ { 2 } } = 2 - 1 = 1 .$$ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案A CD 命题透析本题考查不等式的性质 解析对于A，因为 a>b>0，c<0， ，所以 ac <be，故A正确； 对于B，不妨取 a=2，b=1，c=-1， ，则a°= $$a ^ { c } = 2 ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 } ， b ^ { e } = 1 ^ { - 1 } = 1 ， a ^ { c } < b ^ { c } ，$$ 故B错误； 对于C，因为 a>b>0， ，所以 a-b>0， ，所以 $$a ^ { 2 } - a b = a \left( a - b \right) > 0 ，$$ 故C正确； 对于D，因为 a>0，c<0， ，所以 c-a<0， ，所以 $$c ^ { 2 } - a c = c \left( c - a \right) > 0 ，$$ ，故D正确. 10.答案 CD 命题透析本题考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和. 解析对于A，设 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 的公差为 d(d≠0) ，因为 $$a _ { 1 } ， a _ { 3 } ， a _ { 9 }$$ 成等比数列，所以 $$a _ { 3 } ^ { 2 } = a _ { 1 } a _ { 9 } ，$$ 得 $$\left( 3 + 2 d \right) ^ { 2 } = 3 \left( 3 + 8 d \right) ，$$ 解得 d=3(d=0 舍去)，则 $$a _ { n } = 3 n ，$$ ，故A错误； 对于B，等比数列 $$\left\{ b _ { n } \right\}$$ 的公比为 $$2 ， b _ { 1 } = 3 ，$$ 则 $$b _ { n } = 3 \cdot { 2 ^ { n - 1 } } ， a _ { n } b _ { n } = 9 n \cdot { 2 ^ { n - 1 } } ，$$ ，所以 $$a _ { 1 } b _ { 1 } = 9 ， a _ { 2 } b _ { 2 } = 3 6 ， a _ { 1 } b _ { 1 } +$$ 一2 2 $$a _ { 2 } b _ { 2 } = 4 5 ，$$ 经检验，当n=2时， $$， 3 \left( n - 1 \right) \cdot { 2 ^ { n + 1 } } + 9 = 3 3 e 4 5 ，$$ ，故B错误； 对于 $$C ， b _ { 1 } = a _ { 1 } = 3 ， b _ { 2 } = a _ { 2 } = 6 ，$$ 当 n≥3 时， $$， 2 ^ { n - 1 } > n \Rightarrow b _ { n } > a _ { n } ，$$ ，故C正确； 对于D，方程 $$a _ { k } + b _ { k } = 3 k + 3 \cdot { 2 ^ { k - 1 } } = 1 5 6 6 ，$$ 即 $$k + 2 ^ { k - 1 } = 5 2 2 ，$$ ，解得k=10，故D正确 11.答案ABD 命题透析本题考查利用导数研究函数的性质. 解析对于A，令 f(x)=0， ，即 $$x \left( x - a \right) \left( e ^ { x } - e \right) = 0 ，$$ 解得三个可能的根； ：x=0， ，或 x-a=0⇒x=a， 或 $$e ^ { x } - e = 0 \Rightarrow$$ x=1，若 a≠0 且 a≠1， ，则零点为0，1，a，若 a=0 或 a=1， ，则零点为0，1，所以f(x)的零点个数至少是2，故 A正确； 对于B，当 a=1 1时， $$f \left( x \right) = x \left( x - 1 \right) \left( e ^ { x } - e \right) ，$$ ，对于不等式 $$x \left( x - 1 \right) \left( e ^ { x } - e \right) \ge 0 ，$$ 当 x<0 时， $$， x - 1 < 0 ， e ^ { x } < e ^ { 0 } =$$ $$1 < e \Rightarrow e ^ { x } - e < 0 ，$$ 此时 f(x)<0， 不满足，当 0≤x≤1 1时， $$， x - 1 \le 0 ， e ^ { x } \le { e ^ { 1 } } = e \Rightarrow e ^ { x } - e \le 0 ， f \left( x \right) \ge 0 ，$$ ，满足，当x>1 时， $$， x - 1 > 0 ， e ^ { x } > e \Rightarrow e ^ { x } - e > 0 ， f \left( x \right) > 0 ，$$ ，满足，综上，不等式的解集为 [0，1]∪(1，+∞)=[0，+∞)， 故B 正确； 对于 $$C . f ' \left( x \right) = \left( 2 x - a \right) \left( e ^ { x } - e \right) + x \left( x - a \right) e ^ { x } ，$$ ，若 0<a<1， ，当 x>1 时， $$， x - a > 0 ， 2 x - a > 0 ， e ^ { x } - e > 0 ，$$ 所以 f'(x)>0 恒成立， f(x) 在 (1，+∞) 上单调递增，无极值点，故C错误； 对于D，当 a<0 时， f(x) 有3个零点0，a，1，且 a<0<1， ，易知f( x) )在 (-∞，a) 和(0，1)上为负，在(a，0)和 (1，+∞) 上 为正，作出其大致图象如图，可知 f(x) 在 (-∞，1) )上有最大值，故D正确. y $$\sqrt a$$ 0 1 x 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.答案 (2，+∞) 命题透析本题考查不等式的解法. 解析 等式可得 x+1≠0， $$\frac { x ^ { 2 } - x - 2 } { x + 1 } = \frac { \left( x - 2 \right) \left( x + 1 \right) } { x + 1 } = x - 2 > 0 ，$$ 所以 x>2. 13.答案42 命题透析本题考查计数原理 解析分两种情况，末位为 0： ：前三位从1，2，3，5中选3个排列，有 $$A _ { 4 } ^ { 3 } = 2 4$$ 个；末位为2：首位从1，3，5中选，有 3种选择，中间两位从剩余3个数字(含0)中选2个排列，有 $$3 \times A _ { 3 } ^ { 2 } = 1 8$$ 个，总数为24+18=42 14.答案 $$\frac { 1 } { 3 }$$ 命题透析本题考查条件概率与全概率公式的应用. 一3 解析设所求概率为P,事件A:回答问题一，事件B:回答的结果为“是“.由题可知P()=1-C=3 则Pi=1-PA)=号PBA)=p.PBIi=子所以P代B)=PAP(BIA)+PiP(BIi)=即 p+ 号x品解得p=了 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查幂函数的概念及比较函数值的大小 解析(1)因为f(x)是幂函数，所以m2+m-1=1,解得m=1或m=-2.…（2分) 当m=-2时x)=,此时(x)在(0，+0)上单调递减，不满足题意；…（(4分) 当m=1时，fx)=√，满足f八x)在(0，+o)上单调递增。 所以f代x）=√元.… (6分) (2）-√>0,00-6>0，…(7分） 2 2 因为(V-(-“+h2画+2画=：6>0. 4 4 4 所以号，匹6，即） (13分) 16.命题透析本题考查频率与概率，独立性检验的应用. 解析(1)由列联表可知，未接种流感疫苗的人数为90，其中患流感的人数为60， 所以p的估计值为号-子 (3分) 患流感的人数为80，其中未接种流感疫苗的人数为60， 所以？的估计值为9子 (6分) (2)零假设为H。:该流感疫苗不能降低流感的患病率。…（7分) 根据列联表中的数据，得X=180×(30x2060×70)'=36, 90×90×80×100 (12分) 因为36>10.828，所以根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为该流感疫苗可以降低流感的患病率。… …(15分) 17.命题透析本题考查数列的基本运算、数列的递推关系、数列求和的方法， 元(1)依题意，得a-40则0，-子，专-成等比数列，一 (1分) (3分) 7 则S,=a1+a+a=10 …（4分)） (2)由(1)可知， $$\left\{ a _ { n + 1 } - a _ { n } \right\}$$ 是以 $$\frac { 1 } { 1 0 }$$ 为首项，2为公比的等比数列， 则a+1- ..............................................................................................(5分) 则 $$a _ { n + 1 } - \frac { 1 } { 5 } \cdot { 2 ^ { n - 1 } } = a _ { n } - \frac { 1 } { 5 } \cdot { 2 ^ { n - 2 } } ，$$ $$， 且 f _ { 1 }$$ $$\left\{ a _ { n } - \frac { 1 } { 5 } \cdot { 2 ^ { n - 2 } } \right\}$$ 是常数列. …............................................(7分) 因为 $$a _ { 1 } = \frac { 1 } { 1 0 }$$ ，故 $$a _ { 1 } - \frac { 1 } { 5 } \cdot { 2 ^ { - 1 } } = 0 ，$$ 故 $$a _ { n } - \frac { 1 } { 5 } \cdot { 2 ^ { n - 2 } } = 0 ，$$ 即a $$a _ { n } = \frac { 2 ^ { n - 2 } } { 5 } .$$ ..........................................................................................................(9分) )依题意，得 $$n a _ { n } = \frac { n \cdot { 2 ^ { n - 2 } } } { 5 } ，$$ 则 $$T _ { n } = \frac { 1 \cdot { 2 ^ { - 1 } + 2 \cdot { 2 ^ { - 1 } } + 3 \cdot { 2 ^ { - 1 } } + \cdot { 2 ^ { n - 2 } } } { 5 } ，$$ $$2 T _ { n } = \frac { 1 \cdot { 2 ^ { 0 } } + 2 \cdot { 2 ^ { 1 } } + 3 \cdot { 2 ^ { 2 } } + \cdots + n ^ { n - 1 } } { 5 } ，$$ .... .................................................................(11分) 两式相减，得 $$- T _ { n } = \frac { 2 ^ { - 1 } + 2 ^ { 0 } + 2 ^ { 1 } + \cdots + 2 ^ { n - 2 } - n \cdot { 2 ^ { n - 1 } } } { 5 } = \frac { \left( 1 - n \right) \cdot { 2 ^ { n - 1 } } } { 5 } - \frac { 1 } { 1 0 } ，$$ ，..................(14分) 所以 以 $$T _ { n } = \frac { 1 } { 1 0 } + \frac { \left( n - 1 \right) \cdot { 2 ^ { n - 1 } } } { 5 }$$ $$\frac { - 1 } { 7 } .$$ .............................................................. (15分 18.命题透析本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望. 解析 (1)设“至少有1份水样超标”为事件M，则P(M)=1-P( $$P \left( M \right) = 1 - P \left( \overline { M } \right) = 1 - \frac { C _ { 1 4 } ^ { 2 } } { C _ { 1 6 } ^ { 2 } } = \frac { 2 9 } { 1 2 0 } .$$ ...........( (2)(i)方法一：记其中2份超标水样分别为A和B. 当A分到某一组时，其余15份水样需要随机分配到剩余15个空位中，水样B分配到每个空位的概率相等，而 A同组中还剩3个空位，所以A，B同组的概率为 ................................................(10分) 方法二：设4组编号为1~4. 16份水样分成4组，所有的分配方式有 $$C _ { 1 6 } ^ { 4 } C _ { 1 2 } ^ { 4 } C _ { 8 } ^ { 4 } C _ { 4 } ^ { 4 }$$ 种； 2份超标水样分配到同一组的分配方式有 $$C _ { 4 } ^ { 1 } C _ { 1 4 } ^ { 2 } C _ { 1 2 } ^ { 4 } C _ { 8 } ^ { 4 } C _ { 4 } ^ { 4 }$$ 种. 故2份超标水样分配到同一组的概率为 $$\frac { C _ { 4 } ^ { 1 } C _ { 1 4 } ^ { 2 } } { C _ { 1 6 } ^ { 4 } } = \frac { 1 } { 5 }$$ ....................................................(10分) (ii)若2份超标水样在同一组，该组检测结果为不合格，需要进行 1 +4=5次检测，其余3组检测结果均为合 格，每组只需进行1次检测，此时检测的总次数为5+3=8. 若2份超标水样在不同组，有2组检测结果为不合格(每组检测1+4=5次)，2组检测结果为合格(每组检测 1次)，此时检测总次数为5x2+2=12. 一5 所以X的所有可能取值为8，12. …... .........(12分) 由(i)知 $$P \left( X = 8 \right) = \frac { 1 } { 5 } ，$$ ，则 $$P \left( X = 1 2 \right) = 1 - \frac { 1 } { 5 } = \frac { 4 } { 5 } .$$ X的分布列为 X 8 12 $$\frac { 1 } { 5 }$$ $$\frac { 4 } { 5 }$$ ........ ........................................................................................................(15分) $$E \left( X \right) = 8 \times \frac { 1 } { 5 } + 1 2 \times \frac { 4 } { 5 } = \frac { 8 + 4 8 } { 5 } = \frac { 5 6 } { 5 } .$$ .........................................................................(17分) 19.命题透析本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的性质. 解析 $$\left( 1 \right) f ' \left( x \right) = 2 - \ln \frac { x } { m } - x \cdot \frac { 1 } { x } = 1 - \ln \frac { x } { m } ，$$ .......................(1分) 直线x+y =2 的斜率为 -1， ，令 $$1 - \ln \frac { x } { m } = - 1 ，$$ 得 $$x = m e ^ { 2 } ，$$ 又 $$f \left( m e ^ { 2 } \right) = 0 ，$$ ，所以切点为 $$\left( m e ^ { 2 } ， 0 \right) ，$$ ..............................................................................(2分) 所以 $$m e ^ { 2 } + 0 = 2 ，$$ 得 $$m = \frac { 2 } { e ^ { 2 } } .$$ ........................................................................................(3分) (2)若 m>0， ，则f(x)的定义域为 (0，+∞)， ，令 f'(x)=0， ，得 x=m 当 x∈(0，me) 时， f'(x)>0， 当 x∈(me，+∞) 时 f'(x)<0， 所以f( \left.x) 在(0，me)上单调递增，在 (me，+∞) 上单调递减.….................................................(5分) 若 m<0， ，则f(x)的定义域为 (-∞，0)， 令 f'(x)=0， ，得 x=me， 当 x∈(-∞，me) 时， f'(x)<0， 当 x∈(me，0) 时， f'(x)>0， 所以f( 在 (-∞，me) 上单调递减，在(me，0 上单调递增.…............................................(7分) (3)当 m=1 时， f(x)=2x-xlnx. 由(2)知f(x)在(0，e)上单调递增，在 (e，+∞) )上单调递减，所以f(x)的最大值为 f(e)=e， ，当x> 且x→0 时， f(x)>0 且 f(x)→0， 当 x→+∞ 时 f(x) 因为 $$f \left( x _ { 1 } \right) = f \left( x _ { 2 } \right) = b ，$$ ，所以 0<b<e， ，不妨设 $$x _ { 1 } < e < x _ { 2 } .$$ .........................................................(9分) 设 P(x)=f(x)+x=3x-xlnx， 则 P'(x)=2-lnx， 可得 (x)在 $$\left( 0 ， e ^ { 2 } \right)$$ 上单调递增，在 $$\left( e ^ { 2 } ， + \infty \right)$$ 上单调递减，最大值为 $$P \left( e ^ { 2 } \right) = e ^ { 2 } .$$ .........................(12分) 设 Q(x)=f(x)-x=x-xlnx， ，则 Q'(x)=-lnx， 故 Q( (x)在(0，1)上单调递增，在 (1，+∞) 上单调递减，最大值为 Q(1)=1. .............................(15分) 因此 $$P \left( x _ { 2 } \right) + Q \left( x _ { 1 } \right) = \left[ f \left( x _ { 2 } \right) + x _ { 2 } \right] + \left[ f \left( x _ { 1 } \right) - x _ { 1 } \right] = 2 b + \left( x _ { 2 } - x _ { 1 } \right) ，$$ 注意到 $$f \left( e ^ { 2 } \right) = 0 ，$$ 所以 $$e < x _ { 2 } < e ^ { 2 } ，$$ 有 $$P \left( x _ { 2 } \right) < e ^ { 2 } ， Q \left( x _ { 1 } \right) \le 1 ，$$ 故 $$2 b + \left( x _ { 2 } - x _ { 1 } \right) < e ^ { 2 } + 1 ，$$ 即 $$| x _ { 1 } - x _ { 2 } | = x _ { 2 } - x _ { 1 } < e ^ { 2 } + 1 - 2 b ，$$ ，证毕............................................................................. (17分)