25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过旧识回顾求根公式和判别式，以问题引导搭建学习支架，引导学生从求根公式运算和因式分解展开两种思路推导韦达定理。 亮点在于注重数学思维与推理能力培养，通过双路径推导让学生经历逻辑推理过程，例题强调规范步骤，检测题设计倒数和、平方和等综合应用，培养模型意识。学生能深化理解提升技能，教师可借助清晰流程和多样例题提高教学效果。

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 人教版(2024)九年级上册 第二十五章 一元二次方程 学习目标 1 会求一元二次方程的两根之和与两根之积 2 能用一元二次方程的根与系数的关系解决问题 旧识回顾 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的两根 x1 和 x2 与系数 a，b，c 还有其它关系吗？ 2.如何用判别式 b2－4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) b2－4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根 b2－4ac＝0 时，方程有两个相等的实数根 b2－4ac＜0 时，方程无实数根 探索新知 思考 思路一：整体上看，两个根分别是“m＋n”和“m－n”的形式，而且式子“n”中含有根号. 这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. 观察求根公式 ，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系？ 探索新知 思考 观察求根公式 ，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系？ 思路一：因为 所以 探索新知 思考 思路二：如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的左边可以分解因式为 a(x－x1)(x－x2)，那么方程的两个根为 x1 和 x2，所以 ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)， 即 ax2＋bx＋c＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2， 由此可得 －a(x1＋x2)＝b，ax1x2＝c， 因此 观察求根公式 ，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系？ 探索新知 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的两个根为 x1，x2，那么 满足上述关系的前提条件 b2－4ac≥0． 人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”． 典型例题 解：(1) x1＋x2 ＝－(－6)＝6， x1x2 ＝－15. 例 5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： (1) x2－6x－15＝0； (2) 3x2＋7x－9＝0 ； (3) 5x－1＝4x2. (2) (3) 方程化为 4x2－5x＋1＝0，所以 用根与系数的关系前，一定要化成一般式． 当堂检测 当堂检测 C 当堂检测 A 当堂检测 C 当堂检测 C 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 本节课学习了哪些知识点呢？ 根与系数的关系 内容 注意 式子成立的前提条件是 b2－4ac≥0 THANKS 1.若a，b是方程的两个实数根，则的值为( ) A. B. C.4050 D.2025 解析：，b是方程的两个实数根， ，，. 2.若方程的两个根是和，则的值是( ) A.4 B.2 C. D. 解析：一元二次方程的两个根是和，其中， 由根与系数的关系可得，， 对所求式子因式分解得 将，代入得原式. 3.若关于x的方程的两根互为相反数，则m的值是( ) A. B. C. D. 解析：设方程两根为，， 方程两根互为相反数，， 对于一元二次方程，由根与系数的关系得：， ，解得：，即， 3.若关于x的方程的两根互为相反数，则m的值是( ) A. B. C. D. 解析：要使方程有两个实根，判别式，即， 代入得：， ，即， ，， . 4.一元二次方程的两根为，则的值为_______________. 解析：一元二次方程的两根为，， ，， . 5.已知关于x的一元二次方程有两个实数根. （1）求实数m的取值范围; （2）设，是方程的两个实数根，若，求实数m的值. 解析：（1）方程有两个实数根，， 即，解得. 实数m的取值范围是. 5.已知关于x的一元二次方程有两个实数根. （1）求实数m的取值范围; （2）设，是方程的两个实数根，若，求实数m的值. 解析：（2）由一元二次方程根与系数的关系可得:，. 则 ，，，即， 或， ，当时，. 6.关于x的方程有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 解析：(1)关于x的方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得，且； 解析：(2)不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于0， 理由如下：设关于x的方程的两个不相等的实数根为，， 则， 方程的两个实数根的倒数之和等于0， ，则， 解得，由(1)知，，且， 不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于0. $