精品解析：天津市天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高一下学期期末检测数学试题

天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高一下学期期末检测 数学试题 一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i虚数单位，则复数（ ） A. -1 B. i C. D. 1 2. 已知向量，，若，则（ ） A B. C. D. 3. 在某次测量中得到的A样本数据如下：22，23，25，26，31，30；若B样本数据恰好是A样本中每个数据都减去10后所得的数据，则A，B两样本的下列数字特征相同的是（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 4. 已知是边长为的正三角形，那么平面直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 把红、蓝、黑、白张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁个人，每人分得张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（    ） A. 对立 B. 相等 C. 相互独立 D. 互斥但不对立 6. 在中，角所对的边分别为，若，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.9 8. 已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 9. 如图，在正方体中，P是的中点，则异面直线与CP所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知非零向量，满足，向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 11. 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑，平面，，，分别在棱，上，且，.若，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 12. 已知非零向量与满足，且，，点是边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______． 14. 如图，在正方体中，直线与平面所成的角等于____． 15. 如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是_________________ 16. 一名信息员维护甲、乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.2和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为_______． 17. 已知复数z的模为2，则的最大值为____________． 18. 如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米. 三、解答题：本题共4小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数. （1）求的值： （2）复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 20. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图． 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 （1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和分位数； （2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数； （3）从一周课外阅读时间为样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人． ①用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； ②设事件为“恰好抽到一男生一女生”，写出事件的集合表示形式，并求事件的概率． （注：以各组的区间中点值代表该组的各个值） 21. 如图，在四棱锥中底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，为的中点． 求证：（1）平面； （2）平面平面. 22. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求； （2）若，，，求的面积； （3）若N是平分线与的交点，且，则求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高一下学期期末检测 数学试题 一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位，则复数（ ） A. -1 B. i C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算即可求解. 【详解】. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线定理，就可以求出x的值，然后用模长公式求模长. 【详解】因为，所以，即 所以，所以 所以， 故选：B. 3. 在某次测量中得到的A样本数据如下：22，23，25，26，31，30；若B样本数据恰好是A样本中每个数据都减去10后所得的数据，则A，B两样本的下列数字特征相同的是（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 【答案】A 【解析】 【分析】 由方差的定义，即可得到本题答案. 【详解】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变. 故选A. 【点睛】本题主要考查方差定义的应用，属基础题. 4. 已知是边长为的正三角形，那么平面直观图的面积为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出的直观图进行求解. 【详解】如图，平面直观图， 由题意可知，则， 过作于，则， 所以的面积为. 故选：D 5. 把红、蓝、黑、白张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁个人，每人分得张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”（    ） A. 对立 B. 相等 C. 相互独立 D. 互斥但不对立 【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件和对立事件的特征易判断得出结论. 【详解】因纸牌只有红、蓝、黑、白张，分给甲、乙、丙、丁个人，每人一张， 则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”在一次分法中不可能同时发生，故两事件互斥； 同时在一次分法中除了这两个事件，还有“丙分得红牌”，“丁分得红牌”这些可能事件， 故这两个事件不是对立事件. 故选：D. 6. 在中，角所对的边分别为，若，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，化简可得答案. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 所以为直角三角形. 故选：A. 7. 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件得到，根据互斥事件得到，计算得到答案. 【详解】因为事件与事件互为对立，所以， 因为事件与事件互斥，则， 故选：B 8. 已知三个不同平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间线面的位置关系逐个判断即可. 【详解】因为，，所以，A正确； 若，，则或，B不正确； 因为，，，所以， 因为，，，根据线面平行的性质定理，所以，又，所以，C正确； 因为，，所以，D正确. 故选：B 9. 如图，在正方体中，P是的中点，则异面直线与CP所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取AB的中点Q，则或其补角是异面直线与CP所成角，设，由余弦定理可得答案. 【详解】如图，取AB的中点Q，连接PQ，CQ，因为， 所以四边形是平行四边形，则， 所以或其补角是异面直线与CP所成角， 设，则， 在中，由余弦定理得. 故选：A. 10. 已知非零向量，满足，向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合在方向上的投影向量的形式可求两者的数量积，故可求. 【详解】在方向上的投影向量为，故， 故，而，故， 故， 故选：A. 11. 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑，平面，，，分别在棱，上，且，.若，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得平面，即可得到，从而得到平面，又外接圆的直径即可直角三角形的斜边，即可得到即为三棱锥外接球的直径，从而求出外接球的体积. 【详解】因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 平面，所以，又，，平面， 所以平面， 又，所以外接圆的直径即可直角三角形的斜边， 又平面， ，所以即为三棱锥外接球的直径， 所以三棱锥外接球的半径， 所以外接球的体积. 故选：C 12. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴. 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，则由题意可得，求出，从而可求出侧面积，进而可求得其表面积 【详解】设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形， 所以，解得， 所以圆锥的表面积为， 故答案为： 14. 如图，在正方体中，直线与平面所成的角等于____． 【答案】 【解析】 【详解】正方体中，连接交于点M，连接， 由题可得：，, 所以直线平面, 所以直线与平面所成的角等于, 设正方体的边长为， 所以，， 所以, 所以 【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可． 15. 如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是_________________ 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接、，证明出，，可得出二面角的平面角为，计算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值. 【详解】取的中点，连接、，如下图所示： ，为的中点，则，且，，， 因为，为的中点，可得，又因为所以， 则二面角的平面角为， 由余弦定理得， 因此，二面角的余弦值为. 故答案为：. 16. 一名信息员维护甲、乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.2和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率计算公式和对立事件概率计算公式直接求解． 【详解】一名信息员维护甲乙两公司的5G网络， 一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立， 它们需要维护的概率分别为0.2和0.3， 至少有一个公司不需要维护的概率为： ． 故答案为：． 17. 已知复数z的模为2，则的最大值为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用复数模的几何意义，求出的最大值. 【详解】复数z的模为2，表示复数在复平面内对应的点到原点的距离为2， 则点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 而是圆上的点到点的距离， 所以. 故答案为：3 18. 如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米. 【答案】90 【解析】 分析】中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】中，，，则， 由图可知，， 则， 中，由正弦定理，得， 中，（米）， 故答案为：90. 三、解答题：本题共4小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数. （1）求的值： （2）复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，则，由为纯虚数可得； （2），根据其在复平面对应的点在第一象限可得，进而可得. 【小问1详解】 由题意可知，， 故， 由题意，得. 【小问2详解】 由（1）可得， ， 由题意可得得，故实数的取值范围为. 20. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图． 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 （1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和分位数； （2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数； （3）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人． ①用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； ②设事件为“恰好抽到一男生一女生”，写出事件的集合表示形式，并求事件的概率． （注：以各组区间中点值代表该组的各个值） 【答案】（1）众数是3；75%分位数为 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图，结合众数、百分位数的求法计算即可； (2)根据频数分布表直接求出男生一周课外阅读时间平均数，根据频率分布直方图，结合平均数的求法求出女生一周课外阅读时间的平均数，即可求出总样本的平均数； (3)根据频数分布表与频率分布直方图求出一周课外阅读时间为的男生与女生人数，结合古典概型的概率公式计算即可. 【小问1详解】 由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3， 由可知，75%分位数位于4到6之间， 设女生一周阅读时间的75%分位数为，， 解得； 【小问2详解】 由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数 由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数 所以估计总样本的平均数 【小问3详解】 由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人， 女生有（人） 若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为， 女生有5人，记为，，，，， 则样本空间， 共有15个样本点. 记事件 “恰好一男一女”，则 故所求概率. 21. 如图，在四棱锥中底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，为的中点． 求证：（1）平面； （2）平面平面. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，可知点为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可得出平面； （2）利用面面垂直的性质定理推出平面，可得出，再由等腰三角形三线合一的性质得出，再利用线面垂直的判定定理得出平面，再由面面垂直的判定定理可得出结论. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 四边形为正方形，是的中点， 又为的中点，， 又平面，平面，平面； （2）底面为正方形，． 平面平面，且平面平面，平面， 平面，平面，， 又是正三角形，为的中点，， ，平面． 平面，平面平面． 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了面面垂直的证明，考查了面面垂直性质定理的应用，考查推理能力，属于中等题. 22. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求； （2）若，，，求的面积； （3）若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由得，利用正弦定理和两角和的正弦公式即可求解； （2）由得，利用向量求，最后由三角形的面积公式即可求解； （3）由已知有得，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由由正弦定理有 ， ∵，，∴，整理得. 又∵，，，∴. 【小问2详解】 由 ∵，，，即 ∴， 解得（舍）或. ∴； 【小问3详解】 由已知有： ， 得，整理得 当且仅当时取到最小值，即取等号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $