25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过求根公式推导两根之和与积，衔接知识回顾中的一般式和求根公式，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解定理来源。 其亮点在于推导过程培养推理意识，例题涵盖直接应用、构造方程等类型，练习分层设计，对接中考和拓展延伸提升应用意识。学生能发展运算能力和数学思维，教师使用可系统教学，提升课堂效率。

第二十五章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 一元二次方程根与系数关系的应用 8. 对接中考 1. 了解一元二次方程根与系数的关系，能直接运用该关系快速求出方程两根的和与积. 2. 经历推导根与系数关系的过程，能将方程化为一般形式后灵活应用根与系数的关系解决问题，提升代数推理能力与运算能力. 学习目标 知识回顾 一元二次方程的一般式 () 一元二次方程求根公式 新课导入 一元二次方程 () 的两根为： 两个根的和、积与a,b,c有怎样的关系呢？ ， . , . 新课讲解 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 () 的根与系数的关系为： 特别地，若方程可以化为的形式，则有. . 使用条件： 1. 方程是一元二次方程，即二次项系数不为0； 2. 方程有实数根，即. 新课讲解 思考 ， 即 . 由此可得 ， . 因此 . 从因式分解法可知，方程(，为已知数) 的 两根为 x1 和 x2，将方程化为的形式，你能得出， 与，，之间的关系吗? 新课讲解 例 1. 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2－6x－15＝0； (2) 3x2＋7x－9＝0； (3) 5x－1＝4x2. 解： (1) x1+x2=-(-6)=6， x1x2=-15. 注意公式自身的符号及系数的符号. (2) x1+x2=-=-， x1x2= = = -3. (3)化一般式，得4x2-5x+1＝0， 用根与系数的关系前，一定要化成一般式. x1+x2=-=-=， x1x2= =. 新课讲解 归纳 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则有 Δ≥0且x1x2＞0 Δ≥0且x1x2＜0 x1+x2＞0 x1+x2＜0 x1+x2＞0 x1+x2＜0 两根同为正数 两根同为负数 两根异号且正根的绝对值大 两根异号且负根的绝对值大 新课讲解 练一练 1. 不解方程，求下列方程两个根的和与积. (1) x2－3x＝15； (2) 3x2＋2＝1－4x； (3) 5x2－1＝4x2＋x； (4) 2x2－x＋2＝3x＋1. 解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0， x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15. (2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0， x1＋x2＝－ ， x1x2＝ . (3)方程化为 x2－x－1＝0， x1＋x2＝－(－1)＝1，x1x2＝－1. (4)方程化为 2x2－4x＋1＝0， x1＋x2＝－＝2， x1x2 ＝. 2. 若 是方程 的一个根，则此方程的另一个根是( ) 新课讲解 练一练 A. B. C. D. 解：方法一（利用根与系数的关系） 方程的一个根是，两根之和为 ， ， . 方法二（利用解方程） 把代入方程，得，解得， 原方程为，解方程得， . B 新课讲解 练一练 3. 以2和 为根的一元二次方程可以是 ( ) A. B. C. D. C 新课讲解 知识点2 一元二次方程根与系数关系的应用 例 2. 已知实数 a，b 分别满足 a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且 a≠b，则 的值是( ) A. B. C. D. 解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的形式相同，且 a≠b， ∴ a，b 可以看成是方程 x2-6x+4=0 的两个根， ∴ a+b=6，ab=4， ∴. A 新课讲解 拓展 与一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根 x1，x2 有关的几个代数式的变形 1. ； 2. ； 3. ； 4. (； 6. ； 5. ； 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式，再整体代入. 7. . 新课讲解 例 3. 如果关于 的一元二次方程的两实数根互为相反数，那么 的值为____. 解：设方程的两根为和，由根与系数的关系，得 . 和互为相反数， ，解得 ， 当 时，，方程无实数根； 当 时， ，方程有两个不相等的实数根. 综上， . 新课讲解 练一练 1. 已知m2-2am-2=0，n2-2an-2=0，且m≠n，求(m-1)2+(n-1)2 的最小值． 解：∵ m2-2am-2=0，n2-2an-2=0，且m≠n， ∴ m，n 可以看作关于x 的一元二次方程x2-2ax-2=0 的两个根. ∴ m+n=2a，mn=-2. ∴(m-1)2+(n-1)2=m2-2m+1+n2-2n+1=(m+n)2-2mn-2(m+n)+2=4a2+4-4a+2=(2a-1)2+5. ∵(2a-1)2≥0， ∴(2a-1)2+5≥5. ∴(m-1)2+(n-1)2 的最小值是5． 新课讲解 练一练 2. 已知关于 的一元二次方程 . (1) 求证：不论 取何值，方程总有两个不相等的实数根. (2) 若原方程的两个实数根分别为，，且，求的值. 解：(1) 证明： ． ， ， 不论 取何值，方程总有两个不相等的实数根． (2) 由根与系数的关系，得， ， ， 又， ，解得， ， 的值为或 ． 课堂小结 一元二次方程 +bx +c=0 (a≠0)的根与系数的关系 x1+x2 =﹣ x1x2 = 当堂小练 1. 已知， 是一元二次方程 的两个根，不解方程，求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解：由题意得， . (1) 原式 . (2) 原式 . (3) 原式 . (4) 原式 . 当堂小练 2. 若菱形 ABCD 的一条对角线长为 12，边 CD 的长是方程 x2－12x+35=0 的一个根，则该菱形 ABCD 的周长为( ) A . 20 B. 24 C . 28 D. 20 或 28 C 当堂小练 3. 若一元二次方程x(x+2)-3=0 的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 C 当堂小练 4. 若一元二次方程的两根为，，， ，则 的值为____. 10 解： 一元二次方程的两根为， ， ， . 当堂小练 5. 一元二次方程x2+bx-2=0 中，若b<0，则这个方程根的情况是( ) A. 有两个正根 B. 有一正根、一负根且正根的绝对值较大 C. 有两个负根 D. 有一正根、一负根且负根的绝对值较大 解：∵Δ =b2+8>0， ∴方程有两个不等实根. ∵ x1x2=-2<0， ∴方程有一个正根，一个负根. 又∵x1+x2=-b，b<0， ∴ x1+x2>0. ∴正根的绝对值较大. B 当堂小练 6. 已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若方程有两个实数根，求m的最小整数值； (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1-x2)2+m2=21，求m的值. 解：(1) 根据题意，得Δ =(2m+1)2-4(m2-2)≥ 0，解得. ∴m的最小整数值为-2. 不要忽略一元二次方程有实数根的前提条件为Δ≥ 0 (2) 根据题意，得x1+x2=-(2m+1)，x1x2=m2-2. ∵(x1-x2)2+m2=21， ∴(x1+x2)2-4x1x2+m2=21. ∴(2m+1)2-4(m2-2)+m2=21. 整理，得m2+4m-12=0，解得m1=2，m2=-6. 由(1)可知，∴m的值为2. 当堂小练 2 7. 已知，是关于的方程 的两个实数根，且，则 的值为___． 解：，是关于的方程 的两个实数根， ， ， . 又 ， ，解得或. 经检验，或 均为该分式方程的解. 当时，关于的方程为，此时 ，符合题意； 当时，关于的方程为 ，此时，方程无实数根，不符合题意. . 对接中考 1. 一元二次方程的两个实数根为， ，下列结论正确的是 ( ) A. B. C. D. 解：因为，，， 所以 ， ． D 对接中考 2. 若，为方程 的两根，则 的值为 ( ) A. 1 B. C. D. 4053 解：，为方程 的两根， ， ， ， . . B 拓展与延伸 1. 已知关于 x 的一元二次方程x2－(m+2) x+m－1 ＝ 0． (1) 求证：无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为 x1， x2，且x12+x22 － x1x2=9，求 m 的值． 解：(1) 证明：x2－(m＋2)x＋m－1＝0， 此时a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1. ∴ Δ＝b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1) ＝m2＋4m＋4－4m＋4＝m2＋8. ∵m2≥0，∴Δ＞0. ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2) ∵方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的两个实数根x1，x2， ∴x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1. ∵x12＋x22－x1x2＝9，即(x1＋x2)2－3x1x2＝9， ∴(m＋2)2－3(m－1)＝9，整理得m2＋m－2＝0. ∴(m＋2)(m－1)＝0，解得m1＝－2，m2＝1. ∴m的值为－2或1. 拓展与延伸 1 2. 阅读材料，解答问题： 已知实数，满足， ，且，则，是方程 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道与的和，与 的积.根据上述材料，解决以下问题： (1) 【材料理解】___， ____； (2) 【类比应用】已知实数，满足， ，且，求 的值； 解： 实数，满足， ，且 ， 实数，是关于的方程 的两个不相等的实数根. ， . . 拓展与延伸 (3)【思维拓展】已知实数，满足， ，且，求 的值. 解：当时，， . ， . ， . ， ， ，是关于的方程 的两个不相等的实数根. . . . . $