四川泸州市2025-2026学年高二下学期期末质量监测题数学试题

**基本信息** 覆盖高二数学核心知识，解答题融合科技情境与逻辑推理，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|抛物线准线、二项式系数、空间向量等|第7题以餐厅选择为情境，考查概率计算与数据意识| |填空题|3题15分|组合数、切线方程、正四棱锥外接球|第13题结合导数几何意义，培养抽象能力| |解答题|5题77分|统计（16题）、立体几何（17题）、椭圆（18题）、导数（19题）|统计题以科技公司满意度数据为情境，考查数据处理与模型意识；导数题通过极值与零点证明，培养逻辑推理与创新意识|

高2024级高二下质量监测试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线C： 的准线方程为 A. x=1 B. x=-1 C. y=1 D. y=-1 2．设随机变量X∼B(2,p)，若，则p= A. B. C. D. 3．二项式展开式的第3项的二项式系数是 A.15 B. C.20 D. 4．如图，在空间四边形OABC中，设,，且OM=2MA BN=NC，则 A. B. C. D. 5．已知是等差数列，则“数列是递减数列”是“的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6．已知随机变量，若P(X≤94)+P(X<86)=1，则μ= A. 88 B.90 C.92 D.94 7．某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为 A. B. C. D. 8．已知函数在区间(a,a+4)上存在最小值，则a的取值范围为 A.(-4,0) B.[-4,0) C. [-3,0] D. [-3,0) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线，圆，则 A.过定点（1,0） B.与圆C总有两个不同的公共点 C.存在实数，使圆C关于对称 D.被圆C截得弦长的最小值为 10．数列的前n项和满足，前n项的积为，则 A. B.数列是等比数列 C. 有最大值 D. 11．双曲线C： 的左，右焦点分别为，P是C上一点，且 轴，直线平分，O是坐标原点.下列结论正确的有 A.若，则C的离心率为 B.若，垂足为Q，则 C.与C有唯一公共点 D.与轴的交点在直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有 种. 13．直线与曲线y=x+lnx相切，则= 14．底面边长为的正四棱锥的体积为，则该棱锥的外接球球心到其侧面的距离为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分） 已知数列为等差数列， 是其前n项和，且.数列满足 （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16.(15分） 某科技公司为优化智能客服系统，收集了10000名用户对AI客服的满意度评分（满分100分），现从中随机抽取100名用户的评分数据作为样本，整理得到如下频率分布直方图． （1）求a的值； （2）若给满意度评分从高到低排名前25％的用户发放“AI体验官专属福利”，请估计获得福利的用户的最低评分（结果精确到1分）； （3）现从评分位于［60,90）的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2 人，设这2人中评分落在［60,70）内的人数为X，求X的分布列及数学期望． 17.(15分） 如图，在多面体ABCDE中，AB平面BCD，BC=CD=1 ，BC⊥CD，F为BD中点，· （1）证明：AE平面ABD； （2）若直线AE与平面ACD所成角的正弦值为，求平面ABE与平面ADE夹角的余弦值. 18.(17分） 已知椭圆C：过点和(2,0),，过点M(m,0)的直线与C交于A,B 两点，A在第一象限. （1）求C的方程； （2）若m=1，点D(3,0)，求的取值范围； （3）直线交y轴于点N，M为AN中点，点A关于y轴的对称点为P，延长PM交C于点Q， ，求直线BQ的斜率. 19.(17分） 已知函数 （1）当时，求f(x)的单调区间； （2）设函数 ①若x=1是g(x)的唯一极值点，且是极小值点，求a的取值范围； ②当a>0时，证明g(x)有且仅有一个零点. 高二·数学 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $高2024级高二下质量监测试题 数学参考答案 一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 B A A D B C A 二. 多选题 题号 9 10 11 选项 ABD ABD AD 三.填空题 12.12 a月 5 四、解答题详细解答 1513分) (1)[an}为等差数列，设公差为d =3a=18→2=6 a1+a5=243=18, a2=a1+d=6,联立解得d=3,a1=3,a=3m;················4分 b}道项b1=2公比，b=()”······ ···········7分 011.凸 ···13分 778 1- P 16(15分) 频率分布直方图组距10： (1(0.0.016+0.030+0.040+a+0.004)×10=1解得a=0.010·············3分 (2)前25%即上分位数0.75，累计： 小于80：(0.016+0.030+0.040)×10=0.86>0.75，小于70：0.46，·········4分 0.46+0.04-70)=0.75,x=70+29-=77.25···············6分 0.04 最低分取78·······························7分 (3)[60,70)频数0.03×10×100=30；[70,80)频数40，抽样8人：区间分别抽到3、5； X可取0,1,2 Px=0)=等=8=PX=1)=总P0X=2)= ·············10分 分布列：················· ····12分 0 1 2 P(X) 15 3 14 28 28 1 B(=0x3+1x15+2x 33 ············15分 14 28 284 17八15分) (1)F中点，E=CA,四边形CAEF平行四边形，EF=CA AB⊥平面BCD,AB⊥CD,BC⊥CD,所以CD⊥平面ABC,CD⊥AC; BF⊥CD,建立坐标系： B(0,0,0),C(1,0,0),D(1,1,0)F(1,0.5,0),A(0,0,h),E1,1,h),AE=(1,1,0),平面ABD法向量可取(1，-1,0) AE平行法向量，因此AE⊥平面ABD,证明完毕。···············5分 (2)AC=(1,0,-h),AD=(1,1,-h)平面ACD 法向量n1=0,1,线面角正弦AEnL=一h—=@ AEn1L.2yh2+110角 解得h=子·0分 平面ABE法向量n2=(1,0,,0),平面ADE法向量n3=(2,0,4),夹角余弦 In2:n31 1 In2lIn3l =3”······························15分 2 1817分)(1)代入两点：262≈1 4 ,a2=4,b2=2, a21 椭圆： +号1 分 (2)m=1直线过(1,0)，设x=ty+1联立椭 圆：(t2+2)y2+2ty-3=0…······ 分 y1-y2=222+3 底边MD=2···· t2+2 分 s=×2w1-yl=25.... ◆ t2+2 分 令u=心+32V5,S=兽范围0<S≤ 。。。。。。 2 分 (3)设直线y=kKm,N0,km),中点M(受，-罗)，P(-Xy),向量PM=2MQ利用分点公 式求出Q坐标带入稀圆，化简斜款0-士6 6 19(17分) f0x)=x2-(a+1)x+alnx定义域x0 (1)f☒=X-a+1)+是=x0<a1: 0<x<af(8)>0递增；a<x<1递减；x1递增； 单调递增区间(0，a),(1,+∞：递减区间(a,1)·················5分 2)g☒)=x2-(a+1)x+anx+器 ①g(的)=+等=6区-1（号-）x=1唯一极小值点，x01时-京>0恒成立， 0x<1时g-<0,解得范围a≤0。··。···。·…1分 ②>0分两段讨论：0<x≤1，函数严格单调；x>1极小值，极小值恒大于0，端点极限趋 向正负分析，仅有唯一零点，完成证明···················17分