四川宜宾市2024-2025学年普通高中学业质量监测高二年级数学试题

2025年春期宜宾市普通高中学业质量监测 高二年级 数学 (考试时间：120分钟；总分150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.计算A?= A.4 B.6 C.12 D.24 2.在以下四幅散点图中，y和x成正线性相关关系的是 6 3 65432 。 1。 A. 01234567x B. 01234567x 6 6 5 4 4· 3 C.01234567元 D. 01234567x 3.曲线f(x)=lnx在x=1处的切线方程为 A.y=2x-2 B.y=3x-1 C.y=-x+1 D.y=x-1 4.二项式(2x+)°展开式中的常数项为 A.960 B.160 C.-160 D.-960 5.若随机变量X-B(4,号)，则P(X=3)= A.器 B c D.品 高二年级数学试卷第1页，共4页 ▣减口 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 6,从2名男生、3名女生中选2人分别担任班长和学习委员，要求选出的2人中至少有一名女 生，则不同的方法数为 A.10 B.16 C.18 D.24 7.若函数f(x)=x3+ax2+x无极值，则a的取值范围是 A.(-√，3) B.[-√3，√5] C.(-3,3) D.[-3,3] 8.已知函数f(x)=x2+2cosx,则f(-2),f(1),f(3)的大小关系是 A.f(1)>f(-2)>f3) B.f(1)>f(3)>f(-2) C.f(3)>f(1)>f(-2) D.f(3)>f(-2)>f(1) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列函数在定义域上力增数的有 A.f(回)=x+是 B.f(x)=x+sina C.f(x)=xe* D.f(x)=e*-e-* 10.已知函数f(x)=x3-3x+1,则下列说法正确的是 A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有两个零点 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=9x-15是曲线y=f(x)的切线 11.甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有4个红球 和4个绿球：乙袋中装有3个红球和5个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再 从乙袋中随机摸出一个小球，记A1表示事件“从甲袋摸出的是红球”，A2表示事件“从甲袋摸 出的是绿球”，记B表示事件“从乙袋摸出的是红球”，B2表示事件“从乙袋摸出的是绿球” 下列说法正确的是 A.A1,A2是对立事件 B.PaA=号 C.PB)=日 D.P(A1B)=号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知随机变量￡~N(1,o2),若P(-1≤ξ≤3)=0.6，则P(ξ>3)= 13.由具有线性相关关系的一组样本数据(xy)(i=1,2,…,10),得到回%直线方程为=3x十a, 若元=10，y=22,则a= 14.若关于x的不等式ln(c+a)-bx≤0在定义域内恒成立，则g的最大值为 高二年级数学试卷第2页，共4页 ▣减口 Q。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 6。从2名男生、3名女生中选2人分别担任班长和学习委员，要求选出的2人中至少有一名女 生，则不同的方法数为 A.10 B.16 C.18 D.24 7.若函数f(x)=x3+ax2+x无极值，则a的取值范围是 A.(-√3,3) B.[-3,√] C.(-3,3) D.[-3,3] 8.已知函数f(x)=x2+2cosx,则f(-2),f(1),f(3)的大小关系是 A.f(1)>f(-2)>f(3) B.f(1)>f(3)>f(-2) C.f(3)>f(1)>f(-2) D.f(3)>f(-2)>f(1) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列函数在定义域上力增幽数的有 A.f@)=x+是 B.f(x)=x+sinc C.f(x)=xe D.f(x)=e*-e-z 10.已知函数f(x)=c3-3x+1,则下列说法正确的是 A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有两个零点 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=9x-15是曲线y=f(x)的切线 11.甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有4个红球 和4个绿球；乙袋中装有3个红球和5个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再 从乙袋中随机摸出一个小球，记A表示事件“从甲袋摸出的是红球”，A2表示事件“从甲袋摸 出的是绿球”，记B表示事件“从乙袋摸出的是红球”，B2表示事件“从乙袋摸出的是绿球” 下列说法正确的是 A.A1,A2是对立事件 B.PaA)=号 C.PB)=日 D.P(A1B)=号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知随机变量€~N(1,σ2)，若P(-1≤ξ≤3)=0.6，则P(ξ>3)= 13.由具有线性相关关系的一组样本数据(c,)(1=1,2,…,10),得到回直线方程为ù=3x+a, 若元=10,9=22，则a= 14.若关于x的不等式ln(x+a)-bx≤0在定义域内恒成立，则&的最大值为 高二年级数学试卷第2页，共4页 ▣减口 Q。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.。 15.(本小题13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD为 正方形 (1)证明：AC⊥PB; D (2)若AD=PD=1,求二面角C-AP-B的正弦值. 16、(本小题15分) 近年来，中国新能源汽车进入高速发展时期.中国汽车工业协会最新发布的数据显示，2024年 我国汽车销量达到3143.6万辆，其中新能源汽车销量达到1286.6万辆，占比达到40.9%，持续领跑 全球.为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司采用问卷调查 形式对200名消费者进行调查，统计后得到如下列联表： 青年人 中老年人 合计 购买新能源汽车 60 35 95 购买燃油车 40 65 105 合计 100 100 200 (1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为购买新能源汽车意向与年龄有关 (2)现从上述问卷调查中的100名青年人中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取10人 进行访谈，再从这10人中抽取3人赠送礼品，并记X为这3人中购买新能源汽车的人数，求X的分 布列及数学期望， 参考公式：x2= n(ad-bc) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a+b+c+d. 参考数据： P(x2>k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 高二年级数学试卷第3页，共4页 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣6 17.(本小题15分) 在平面直角坐标系中，A(-2,0),B(2,0),动点P到A,B两点连线斜率乘积为-号. (1)记动点P的轨迹为曲线C,求曲线C的方程； (2)过点E(1,0)的直线l与曲线C交于M,N两点，且△NOE的面积是△MBE的面积的2倍， 求直线l的斜率. 18.(本小题17分) 已知函数f(x)=(x+1-a)e+x十a-1,a∈R,函数g(x)=(x-2)e+1. (1)求g(x)的最小值： (2)若a>3. ①求f(x)零点的个数； ②证明：f(x)的所有零点之和为定值. 19.(本小题17分) 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的 一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为号，乙发 球时甲得分的概率为号，各球的结果相互独立.某局在双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束， (1)求P(X=4): (2)记事件“X=几且甲获胜”的概率为pn· ①求p2,p3: ②求证：之m<号 1 高二年级数学试卷第4页，共4页 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 2025年春期宜宾市普通高中学业质量监测 高二年级数学参考答案及评分意见 一、选择题： 题号 2 3 6 7 8 9 10 11 选项 y D B C B D BD ACD ABD 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.0.2 13.-8 14.号 三、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 【详解】(I)证明：因为PD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD 所以PD L AC1分 因为底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC. …2分 又因为PD与BD相交，所以AC⊥平面PBD..4分 又因为PBC平面PBD,所以AC⊥PB… …5分 (2)以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为c,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. D 因为AD=PD=1,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), 则AP=(-1,0,1),AB=(0,1,0),AC=(-1,1,0)6分 设平面ABP的法向量为元=(c,y,z), 则密-0=1两= 所以平面ABP的一个法向量为元=(1,0,1)… …8分 设平面ACP的法向量为元=(a,b,c), {风0即仁a60令a=1则=c=1, AC.m=0 所以平面ACP的一个法向量为沉=(1,1,1)10分 高二年级数学参考答案第1页，共5页 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效可部 os(杭，= 杭元 2 √6 园 V2×√3 3 12分 所以sin9=V1=cos9=,即二面角C-AP-B的正弦值为3 ...13分 3 16.(本小题15分) 【详解】(1)零假设为H:认为购买新能源汽车意向与年龄无关； x2 200×(60×65-40×35Y=5000≈12.531>6.6354分 100×100×95×105 399 依据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为购买新能源汽车意向与年龄有关，此推断犯错误概率不超 过0.01.6分 (2)由题意可知抽取的10人中购买新能源汽车的人数有6人，购买燃油车的人数有4人..7分 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.… ..8分 4 1 2X=0)三20全30 P(X=1)= CC8_36_3 C品 12010… 10分 PX=2)=C4C8=60= C品 -120-2 ……11分 C 20 PX=)=器= 6 12分 所以X的分布列为： 0 2 3 1 30 10 2 6 13分 所以E(X0=0×0+1×品+2×号+3×合 9 5 …15分 17.(本小题15分) 【详解】(1)解：由题意知：A(-2,0),B(2,0), 设n(c,),则p=n。, x+2,kan=、 x-2 2分 所以2×”2=号 整理得 …G+t0)1 (2)由题意设直线l方程为x=y十1..6分 (x=ty+1 联立 x2y2 ,消去x得(t2+2)y2+2t-3=0.… 4+2 =1 .7分 设M(1,),N(2,2),△>0恒成立， 则头十欢=一 2t 3 f20,3122—,,,.....·……...8分 因为三角形NOE的面积是三角形MBE的2倍，即SANOE=2 S AMBE 所以，号×1OE×=2×号×1BE×l 高二年级数学参考答案第2页，共5页 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 即h=-2111分 3 则-二一+2，~2=- t2+2 解得=号，则t=士画 5 13分 元÷V30 所以直线1的斜率为k=±5 6 .15分 18.(本小题17分) 【详解】(1)由题可知g(c)=(c-1)e 令g(x)=0→x=1 当x>1时，g(x)>0,∴g(x)在(1，+oo)上为增函数： 当x<1时，g(x)<0,.g(c)在(-o,1)上为减函数 g(g)min=g(1)=1-e4分 (2)①令h(x)=f'(x)=(x+2-a)e*+1→h'(c)=(x+3-a)e 令h'(x)=0→x=a-3: 当x<a-3时，h'(x)<0,h(x)=f'(x)单调递减： 当x>a-3时，h'(x)>0,h(x)=f'(x)单调递增； 所以f'(x)min=f'(a-3)=1-ea-3… 6分 又a>3,所以f'(x)min=1-e-3<0,且当x→+oo时，f'(x)→+0o;x→-oo时，f'(x)→1； 所以f(c)在(-00，a-3)与(a-3,十∞)上各有一个零点，不妨分别记为，28分 所以x∈(-oo,c)时，f'(x)>0→f(x)单调递增； x∈(c,2)时，f'(x)<0→f(x)单调递减： x∈(c2,+o)时，f'(x)>0→f(x)单调递增； 且f'(0)=3-a<0,所以0∈(c1,2) 10分 则f(x)>f(0)=0,f(c2)<f(0)=0, 又当c→+0∞时，f(x)→+00；x→-0o时，f(x)→-00： 所以f(x)在(-0，c)与(x2,十∞)上各有一个零点，且f(0)=0 所以f(x)有且仅有三个零点.… 12分 ②令f(c)的三个零点分别为3,0，c, 由f(c)=(c3+1-a)·e+c3+a-1=0得 f(-）=(-%+1-a）e-+a-1=(←%+1-o）-[-(1-2]-马ta-1=0.…15分 03+a-1 则x4=-x3,即x3十E4=0 所以f(x)的三个零点和为0.... 17分 (另解：f(m)=(c+1-a)·e++a-1=x(e+1)-(a-1)(e-1)=(e+1)[x-(a-1)·。 e+1 令f=0,e+1>0,2-a-1g=0 高二年级数学参考答案第3页，共5页 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 令p()=x-(a-1)e_1； e+1’ “p(-m)=-x-a-1).e-1 e-z+1 =-x+(a-g=-p(回 e+1 ∴(x)为奇函数.因为奇函数的图象关于原点对称，所以p(c)所有零点和为0，所以f(x)所有零点和为0) 19.(本小题17分) 【详解】(1)由题可得：事件“X=4”表示在双方10：10平后，甲先发球，两人又打了4个球， 且这4个球分为前两球是甲、乙各得1分，后两个球均由甲得分，或则均由乙得分， 所以P(X=到)=（号×号+号×号）×（号×分+号×号）=量 4分 (②@n.=号×=6分 事件“X=3且甲获胜”为不可能事件，所以p3=08分 ②由比赛规则可知： 当n=2k-1(化∈W)时，事件“X=n且甲获胜”为不可能事件，则pn=09分 当n=2k(k∈W)时，事件“X=n且甲获胜”， 就是在双方10：10平后，甲先发球，两人又打了2k个球， 且这2k个球的得分情况为：前2k-2个球是每两个球甲、乙各得1分，最后第2k一1,2k个球均由甲得分： 记“比赛2局结果为平局“为事件B,则P(回=号×宁+(1-号)×号=号 则2=卫l1分 又因为=1--言=所以=×（} 0, n=2k-1 综上，-{传×合，n=2 (k∈N) .13分 另解： 2)@=号×=号 ..6分 事件“X=3且甲获胜”为不可能事件，所以p3=0…8分 ②由比赛规则可知： 当n=2k一1(k∈N)时，事件“X=n且甲获胜”为不可能事件，则pn=0..9分 当n=2k(k∈N)时，事件“X=n且甲获胜”，就是在双方10：10平后，甲先发球，两人又打了2k个球， 且这2k个球的得分情况为：前2k一2个球打成平局，即从第一个球开始，每打两个球甲乙各得1分，最后第 2k一1,2k个球甲连续得分... ....10分 记“从第一个球开始，每打两个球甲乙各得1分”为事件A,则P(A)=号×(1-)+(1-号)×号= 记“前n-2个球两人打成平局”为事件B,则P(B)=[P(A学=（侵）学=（兮） 所以，当n=2keN时，=（侵）×号×空=号x(侵 0, n=2k-1 综上，pn= 号×(2，n=26 (k∈N)13分 高二年级数学参考答案第4页，共5页 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 是等1=吃)2 所以 ,(k∈N)15分 专×侵--传川 1- n=2k 因为0<1-（侵）F<1,0<1-(侵)产<1， 所以<号 17分 ▣绕▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效圖登