四川眉山市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量监测数学试题

高2028届第二学期期末教学质量监测 数学参考答案及解析 一、单选题（每题5分，共40分） 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】C 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．【答案】ACD 10．【答案】AB 11．【答案】ACD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．【答案】 13．【答案】300 14．【答案】 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（本题满分13分） （1）0.04；82；（2）87.5 【详解】（1）， 解得 3分 3分 学生测试成绩的平均数为： 4分 7分 （2）设获奖学生的最低分数为，∵最后一组频率为，后两组频率之和为， ∴最低分数在第三组， 2分 9分 由，得， 故获奖学生的最低分数为87.5 4分 13分 16．（本题满分15分） （1）证明见解析；（2） 【详解】（1）证明：连接交于点，连接、，∵四边形为平行四边形，为中点，又为中点，且． 又为中点，且，故且， 四边形为平行四边形，故 4分 4分 平面，平面， 平面 2分 6分 （2），，∴底面为正方形，， ，平面， ，解得， 3分 9分 取中点，连接、，，，，， 又面，面， 为二面角的平面角 3分 12分 ∵直角中，，又直角中，， ，即二面角的平面角为 3分 15分 17．（本题满分15分） （1）；（2） 【详解】（1），， 1分 1分 由正弦定理可得， 整理得， 1分 2分 1分 3分 ∵在中，， 1分 4分 代入化简得． ∵角为内角，， 1分 5分 故，． 2分 7分 （2）由题意，，，， 1分 8分 ， 2分 10分 ， 3分 13分 解得，故实数 2分 15分 18．（本题满分17分） （1）；（2）的最大值是5；（3）的最小值是． 【详解】如图，过点作地面的垂线，得到． （1）在直角中，，， 2分 2分 又，在直角中，解得 2分 4分 （2）在直角中，， 1分 5分 同理，，故 1分 6分 整理，满足，． 当时，此时锐角和满足，则的最大值为5 3分 9分 （3）由问题（2）可得， 1分 10分 ，，化简得， 1分 11分 ， 1分 12分 再整理，其中， ． 在上单调递增， ， 1分 13分 ，得到， 1分 14分 ，，， 当且仅当，时，的最小值为 3分 17分 19．（本题满分17分） （1）证明见解析；（2）；（3）最大值为． 【详解】（1）连接，取的中点，连接，∵底面为菱形，且，、为等边三角形，． 又平面平面，平面平面，平面， 平面 3分 3分 平面，．又，，，平面， 平面 2分 5分 （2）平面，，平面，，， 又，，，， 2分 7分 ， 又，， 1分 8分 设点到平面的距离为，则，即，解得，即点到平面的距离． 1分 9分 （3）连接，，则且， 为直线与直线所成的角，即， ， 1分 10分 取的中点，连接，则且， 又为中点，，又，， 由平面，，平面，，， 又，，平面，平面，则平面， 又，，平面，平面， 连接，，则为直线与平面所成的角，即， 1分 11分 为直线与平面所成的角，即，， ， 2分 13分 又，设，（），， ， 2分 15分 令，则，，，， 当时取得最大值，且最大值为， ． 2分 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 高2028届第二学期期末教学质量监测 数学试题卷 2026.07 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．若需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1．复数的虚部为 A． B． C． D． 2． A． B． C． D． 3．为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点 A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 4．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．已知点，，，则在上的投影向量的坐标为 A． B． C． D． 6．折扇始于宋元、盛行于明清，寓向善之意，而扇面书画艺术于明清发展至巅峰．图1为故宫博物院藏明代文徵明的《兰花图》扇页，以金笺为底；水墨写意，格调高洁．若某扇页展开所得扇环恰为一圆台侧面展开图（图2），该扇环圆心角为，扇环外半径与内半径之差为，且圆台侧面积为，则圆台上底面半径与下底面半径之比为 A． B． C． D． 7．若正方形边长为2，是的中点，于点，则下列选项正确的是 A． B． C． D． 8．已知，函数，若，则 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是 A．样本数据1，2，2，2，4，4的众数是2 B．甲、乙两人在5次射击训练中，射击成绩的平均数相等，方差分别为3.6和1.4，则这5次射击训练成绩较稳定的人是甲 C．若甲、乙、丙三种产品的数量比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取丙产品15个，则样本容量为30 D．若一组数据，，，的极差为6，方差为3，则数据，，，的极差和方差均为12 10．已知复数，则下列命题正确的是 A．若，则 B．在复平面内，若对应的点位于第二象限，则 C．若是的共轭复数，且与是实系数方程的两个虚数根，则 D．若，且，则 11．如图，在正三棱柱中，，是的中点，是上的动点，是的中点，是上靠近点的四等分点，则下列说法正确的是 A．平面 B．正三棱柱外接球的体积为 C．当是的中点时，过点，，的平面截正三棱柱所得图形的面积为 D．若点是上底面的一个动点，且直线与所成角为，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分． 12．已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值为__________． 13．某景区的标志性建筑C旁有一条南北走向的观景道，游客圆圆在观景道上的处测得在北偏东；继续沿观景道向北行走到达B处，又在处测得在南偏东，则从C到观景道的最短距离为__________m． 14．如图1，函数的图象与y轴交于点，将绘有该函数图象的纸片沿轴折成直二面角（图2），若折叠后，两点之间的距离为，则__________． 15．（本题满分13分） 为厚植学生家国情怀，普及航天发展成果．某校组织开展“航天知识挑战赛”、该挑战赛测试成绩满分为100分．为分析全体参赛学生的成绩状况，现随机抽取100名参赛学生的测试成绩作为样本；并将样本数据按照，，，分成4组，对应绘制得到如下所示的样本频率分布直方图． （1）求的值，并估计该校学生测试成绩的平均数； （2）学校计划给成绩排名前30%的学生颁发优秀奖，请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数（精确到0.1）． 16．（本题满分15分） 如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，，三棱锥的体积为，求二面角的平面角的大小 17．（本题满分15分） 已知，，分别为三个内角，，的对边，向量，，且． （1）求A； （2）若点满足，且．，，，求的值． 18．（本题满分17分） 如图，矩形所在平面与地面垂直，点在地面上，与地面所成的角为，，，点到地面的距离为． （1）若，，，求的值； （2）若，，求的最大值； （3）记函数，若，函数在上单调递增，求的最小值． 19．（本题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点，分别为棱，的中点，点在线段上． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）设直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $