四川泸州市2025-2026学年高二下学期期末质量监测题数学试题

**基本信息** 覆盖高二数学核心知识，解答题融合科技情境与逻辑推理，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|抛物线准线、二项式系数、空间向量等|第7题以餐厅选择为情境，考查概率计算与数据意识| |填空题|3题15分|组合数、切线方程、正四棱锥外接球|第13题结合导数几何意义，培养抽象能力| |解答题|5题77分|统计（16题）、立体几何（17题）、椭圆（18题）、导数（19题）|统计题以科技公司满意度数据为情境，考查数据处理与模型意识；导数题通过极值与零点证明，培养逻辑推理与创新意识|

高2024级高二下质量监测试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线C： 的准线方程为 A. x=1 B. x=-1 C. y=1 D. y=-1 2．设随机变量X∼B(2,p)，若，则p= A. B. C. D. 3．二项式展开式的第3项的二项式系数是 A.15 B. C.20 D. 4．如图，在空间四边形OABC中，设,，且OM=2MA BN=NC，则 A. B. C. D. 5．已知是等差数列，则“数列是递减数列”是“的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6．已知随机变量，若P(X≤94)+P(X<86)=1，则μ= A. 88 B.90 C.92 D.94 7．某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为 A. B. C. D. 8．已知函数在区间(a,a+4)上存在最小值，则a的取值范围为 A.(-4,0) B.[-4,0) C. [-3,0] D. [-3,0) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线，圆，则 A.过定点（1,0） B.与圆C总有两个不同的公共点 C.存在实数，使圆C关于对称 D.被圆C截得弦长的最小值为 10．数列的前n项和满足，前n项的积为，则 A. B.数列是等比数列 C. 有最大值 D. 11．双曲线C： 的左，右焦点分别为，P是C上一点，且 轴，直线平分，O是坐标原点.下列结论正确的有 A.若，则C的离心率为 B.若，垂足为Q，则 C.与C有唯一公共点 D.与轴的交点在直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有 种. 13．直线与曲线y=x+lnx相切，则= 14．底面边长为的正四棱锥的体积为，则该棱锥的外接球球心到其侧面的距离为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分） 已知数列为等差数列， 是其前n项和，且.数列满足 （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16.(15分） 某科技公司为优化智能客服系统，收集了10000名用户对AI客服的满意度评分（满分100分），现从中随机抽取100名用户的评分数据作为样本，整理得到如下频率分布直方图． （1）求a的值； （2）若给满意度评分从高到低排名前25％的用户发放“AI体验官专属福利”，请估计获得福利的用户的最低评分（结果精确到1分）； （3）现从评分位于［60,90）的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2 人，设这2人中评分落在［60,70）内的人数为X，求X的分布列及数学期望． 17.(15分） 如图，在多面体ABCDE中，AB平面BCD，BC=CD=1 ，BC⊥CD，F为BD中点，· （1）证明：AE平面ABD； （2）若直线AE与平面ACD所成角的正弦值为，求平面ABE与平面ADE夹角的余弦值. 18.(17分） 已知椭圆C：过点和(2,0),，过点M(m,0)的直线与C交于A,B 两点，A在第一象限. （1）求C的方程； （2）若m=1，点D(3,0)，求的取值范围； （3）直线交y轴于点N，M为AN中点，点A关于y轴的对称点为P，延长PM交C于点Q， ，求直线BQ的斜率. 19.(17分） 已知函数 （1）当时，求f(x)的单调区间； （2）设函数 ①若x=1是g(x)的唯一极值点，且是极小值点，求a的取值范围； ②当a>0时，证明g(x)有且仅有一个零点. 高二·数学 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $高2024级高二下质量监测试题 数学参考答案及评分意见 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度.可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半：如果后 继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分， 一、选择题： 题号 1 3 4 5 6 7 8 10 11 答案 B A A C B ABD ABD ACD 二、填空题： 12.12: 3. 14. 三、解答题： 15.解：(1)设{(an}的首项为4，公差为d,由已知得： 胸+32=18 …2分 2a+4d=18. 解得a1=d=3, …4分 所以an=3+3(n-1)=3n,… …5分 因为6}满足：4=方6m=克，aeN门。 所以6，}是首项为2，公比为号的等比数列， 6分 所以6，=宁： …7分 (2)因为c=4=4=孕=日 …9分 所以}是首项为分，公比为号的等比数列， …11分 2-- …12分 13分 高二·数学参考答案 第1页共6页 16.解：（1)由频率分布直方图知，(0.040+0.030+0.016+a+0.004)×10=1, 解得a=0.010; …2分 (2)由频率分布直方图知满意度评分落在[90,100]的频串为0.04， 落在[80,100]的频率为0.1+0.04=0.14<0.25，落在[70,100]的频率为0.54>0.25， 所以获得福利的用户的最低评分应落在[门0,80)内，…4分 不妨设为x,则(80-x)×0.04+0.04+0.1=0.25, 解得77.25，根据精确度要求，x77,…6分 所以估计满意度评分的最低评分为77分：…7分 (3)由图可知评分落在[60,70)，[70,80)与[80,90)的频率之比是0.3：0.4：0.1=3：41， 根据分层随机抽样的方法可知，在[60,70)内抽取3人，在[70,80)内抽取4人，在 [80,90)内抽取】人，…9分 则X的可能取值为0,1,2，… …10分 P(X=0)= C5 P(X-D-GG_15 C28 Px=2)-G28 …13分 所以X的分布列为 X 0 1 2 ⊙ 5 15 28 是 …14分 E0=0x5+1x15+2x是=3 284· …15分 14 28 17.解：(1)连接CF,因为BC=CD,F为BD中点，所以CF⊥BD,…1分 因为AB⊥平面BCD,CFC平面BCD,所以CF⊥AB,…2分 因为BD,ABC平面ABD,BD∩AB=B,所以CF⊥平面BD,…3分 因为F2=C,所以FEIICA,FE=CA, 所以四边形CFEA是平行四边形，所以AB/1CF,…4分 所以AE⊥平面ABD;… …5分 (2)方法一：因为BC=CD=1,BC⊥CD, 所以△BCD为等腰直角三角形，且D=5,CP= …6分 2 因为AB⊥平面BCD,所以∠ABD=90°， …7分 因为AE⊥平面ABD,AB,ADC平面ABD, 所以AE⊥AB,AE⊥D, 所以∠BAD为二面角B-AE-D的平面角，… …9分 设F到平面ACD的距离为h,则-，三5 10 )…11分 所以B到平面40的距商为2=号，设8=46>0。 因为4em-em,则5aoa=x月 -SAACD' 高二·数学参考答案第2页共6页 即2x1x1a=x1xWa+1x5 …12分 2 所以a=2MD=MB2+BD=+2=号 …13分 所以，在Rt△ABD中，cos∠BAD=4=} AD3 所以平面ABE与平面ADE夹角的余弦值为， ，…15分 3 方法二：如图，建立空问直角坐标系，设AB=a(a>0),则c(0,0,0),A(0l,a),B(01,0), D(L00)F 所以a-0.而=00，正=示=号0， 设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,z), 网a=0得+z=0, 由 CD,n=0.x=0. 令z=1,得n=(0,-a,),…8分 设直线AE与平面ACD所成角为日， 则sin0cos<AE,n>= 14E.n1 o Elml 10，…10分 所以a=克D=hB2+D2=孕+-号 …13分 在R△ABD中，cs∠BMD=9= 即平面ABE与平面DE夹角的余弦值为；： …15分 方法三：以F点为坐标原点，设4B=a@>0,F0,0,c三 >.0o)·D0,O)》2 要a:所以店-示-（号a0, D=(-550, 2’2 ,-乡o7分 设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则 Cn=0,得 [x-y=0, CD.n=0. x+y+2az=0. 令x=1,得m=1马， …9分 AE.n 所以sim8=lcos<正，m> 2 V10 …11分 园受层+2 10 高二·数学参考答案第3页共6页 所以a=分可得平面8E的一个法向量为4=00)，平面D6的-个法向为 n2=(0l,2W2),…13分 所以cos<h1,2>= 11 1x1+83' 即平面ABE与平面ADB夹角的余弦值为二 …15分 18.解：（1)因为C过点(N2,1),(2,0), 所以 …2分 21 a+6 解得：a2=4,b2=2, 月所以C的方程为X士)1：4分 42 (2)由题意ML,0),因为直线1与C交于A,B两点，A在第一象限，所以1的斜率不 为0，故可设直线：x=y+1, 联立任2+化简得：？+2y2+2-3=0,… …6分 x2+2y2=4. 设4(：，)，B(x2,y2)，则△=42+12(2+2)=1612+24>0， 2 为+h=-2+2 3 2=-2+2 …7分 4r2 1M-h上卡0+%)产-4%=C+2+2+2 12 162+24 t2+2 54024 2+2 …8分 令4=162+24≥26，则2=-24，代入上式得： 16 S=- 、“一=16u=16 8 -24+2+8u+8 16 由函数y=u+8的单调性，u≥26时，了单调递减，Snx=V6,且S>0, 所以Sa的取值范围为(0，V]: …10分 (3)设A(x0y0),则P(-xo,0), M(m,O)为N中点，N在y轴上， 因为+=m,w=2m-x0=0,所以0=2m, 2 高二·数学参考答案第4页共6页 因此A(2myo)，P(-2m,yo),… …11分 由PM=2M得：(3m-yo)=2(xe-m,yQ), 5m_0) x№-20(，- …12分 2 2m2+a=1, 《、2均在椭圆号+号-1上，代入 4 2 m2 解得{ 7 42 2 6 (4+ 2 -=1. 因为A在第一象限，0=2m>0,m= 2 6 …15分 906.直线M：y=6 42 - 2 万万 代入C消去y整理海：2-号0， 由市达定：物=子得=方%源。 p-电h=5 …】7分 0-xg6 19.解：(1)因为∫=x-a+）+=x-10x-a）,…1分 因为0<a<1时，x>0,由f'(x)>0得0<x<a,或x>1,…2分 所以f(x)的单调递增区间为(0，a),(山∞)：单调递减区间为(a,)；…3分 2)0图为g因-宁+产-a+加+ahx 因为g'（6)）=(k-00--9…5分7 所以g'()=0,因为x=1是g(x)的唯一极值点，且是极小值点， 所以当x>1时，g(x)>0,0<x<1时，g'(x)<0,…6分 所以1-1-≥0对x>0恒成立，即a≤x-三，令p()=x-三 ex x ，…7分 p内=l-=t0-3>0,8分 高二·数学参考答案第5页共6页 所以p(x)在(0，+o)上单调递增，p(x)>p(O)=0, 所以a的取值范围是(-0,0]：…9分 ②当a>0时，令刻=1-日兰则()在@树上单调适增， 又o0-日0，A0a+01点2a42>1令品-分30， 由零点存在定理知，存在唯一的x0∈(a,2a+2),使得h()=0, 因为gl2+2=2a是+5a+2r-a+na+2)+aha+2) 飞号（2a+2}2-(a+1(2a+2)=0.……11分 (1)a>1-1时，由h0=1-1-a<0=hxo,此时名>1， 所以g(x)在(0，)上单调递增，(，x)上单减，(o,∞)单调递增，又极大值 g0=日a-<0,80a+2>0, 所以此时g(x)有且仅有一个零点在(a,2a+2)内：…12分 (i)a=1-。时，由a0=1-日-a=0=ho) 此时0=1，g()在(0，+∞)上单调递增，又g(<0,g(2a+2)>0, 所以此时g(x)有且仅有一个零点在(1,2a+2)内：…13分 (i)0<a<1-上时，由h0=1-1-a>0=xg),此时0<6<1， a 所以g(x)在(0，)上单调递增，(o,)上单减，(，)单调递增， 因为%)=1-六名=0，所以兰=0-a,a=60-, e和x 此时gt6)=6-a+分2-a+%+a血=之2+0%-%-0 =方6+0-06- 由h为<知， 又由e西>0+1知， g6)<空%+1 -3) 0+ 因为1<0+1<2，所以g()<0, 又g(2a+2)>0, 故此时有且仅有一个零点在(1,2a+2)内. 综上知当a>0时，g(x)有且仅有一个零点。…17分 高二·数学参考答案第6页共6页