2027届高考数学一轮复习求离心率（取值范围）

**基本信息** 聚焦椭圆离心率取值范围，通过焦点三角形、向量运算等多样化题型，系统整合椭圆定义与几何性质，强化推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆离心率取值范围|9题|涵盖焦点三角形角度关系、向量垂直、直线与椭圆相交、存在性问题等|以椭圆定义和a,b,c关系为基础，通过几何性质分析与代数运算推导离心率，形成从概念生成到应用拓展的逻辑链条|

离心率（取值范围） 参考答案与试题解析 1．已知P是椭圆（a＞b＞0）上一点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，且，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意设P（x，y），A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1）， 所以，并且，可得， 因为，所以，所以c＝a，所以椭圆的离心率为：． 故选：A． 2．已知F1，F2分别是椭圆+＝1的左、右焦点，P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2＝2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（　　） A．﹣1 B．2﹣ C． D． 【解答】解：∵P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点， ∴△PF1F2为直角三角形，且∠P＝90°，∵∠PF1F2＝2∠PF2F1， ∴∠PF1F2＝60°，F1F2＝2c，∴PF1＝c，PF2＝c， 由椭圆的定义知，PF1+PF2＝c+c＝2a，即＝＝﹣1 ∴离心率为﹣1．故选：A． 3．已知椭圆的右焦点为F，过F点作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，若＝0，则椭圆的离心率等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设椭圆的右焦点坐标为（c，0），不妨设点A在第一象限， 则由题意可得点A的坐标为（c，）， 又，则OA⊥0B，所以三角形OAB为等腰直角三角形， 所以c＝，即e2+e﹣1＝0，解得e＝或（舍去），故选：A． 4．已知椭圆的左右焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为 　　 ． 【解答】解：如图所示，∵，∴|PF2|＝2c，|PF1|＝2a﹣2c． ∵，∴|PF1|＝|QF1|，∴|QF1|＝， ∴|QF2|＝2a﹣＝．在等腰△PF1F2中，可得cos∠PF1F2＝＝．在△QF1F2中，由余弦定理可得：cos∠QF1F2＝＝， ∵cos∠PF1F2+cos∠QF1F2＝0，∴＝0，整理得7e2﹣12e+5＝0，又0＜e＜1， 解得e＝．故答案为：． 5．已知椭圆，过右焦点F斜率为的直线与椭圆C交于A、B两点，若，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图所示：过点A作AD垂直于右准线，垂足为D；过点B作BC垂直于右准线，垂足为C； 过点B作BE垂直于AD，垂足为E．因为 ，可设 ＝3m，＝m，故|AB|＝4m． 由椭圆的第二定义可得|AD|＝，|BC|＝，|AE|＝|AD|﹣|ED|＝|AD|﹣|BC|＝． 由于直线AB的斜率等于，∴tan∠BAE＝，∴cos∠BAE＝． 直角三角形ABE中，cos∠BAE＝＝＝＝，解得离心率e＝， 故选：D． 6．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0）．若椭圆上存在点P使＝，求该椭圆的离心率的取值范围． 【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理知＝， ∵＝，∴＝＝，即|PF1|＝e|PF2|．① 又∵P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|＝2a，将①代入得|PF2|＝∈（a﹣c，a+c），同除以a得，1﹣e＜＜1+e，得﹣1＜e＜1． 7．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若椭圆C上存在一点M，使得|F1F2|是|MF1|与|MF2|的等比中项，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C．[，1） D． 【解答】解：设椭圆C上存在一点M（m，n），由椭圆的第二定义，可得：|MF1|＝a+em，|MF2|＝a﹣em， |F1F2|是|MF1|与|MF2|的等比中项，可得|F1F2|2＝|MF1||MF2|， 即4c2＝（a+em）（a﹣em）， 即e2m2＝a2﹣4c2，∵0≤m2≤a2，∴0≤e2m2≤a2e2，0≤a2﹣4c2≤a2e2， 解得， 所以椭圆C的离心率的取值范围为：[，]． 故选：A． 8．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若在椭圆E上存在点M，使得△MF1F2的面积等于2b2sin∠F1MF2，则椭圆E的离心率e的取值范围为　　 ． 【解答】解：由题可得，， 又sin∠F1MF2＞0，所以， 又， 当且仅当|MF1|＝|MF2|＝2b等号成立， 所以，则， 又0＜e＜1，所以椭圆E的离心率e的取值范围为． 故答案为：． 9．椭圆左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），M是椭圆上一动点，则（　　） A．|MF1|﹣|MF2|＝2a B．△MF1F2面积的最大值为a2 C．若，则 D．若椭圆上存在点M，使得∠F1MF2＝120°，则椭圆离心率的取值范围是 【解答】解：由椭圆的定义可知|MF1|+|MF2|＝2a，故A错误； 由椭圆性质可知，当点M为椭圆的上、下顶点时，最大， 此时，故B错误； 由，可得MF1⊥F1F2， 令x＝﹣c，代入椭圆方程解得， 所以，故C正确； 由椭圆性质可知，当点M为椭圆的上、下顶点时，∠F1MF2最大， 则由题意，应使∠F1MF2≥120°， 所以， 即，解得， 所以，故D错误． 故选：C． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/22 17:10:13；用户：李承桃；邮箱：18883709895；学号：29415419 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 离心率（取值范围） 1．已知P是椭圆（a＞b＞0）上一点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，且，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 2．已知F1，F2分别是椭圆+＝1的左、右焦点，P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2＝2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（　　） A．﹣1 B．2﹣ C． D． 3．已知椭圆的右焦点为F，过F点作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，若＝0，则椭圆的离心率等于（　　） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左右焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为 　 　 ． 5．已知椭圆，过右焦点F斜率为的直线与椭圆C交于A、B两点，若，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 6．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0）．若椭圆上存在点P使＝，求该椭圆的离心率的取值范围． 7．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若椭圆C上存在一点M，使得|F1F2|是|MF1|与|MF2|的等比中项，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C．[，1） D． 8． 已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若在椭圆E上存在点M，使得△MF1F2的面积等于2b2sin∠F1MF2，则椭圆E的离心率e的取值范围为　 　 ． 9．椭圆左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），M是椭圆上一动点，则（　　） A．|MF1|﹣|MF2|＝2a B．△MF1F2面积的最大值为a2 C．若，则 D．若椭圆上存在点M，使得∠F1MF2＝120°，则椭圆离心率的取值范围是 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $