四川宜宾市2025-2026学年下学期期末学业质量监测高一年级数学试题

2026年春期 中学校学业质量监测 高一年级数学 （考试时间：120分钟；全卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、座位号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦擦千净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在 本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.样本数据1,4,2,8,11的中位数是 A.1 B.2 C.4 D.8 2.在△ABC中，AB=2,AC=1,A=60°，则BC= A.3 B.2 C.3 D.2√3 3.抛两枚相同的硬币，事件A=“第一枚正面向上”，事件B=“第二枚反面向上”，则A与B A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等 4.向量a=(-1,1),b=(m,2),若{a,b}可以构成一个基底，则m不可能是 A.2 B.1 C.-1 D.-2 5.己知一台体的体积为2，上底面面积为1，下底面面积为4，则该台体的高为 A.G c.月 D.月 6.若e,,e2是夹角为60°的两个单位向量，则e,+2e,在e上的投影向量为 A.e B. C.7e D.2e 7.如图，一个电路中有A,B，C三个电器元件，每个元件能正常工作的概率为p(0<卫<1)， 则该电路是通路的概率为 A.p B.-p3+2p C.p3-2p2+2p D.-p2+2p 高一数学第1页（共4页) 8.在四边形ABCD中，AB⊥BC,AD⊥DC,若AB=1,AD=3,则AC.BD= A.8 B.6 C.4 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.己知复数z=1+2i,则 A.☑=v5 B.z.Z=-3 C.2+i为纯虚数 D. Z+1 z-ieR 10.在正方体ABCD-ABC1D中，AB=2,E、F分别是DD、BC的中点，则 A.EF⊥BC B.F与B所成角的余弦值为 6 C.B,F⊥平面ABE D.D到平面BCz的距离为2V5 5 11.在某届世界杯足球赛上，a,b,c,d四支足球队进入了最后的比赛.在第一轮的两场比赛 中，α对b，c对d,然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛， 决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为acbd(表示a胜b,c胜d,然后a胜c, b胜d).记：样本空间2=“比赛所有最终可能结果”，事件A=“α队获得冠军”，事件 B=“α队进入冠亚军决赛”，事件C=“c队为第三名”.则 A.n(2)=16 B.= C. D.) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知P(A)=0.6,P(B)=0.9,若A与B相互独立，则P(AUB)= 13.己知三棱柱ABC-AB,C1的体积为1，则三棱锥B-ABC的体积为 14.已知A,B,C是△4BC的三个内角，则m4+sin BsinC的最小值为 sin Asin Bsin C 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为09，乙的中靶概率为0.8，规定每人 各射击两次 (1)求乙在两次射击中恰好中靶一次的概率： (2)求甲中靶的次数比乙中靶的次数多一次的概率. 高一数学第2页（共4页) 16.(15分) 在正三棱柱ABC-ABC中，D、E分别是AB、BC的中点. (1)证明：DE∥平面ACCA; (2)若CC=2W3,直线DE与平面BCCB所成角为45°，求AB. C B E C B 17.(15分) 近年来，肥胖人群规模急速增长，肥胖人群存在较大的心血管患病风险，目前，国际上常用 身体质量指数(Body Mass Index,.缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是： BMI= 体重（单位：kg.成人的BMI数值标准为：BM<185为体重过低：18.5≤BM<24为 身高（单位：m) 体重正常；24≤BMI≤28为超重；BMI>28为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人 员从公司员工的体检数据中，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取了90名男员工、50名女 员工的身高和体重数据，得到如下的男员工BⅡ值的频率分布直方图： 频率 组距 0.12------------ 0.10 0.05 0.02 0.01 --2 ----- 15.8518.3520.8523.3525.8528.3530.8533.3535.85BM1 高一数学第3页（共4页） (1)根据频率分布直方图，求t的值： (2)研究人员对公司员工的BMI数据统计后，得到下表： 中位数 平均数 极差 男员工 21.89 22.54 19.3 女员工 19.65 20.70 17.7 (i)男员工的BMI数据记为x=1,2,…,90),女员工的BMI数据记为y(i=1,2,…,50). 研究人员为分析公司员工胖瘦程度的整体情况，将男、女员工的BMI数据放在一起，计算这140 个数据的平均数和方差；（精确到0.01），参考数据： 468864,y2 i=1 (ⅱ)试判断该公司的男员工还是女员工整体更瘦？说明理由. 18.(17分) 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=BP=PD=1,PA= 21 (1)证明：平面PAC⊥平面ABCD; (2)设三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上. (i)求球O的表面积； (ii)求二面角O-PC-A的余弦值. 19.(17分) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c (1)若A= 3 sin(B+C)sin Bsinc=3 8 .求B: (2)若c094,cosB 2 sin B sin A (i)证明：△ABC是直角三角形； (ii)若△ABC的周长为6，求△ABC面积的最大值. 高一数学第4页（共4页)宜宾市普通高中2025级期末质量监测 数学参考答案及评分意见 一、选择题 题号 8 9 10 11 选项 A D ACD BCD AC 二、 填空题 12.0.96 1. 14.√5 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)记事件A表示甲第i(i=1,2)次击中，记事件B表示乙第i次击中 于是，BB,+BB,表示乙恰好击中一次， 所以P(B,B2+BB)=P(B,B2)+P(BB2)=0.8×1-0.8)+1-0.8)×0.8=0.32…5分 (2)甲两次射击中恰好击中一次的概率为 P(4A+AA)=P(4A)+P(44)=0.9×1-0.9)+1-0.9)×0.9=0.18…8分 甲中靶的次数比乙中靶的次数恰好多1次的概率为 P=0.92×0.32+0.18×0.22=0.2592+0.0072=0.2664… …13分 16.(15分) C 解：(1)分别取CC,AC的中点M,N, 连接EM,MN,ND 因为E业号aC,DNBC, 所以ME业DN, 所以四边形NDE为平行四边形. 所以DE∥N,因为DE文平面ACCA,MNC平面ACC1A, D 所以DE∥平面ACCA· 6分 高一数学参考答案第1页（共4页) (2)取BC的中点F,连接AF, C 所以AF⊥BC,因为平面ABC⊥平面BCC1B,, B 所以AF⊥平面BCC,B,过D作DG∥AF交BC于G, 所以DG⊥平面BCCB,连接EG. 所以直线DE与平面BCC1B所成角为∠GED=45°， 设AC=4a,可得DG=V3a,DE=MN=V3+4a2, 所以sin∠GBD=DG-DG DE MN 3+4d 2 得a=V6,所以B=2N615 3 17.(15分) 解：（1)2.5×(0.05+0.10+0.12+t+0.04+0.01)=1 解得t=0.08…4分 (2)61)总数据的平均数z=1×(2254×90+20.70×50=21.88…8分 140 设男员工BMI数据的平均数为x,方差为s2,女员工BMM数据的平均数为，方差为s,2 因为=26年-=2x-=1260 901 90台1 90 所以∑x2=12.60+22.542)×90=46858.64 -1 同理， 是y-0647+20.70×50=248 50 总方差2 1401 52+∑]-2=，46858.64+22248)-21.88=14.88- i=1 (i)整体上女员工更瘦.因为女员工BMI数据的平均数20.70小于男员工BMI数据的平均数 22.54,B数据越小越瘦…15分 高一数学参考答案第2页（共4页) 18.(17分) 解：(1)连接AC,BD交于点M, 111 因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC, A11⊥ 连接PM,因为PB=PD,M为BD的中点， B 所以BD⊥MP,又BD⊥AC,AC∩PO=O, 所以BD⊥平面PAC, 所以平面PAC⊥平面ABCD. …5分 《2)(i)由题知AM=AP=P=号， 取AM的中点H,连接PH, 所以PH⊥平面ABCD,在Rt△PHC中， m=渠m=m- 2 因为AP2+PC2=AC2,所以AP⊥PC, 在三棱锥P-ABC中，由交线定心可知，球心O为正△ABC的外心. 所以R= 15 2sin60°3 ，于是球0的表面积为S=4R=4r 3 ，…10分 (ii)因为OM⊥平面APC,取PC中点N,连接ON,N, 所以MN∥AP,PC⊥MN,所以PC⊥ON, 所以二面角O-PC-A的平面角为∠MNO, 在AON中，OM=M=5,N=P= 3 6 2 4 所以oN=21,所以cos∠0=V2 …17分 ON 7 19.(17分) 解：(1)由题知，sin Bsinc=3 4 即sm Bsin(B+爱=m2B+5 n BcosB=0-cos2+点in2B-3， 32 2 4 4 整理得sin(2B-巧=1，所以B= …5分 6 3· 高一数学参考答案第3页（共4页) (3)(1)因为0sA+c0sB=2, sin B sin A 所以A,B不可能为90°，于是证明C=90°或A+B=90°. 由cos4+cosB=2可知，sim4cosA+-sin B cos B=2s9 sin Asin B, sin B sinA 即sinA(cosA-sinB)+sinB(cosB-sinA)=0① 当4+B智时，则A<分B,B<空A,知血c,snB<co4 2 于是sinA(cosA-sinB)+siB(cosB-sinA)>0与①矛盾，故不成立： 由sin AcosA+sin B cos B=2 sin Asin B可得sin2A+sin2B=4 sin Asin B, sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]=4sin Asin B, 于是得sin/4+Rcos(A-B)=2 sin Asin B=2sinC2一+2）s1nC229, 2 22 即si血(1+B)cos(4-B)=2sin2A+B sin4-B 2 2=cos(4-B)-cos(+B), 于是，cos(A+B)=cos(A-B)1-sin(A-B)]② 当A+B>时，co1+<0,co4-加-m4->0,不成立： 综上所述，可知A+B=亚」 12分 2 (i)因为c= 2’a+b+c=6. 即c(sinA+sinB+1)=6, 6 6 于是c=1+inA+s5imB1+simA+cosA 所以△ABC的面积S=)ab-)o= 18sin AcosA 2 2 (1+sin A+cos )2' 设smn4+cosA=2smA+孕=te0,j0<A<, sinAcosA=-1 2 所以△48C的面积3-g》-94-少-90-2)在1E0,V1单调递增， 1+t)2t+1 t+1 所以当t=√2是时，S%mx=93-2√②)=27-18V万，…17分 高一数学参考答案第4页（共4页)