2026-2027学年高一上学期必修一----第一课时-集合的概念-同步训练

**基本信息** 高一数学新授课同步练，聚焦集合的概念、元素特性等核心知识点，通过基础认知、综合应用、拓展探究三层递进设计，实现从概念理解到问题解决的知识巩固路径，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|元素确定性、常用数集、集合表示法|选择题1-5题考查概念辨析，填空题9-10题强化基本运算，夯实符号意识| |综合应用|元素互异性、集合相等、含参集合|选择题6-8题结合方程与集合关系，填空题11-12题渗透分类讨论，提升推理能力| |拓展探究|集合元素个数、参数取值范围|解答题13-15题综合方程与集合性质，构建数学模型，发展应用意识|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第一章 集合与常用逻辑用语 · 第一课时 集合的概念 姓名：________________ 班级：________________ 得分：________________ 说明：本试卷满分100分，建议用时45分钟。考查范围：集合的概念、元素的特性、元素与集合的关系、常用数集、集合的表示方法。 【考点清单】 1. 集合与元素的概念 把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（set），通常用大写拉丁字母 A, B, C, … 表示；集合中的每个对象叫做这个集合的元素（element），通常用小写拉丁字母 a, b, c, … 表示。 2. 元素的三大特性 （1）确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是不是它的元素，必须是明确的，不能模棱两可；（2）互异性：集合中的元素都是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作一个元素；（3）无序性：集合中的元素没有先后顺序之分。 3. 元素与集合的关系 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 a∈A；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，记作 a∉A。元素与集合之间是个体与整体的从属关系，具有方向性。 4. 常用数集及其记法 N 表示非负整数集（自然数集）；N+ 或 N* 表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集。它们之间的包含关系为 N+ ⊊ N ⊊ Z ⊊ Q ⊊ R。 5. 集合的表示方法 （1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法；（2）描述法：一般形式为 {x∈A | P(x)}，其中 x 是代表元素，A 是 x 的取值范围，P(x) 是 x 满足的性质；（3）Venn 图法：用平面上封闭曲线的内部代表集合，直观地表示集合及其关系。 【知识结构思维导图】 图1 集合的概念知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组对象能构成集合的是（ ） A．本校品学兼优的学生 B．大于0且小于10的所有整数 C．与0接近的全体实数 D．平面内到一定点距离很近的全体点 2．下列说法正确的是（ ） A．集合 {1, 2, 3} 与 {3, 2, 1} 是不同的集合 B．0 ∈ N+ C．方程 x²－2x＋1＝0 的解集中含有两个元素 D．由方程 x²－4＝0 的所有实数解组成的集合为 {－2, 2} 3．已知集合 A＝{2, a, a²－2a}，若 3 ∈ A，则实数 a 的值为（ ） A．1 B．3 C．－1 D．－3 4．下列集合中表示同一集合的是（ ） A．M＝{(1, 2)}，N＝{(2, 1)} B．M＝{1, 2}，N＝{2, 1} C．M＝{y | y＝x²＋1}，N＝{(x, y) | y＝x²＋1} D．M＝{x | x²－1＝0}，N＝{(－1, 1)} 5．集合 A＝{x | x＝2k，k∈Z}，B＝{x | x＝2k＋1，k∈Z}，下列关系正确的是（ ） A．0 ∈ A，1 ∈ A B．0 ∈ B，1 ∈ B C．0 ∈ A，1 ∈ B D．0 ∈ B，1 ∈ A 6．已知集合 A＝{x | ax²－2x＋1＝0，x∈R} 至多含有一个元素，则实数 a 的取值范围是（ ） A．a ≥ 1 B．a ≥ 1 或 a＝0 C．a＜1 D．a ≤ 1 7．用描述法表示“平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合”，正确的是（ ） A．{x | x＜0} B．{y | y＞0} C．{(x, y) | x＜0 且 y＞0} D．{(x, y) | x＞0 且 y＞0} 8．设集合 A＝{1, 2, 3}，B＝{x | x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合 B 中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．已知集合 A＝{x | x²－3x＋2＝0}，则集合 A 用列举法可表示为 ____________。 10．设集合 A＝{2, a, a²}，若 1 ∈ A，则实数 a 的值为 ____________。 11．已知集合 M＝{x | x＝3n，n∈Z}，N＝{x | x＝6n，n∈Z}，若 a∈M，b∈N，则 a＋b 与集合 M 的关系是 ____________。 12．已知集合 A＝{x | ax²－2x＋a＝0} 有且仅有两个元素，则实数 a 的取值集合为 ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）已知集合 A＝{x | ax²－2x＋1＝0，x∈R}。 （1）若 A 中至少含有一个元素，求实数 a 的取值范围； （2）若 A 中至多含有一个元素，求实数 a 的取值范围。 14．（14分）设集合 A＝{x | x²＋(m－1)x－m＝0}。 （1）若集合 A 中恰有一个元素，求实数 m 的值； （2）若 2 ∈ A，求实数 m 的值，并写出集合 A。 15．（14分）已知集合 A＝{x | (x－1)(x－a)＝0，x∈R}。 （1）若集合 A 中恰有两个元素，求实数 a 的取值集合； （2）若集合 A 中恰有一个元素，求实数 a 的值； （3）若 1∈A，求实数 a 的值，并讨论集合 A 中元素的个数。 参考答案与解析 一、选择题答案速查 1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．C 【详细解析】 1．【答案】B 【解析】选项A中“品学兼优”标准不明确，缺乏确定性；选项C中“与0接近”没有明确界限，不满足确定性；选项D中“距离很近”同样标准模糊，不满足确定性。只有选项B“大于0且小于10的所有整数”对象明确、可判定，能构成集合。判断一组对象能否构成集合的关键是看是否满足元素的确定性。 2．【答案】D 【解析】选项A错误，集合中的元素具有无序性，{1, 2, 3}与{3, 2, 1}表示同一集合；选项B错误，0不是正整数，0∉N+，但0∈N；选项C错误，方程x²－2x＋1＝0即(x－1)²＝0，解为x＝1（二重根），解集中只有一个元素1；选项D正确，x²－4＝0的解为x＝±2，集合为{－2, 2}。 3．【答案】C 【解析】由3∈A且A＝{2, a, a²－2a}，分两种情况讨论（注意元素的互异性）：①若a＝3，则A＝{2, 3, 9－6}＝{2, 3, 3}，元素3重复，不满足互异性，舍去；②若a²－2a＝3，即a²－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1。当a＝3时，由①知舍去；当a＝－1时，A＝{2, －1, 1＋2}＝{2, －1, 3}，三个元素互异，符合题意。综上，实数a的值为－1，选C。本题关键在于利用元素的互异性进行检验。 4．【答案】B 【解析】选项A中(1,2)与(2,1)是不同的有序数对，集合不同；选项B中{1,2}与{2,1}元素完全相同，由无序性知是同一集合，正确；选项C中M是数集（y的取值集合），N是点集（坐标集合），类型不同；选项D中M＝{－1,1}是数集，N＝{(－1,1)}是含一个点(－1,1)的点集，不同。 5．【答案】C 【解析】集合A＝{x | x＝2k, k∈Z}表示所有偶数，集合B＝{x | x＝2k＋1, k∈Z}表示所有奇数。因为0＝2×0，0∈Z，所以0∈A；因为1＝2×0＋1，0∈Z，所以1∈B。故0∈A且1∈B，选C。 6．【答案】B 【解析】集合A＝{x | ax²－2x＋1＝0}至多含有一个元素，即方程ax²－2x＋1＝0至多有一个实数解。分两种情况：①当a＝0时，方程为－2x＋1＝0，有一个解x＝1/2，符合；②当a≠0时，需判别式Δ＝(－2)²－4a·1＝4－4a ≤ 0，即a ≥ 1。综上，a的取值范围是a ≥ 1或a＝0，选B。 7．【答案】C 【解析】第二象限的点的特征是横坐标x＜0且纵坐标y＞0。集合的元素是点，应表示为有序数对(x, y)，且满足x＜0且y＞0。选项A、B的元素是数不是点；选项D表示的是第一象限的点；只有选项C正确。注意代表元素的形式决定了集合的类型。 8．【答案】C 【解析】由a∈A＝{1,2,3}，b∈A＝{1,2,3}，a＋b的所有可能取值为：1＋1＝2，1＋2＝3，1＋3＝4，2＋1＝3，2＋2＝4，2＋3＝5，3＋1＝4，3＋2＝5，3＋3＝6。由互异性去重后，B＝{2, 3, 4, 5, 6}，共5个元素，选C。 二、填空题 9．【答案】{1, 2} 【解析】解方程x²－3x＋2＝0，即(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2，故A＝{1, 2}。 10．【答案】－1 【解析】由1∈A＝{2, a, a²}，分两种情况讨论（注意互异性）：①若a＝1，则A＝{2, 1, 1}，元素1重复，不满足互异性，舍去；②若a²＝1，则a＝1或a＝－1。当a＝1时，由①知舍去；当a＝－1时，A＝{2, －1, 1}，三个元素互异，符合题意。综上，实数a的值为－1。 11．【答案】a＋b∈M 【解析】由a∈M＝{x | x＝3n, n∈Z}，设a＝3n₁（n₁∈Z）；由b∈N＝{x | x＝6n, n∈Z}，设b＝6n₂（n₂∈Z）。则a＋b＝3n₁＋6n₂＝3(n₁＋2n₂)，因为n₁＋2n₂∈Z，所以a＋b＝3(n₁＋2n₂)∈M，即a＋b∈M。 12．【答案】{a | －1＜a＜1 且 a≠0} 【解析】集合A＝{x | ax²－2x＋a＝0}有且仅有两个元素，即方程ax²－2x＋a＝0有两个不相等的实数解。首先a≠0（否则为一次方程，至多一个解）；其次判别式Δ＝(－2)²－4·a·a＝4－4a²＞0，即a²＜1，解得－1＜a＜1。综上，a的取值集合为{a | －1＜a＜1 且 a≠0}，即区间(－1, 0)∪(0, 1)。 三、解答题 13．【答案】（1）a ≤ 1；（2）a＝0 或 a ≥ 1 【解析】集合A＝{x | ax²－2x＋1＝0, x∈R}中至少含有一个元素，即方程ax²－2x＋1＝0至少有一个实数解。 （1）当A中至少含有一个元素时，分两种情形讨论： ①当a＝0时，方程化为－2x＋1＝0，解得x＝1/2，此时A＝{1/2}，含一个元素，符合题意； ②当a≠0时，方程为二次方程，至少有一个实数解需判别式Δ＝(－2)²－4a·1＝4－4a ≥ 0，解得a ≤ 1且a≠0。 综合①②，实数a的取值范围是a ≤ 1，即(－∞, 1]。 （2）当A中至多含有一个元素时，即方程ax²－2x＋1＝0至多有一个实数解： ①当a＝0时，方程有一解x＝1/2，符合； ②当a≠0时，需Δ＝4－4a ≤ 0，即a ≥ 1。 综上，实数a的取值范围是a＝0 或 a ≥ 1。 14．【答案】（1）m＝－1；（2）m＝－2，A＝{1, 2} 【解析】（1）集合A＝{x | x²＋(m－1)x－m＝0}中恰有一个元素，即方程x²＋(m－1)x－m＝0有两个相等的实数解。 判别式Δ＝(m－1)²－4×1×(－m)＝(m－1)²＋4m＝m²－2m＋1＋4m＝m²＋2m＋1＝(m＋1)²。 令Δ＝0，得(m＋1)²＝0，解得m＝－1。 此时方程为x²－2x＋1＝0，即(x－1)²＝0，解为x＝1（二重根），A＝{1}，恰有一个元素，符合题意。 （2）若2∈A，则2是方程x²＋(m－1)x－m＝0的解，将x＝2代入得4＋2(m－1)－m＝0， 即4＋2m－2－m＝0，化简得m＋2＝0，解得m＝－2。 当m＝－2时，方程为x²－3x＋2＝0，即(x－1)(x－2)＝0，解得x＝1或x＝2， 故集合A＝{1, 2}，此时2∈A成立，符合题意。 15．【答案】（1）{a | a≠1}；（2）a＝1；（3）a为任意实数，当a≠1时A有2个元素，当a＝1时A有1个元素 【解析】集合A＝{x | (x－1)(x－a)＝0, x∈R}，方程(x－1)(x－a)＝0的解为x＝1或x＝a。 （1）若集合A中恰有两个元素，则1与a不相等，即a≠1。故实数a的取值集合为{a | a≠1}。 （2）若集合A中恰有一个元素，则1与a相等（二重根），即a＝1。此时A＝{1}，恰有一个元素。 （3）若1∈A，由于方程(x－1)(x－a)＝0必有解x＝1，故1∈A恒成立，a为任意实数。 当a≠1时，方程有两个不同的解x＝1和x＝a，集合A＝{1, a}，有2个元素； 当a＝1时，方程(x－1)²＝0有二重根x＝1，集合A＝{1}，有1个元素。 综上，1∈A时a为任意实数；当a≠1时A有2个元素，当a＝1时A有1个元素。 高一数学必修一 · 第一课时 集合的概念 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $