精品解析：湖南省永州市新田县2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2026年上期期末质量监测试卷 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．考生作答时，选择题和非选择题均作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本学科试卷共四道大题，26道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 圆周长公式中，下列说法错误的是（ ） A. C、、r是变量，2是常量 B. C、r是变量，是常量 C. r是自变量，C是因变量 D. 当自变量时，因变量 2. 甲、乙、丙、丁四位同学参加学校的中华古诗词知识竞赛，四人竞赛成绩情况如下表，若要从中选择一人参加县级的比赛，应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 95 95 95 95 方差 3 4.3 4 4.6 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 在2026年央视春晚的机器人表演方阵中，舞台被划分为正方形网格．若以舞台中心某点为原点建立平面直角坐标系，已知代表“科技”字样的机器人位于，代表“未来”字样的机器人位于．若代表“强国有我”的机器人位于如图所示位置，则它的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ） A. 八（1）班跳绳次数更集中 B. 跳绳次数最小值出现在八（2）班 C. 两个班级跳绳次数的中位数相等 D. 八（2）班的第三四分位数比八（1）班的第三四分位数大 5. 如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③平分 D. ④ 6. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数的图象不经过第三象限 B. 函数的图象与轴的交点坐标是 C. 函数的图象向下平移个单位长度得的图象 D. 函数值随自变量的增大而减小 7. 如图，在中，，，的平分线交边于点E，则的长是（ ） A. 5 B. 7 C. 3.5 D. 3 8. 已知点都在直线上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和（，为常数）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 正方形的边长为，点是边的三等分点，连接，将沿翻折到正方形所在的平面内得，点的对应点为点，连接，点为边上的一点，且，连接分别交，于点，，点为的中点，连接，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二元一次方程表示的直线与轴的交点坐标是________． 12. 某校规定：学生的平时作业、期中练习、期末考试三项成绩分别按、、的比例计入学期总评成绩，小华的平时作业、期中练习、期末考试的数学成绩依次为分，分，分，小华这学期的数学总评成绩是__________分． 13. 摩托车油箱中有升油，行驶时每小时耗油升，在不加油的情况下，剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系式为______，自变量的取值范围为______． 14. 如图，已知矩形的对角线的长为10cm，顺次连接各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为______cm． 15. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点的坐标是_____． 16. 已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，，其中正确的结论有_________（填序号）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17. 已知一次函数图象过点和. （1）求该一次函数解析式； （2）求当时，函数的值． 18. 如图，将三角形向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度．请回答下列问题： （1）平移后的三个顶点坐标分别为：； （2）画出平移后三角形； 19. 如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 20. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 21. 某学校组织了一次“网络安全知识专题”学习，并进行了一次全校名学生都参加的测试．阅卷后，教务处随机抽取了份答卷进行统计分析，发现这份答卷中考试成绩（单位：分）的最低分为分，最高分为满分分，并绘制了如下尚不完整的统计图表． 成绩段/分 频数 频率 请根据图表信息，解答下列问题． （1）填空：_____，_____，_____； （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）请写出中位数落在的成绩段为_____； （4）请估计全校名学生都参加测试，成绩在分及以上的人数． 22. 甲、乙两个制作团队分别同时制作两类文创产品，制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题． （1）甲团队在开工后6天内，每天制作文创产品 件； （2）当时，求乙团队制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系式； （3）请直接写出时间（天）为何值时，甲，乙两团队制作的文创产品数量相差100件． 23. 如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． （1）求直线的表达式和点的坐标； （2）直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①当时，求点的坐标； ②在①的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上期期末质量监测试卷 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．考生作答时，选择题和非选择题均作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本学科试卷共四道大题，26道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 圆周长公式中，下列说法错误的是（ ） A. C、、r是变量，2是常量 B. C、r是变量，是常量 C. r是自变量，C是因变量 D. 当自变量时，因变量 【答案】A 【解析】 【分析】在变化过程中，数值不变的量是常量，数值改变的量是变量，据此判断选项即可． 【详解】解：根据常量与变量的定义，在圆周长公式中，是固定不变的常数，属于常量，不是变量，2也是常量，和是变化的量，是变量；故A选项的说法是错误的，符合题意； 是固定不变的常量，、可以发生变化是变量，故B选项说法正确，不符合题意； 随的变化而变化，且是自变量，是因变量，故C选项说法正确，不符合题意； 将代入公式，得，故D选项说法正确，不符合题意． 2. 甲、乙、丙、丁四位同学参加学校的中华古诗词知识竞赛，四人竞赛成绩情况如下表，若要从中选择一人参加县级的比赛，应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 95 95 95 95 方差 3 4.3 4 4.6 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】当四位同学平均成绩相同时，选择发挥更稳定的同学参赛，方差越小，成绩波动越小，发挥越稳定，比较方差大小即可得出结论． 【详解】解：四位同学的平均成绩均为，平均成绩相同，又因为方差越小，成绩波动越小，发挥越稳定，且，甲的方差最小，故甲的成绩最稳定，应选甲． 3. 在2026年央视春晚的机器人表演方阵中，舞台被划分为正方形网格．若以舞台中心某点为原点建立平面直角坐标系，已知代表“科技”字样的机器人位于，代表“未来”字样的机器人位于．若代表“强国有我”的机器人位于如图所示位置，则它的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据、建立平面直角坐标系， 则机器人的坐标是 4. 体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ） A. 八（1）班跳绳次数更集中 B. 跳绳次数最小值出现在八（2）班 C. 两个班级跳绳次数的中位数相等 D. 八（2）班的第三四分位数比八（1）班的第三四分位数大 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据箱线图可知八（1）班：最小值，第一四分位数，中位数，第三四分位数，最大值； 八（2）班：最小值，第一四分位数，中位数，第三四分位数，最大值； A选项：数据的离散程度越小越集中，八（1）班的极差为，四分位距为，都大于八（2）班，因此八（2）班跳绳次数更集中，A错误； B选项：最小值为，出现在八（1）班，B错误； C选项：八（1）班中位数为，八（2）班中位数为，不相等，C错误； D选项：八（2）班第三四分位数大于八（1）班的，D正确． 5. 如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③平分 D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是平行四边形，则①处的条件正确，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则②处的条件正确，故此选项不符合题意； C、由角平分线的性质得到，有一组邻边相等的矩形是正方形，则③处的条件正确，故此选项不符合题意； D、菱形的邻边本就相等，则④处的条件错误，故此选项符合题意． 6. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数的图象不经过第三象限 B. 函数的图象与轴的交点坐标是 C. 函数的图象向下平移个单位长度得的图象 D. 函数值随自变量的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：一次函数，，， 函数的图象经过第一、二、四象限， 函数图象不经过第三象限， 故A选项正确； 当时，可得：， 解得：， 函数图象与轴的交点坐标是， 故B选项错误； 把一次函数的图象向下平移个单位长度得的图象， 故C选项正确； ， 函数值随自变量的增大而减小， 故D选项正确． 7. 如图，在中，，，的平分线交边于点E，则的长是（ ） A. 5 B. 7 C. 3.5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可． 【详解】解: ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵的平分线交边于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断三角形中，，难度一般． 8. 已知点都在直线上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式判断y随x的变化趋势，再比较三个点横坐标的大小，即可得到对应y值的大小关系． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∵三个点的横坐标分别为，且， ∴． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和（，为常数）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数中、的正负判断函数图象的趋势以及与轴交点大致位置即可． 【详解】解：本题中，系数决定正比例函数的图象性质，也决定一次函数与轴的交点位置， 当时，正比例函数和一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于轴正半轴，上述选项中均不满足该情况； 当时，正比例函数的图象呈下降趋势，一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于轴负半轴，上述图像中D选项满足该情况； 故满足条件的图象可能是D． 10. 正方形的边长为，点是边的三等分点，连接，将沿翻折到正方形所在的平面内得，点的对应点为点，连接，点为边上的一点，且，连接分别交，于点，，点为的中点，连接，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接与交于点，过点作交于点，根据折叠的性质得出，，推得，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，推得，根据全等三角形的判定和性质得出，，结合直角三角形的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出，，结合三角形内角和定理求得，根据等腰直角三角形的性质推得，根据勾股定理和三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，，求得，根据全等三角形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：连接与交于点，过点作交于点，如图： 根据题意可得，，，， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴，， 故， 又∵， ∴， 即； ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， 则 ∴， ∴， 故是等腰直角三角形， ∴， ∴． 在中，， ∵， 即， 解得：， 即； 在中，， ∴， 则； ∵，，， ∴， ∴， 故的面积为． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二元一次方程表示的直线与轴的交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上所有点的横坐标为，将代入给定二元一次方程求解纵坐标，即可得到直线与轴的交点坐标． 【详解】解：轴上点的横坐标为， 令，将代入方程， 得， 解得， 因此，直线与轴的交点坐标为． 12. 某校规定：学生的平时作业、期中练习、期末考试三项成绩分别按、、的比例计入学期总评成绩，小华的平时作业、期中练习、期末考试的数学成绩依次为分，分，分，小华这学期的数学总评成绩是__________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，数学总评成绩为三项成绩与对应比例的乘积之和． 【详解】解：小华这学期的数学总评成绩为（分）． 13. 摩托车油箱中有升油，行驶时每小时耗油升，在不加油的情况下，剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系式为______，自变量的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用， 根据行驶时每小时耗油升，则行驶小时耗油，剩余油量为，据此列出函数解析式写出自变量取值范围即可，根据题意列出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，在不加油的情况下，剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系式为：，自变量取值范围为：． 故答案为：；． 14. 如图，已知矩形的对角线的长为10cm，顺次连接各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为______cm． 【答案】20 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理易得四边形的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为8，那么就求得了各边长，让各边长相加即可． 【详解】解：∵H、G是与的中点， ∴是的中位线， ∴cm， 同理cm，根据矩形的对角线相等， 连接， 得到：cm， ∴四边形的周长为20cm． 故答案是：20． 【点睛】本题考查了中点四边形．解题时，利用了“三角形中位线等于第三边的一半”的性质． 15. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，菱形的性质，连接，交于点，由菱形的性质得到，由点的坐标可得，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，如图： ∵四边形是菱形， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴点， 故答案为：． 16. 已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，，其中正确的结论有_________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用一次函数的图像与性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数与轴的交点在轴的下方， ，故①正确； ∵一次函数经过第一、二、四象限， ，，故②正确； ∵当时，， ∴关于的方程的解为， 故③正确； ∵当时， 一次函数在一次函数的上方， ∴当时，， 故④错误． 综上所述，其中正确的结论有①②③． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17. 已知一次函数图象过点和. （1）求该一次函数解析式； （2）求当时，函数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数的函数值． （1）根据待定系数法求一次函数的解析式即可． （2）将代入一次函数的解析式，解得的值即可． 【小问1详解】 解：设该一次函数的解析式为，代入点和得， 解得：， ∴该一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，代入一次函数的解析式得：. ∴当时，函数的值为. 18. 如图，将三角形向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度．请回答下列问题： （1）平移后的三个顶点坐标分别为：； （2）画出平移后三角形； 【答案】（1）、、； （2） 【解析】 【分析】（1）将三角形的三个顶点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得平移后的三个顶点，由此即可解答； （2）根据平移的特点，分别找到各点的对应点，顺次连接即可画出平移后三角形． 【小问1详解】 解：由图可知、、， 将三角形向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到三角形， 、、； 【小问2详解】 略 19. 如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先根据直线的解析式求出点A的坐标，再根据三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：令， 解得， ， ， ， ． 20. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，即， ，， 为线段的中点， ， 在与中，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）18． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，即，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据梯形面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， 四边形是矩形， ，， ，， ∴． ， ， 四边形的面积． 21. 某学校组织了一次“网络安全知识专题”学习，并进行了一次全校名学生都参加的测试．阅卷后，教务处随机抽取了份答卷进行统计分析，发现这份答卷中考试成绩（单位：分）的最低分为分，最高分为满分分，并绘制了如下尚不完整的统计图表． 成绩段/分 频数 频率 请根据图表信息，解答下列问题． （1）填空：_____，_____，_____； （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）请写出中位数落在的成绩段为_____； （4）请估计全校名学生都参加测试，成绩在分及以上的人数． 【答案】（1）；； （2） （3） （4）人 【解析】 【分析】（1）根据频率公式，频率频数样本总数计算即可； （2）根据（1）中计算出，绘图即可； （3）中位数是第个和第个数据的平均数，根据，，即可确定中位数落在成绩段； （4）样本中分及以上的频率为，用乘以该频率即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， 从小到大排列后第个和第个数据在内， 故中位数落在成绩段； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计全校名学生都参加测试成绩在分及以上的人数是人． 22. 甲、乙两个制作团队分别同时制作两类文创产品，制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题． （1）甲团队在开工后6天内，每天制作文创产品 件； （2）当时，求乙团队制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系式； （3）请直接写出时间（天）为何值时，甲，乙两团队制作的文创产品数量相差100件． 【答案】（1） （2） （3）当或或时，甲，乙两团队制作的文创产品数量相差100件 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可得答案. （2）当时，设乙团队制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系式为；结合函数图象过点、，进一步求解即可. （3）当时，可得，当时，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：甲团队在开工后6天内，每天制作文创产品（件）. 【小问2详解】 解：当时，设乙团队制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系式为； 由图可知，函数图象过点、， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：∵甲每天做件， ∴， 当时，乙每天做件， ∴， ∴， 解得：， 当时，， ∴， 解得：或， ∴当或或时，甲，乙两团队制作的文创产品数量相差100件． 23. 如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． （1）求直线的表达式和点的坐标； （2）直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①当时，求点的坐标； ②在①的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）①；②点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解解析式，再求解的坐标即可； （2）①由的长度结合直线垂直平分，可求出，的长度，利用一次函数解析式求出点坐标，进而用含的式子表示点坐标，再利用面积公式求解即可； ②当点在点左边，当点在点右边，构造全等即可求解． 【小问1详解】 解：将代入直线 得，解得：， ∴直线的函数表达式为：， 当时，， 则点的坐标为：； 【小问2详解】 解：①∵直线垂直平分，， 则， 当时，， ∴点的坐标为：， ∵点的坐标为：， ∴， ， 当时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ②存在． 当点在点左边时，如图，过点作轴，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点， ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∴， 当点在点右边时，如图，过点作，交直线于点， ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 综上，点的坐标为或． 24. 小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 【答案】【概念理解】菱形，正方形； 【性质探究】，； 【问题解决】（1）13，40； （2）； （3）证明：连接，设与交于点，与交于点， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，四边形面积求解，全等三角形判定及性质，正方形性质等． 根据题意可得为菱形和正方形； 根据题意可得和； （1）根据题意可得，； （2）先证明四边形为垂美四边形，继而得到，即可得到本题答案； （3）连接，设与交于点，与交于点，先证明和△全等，继而利用全等性质得到本题答案． 【详解】解：【概念理解】根据题意可得为菱形和正方形， 故答案为：菱形，正方形； 【性质探究】根据题意可得： ∴， ∴， 故答案为：，； 【问题解决】（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：13，40； （2）∵，是的中线， ∴，， ∵， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得：， 故答案为：； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $