精品解析：山东省青岛市莱西市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年度第二学期期末质量检测 初三数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题和解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 1. 实数的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，然后将√5的倒数进行分母有理化即可得出答案． 【详解】解：的倒数为， 故选：A． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了化简二次根式，二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则与二次根式的化简逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算正确，符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、一元二次方程根的判别式、解分式方程，解决本题的关键是逐一分析各选项方程是否有实数根，结合平方根的非负性、二次方程判别式及分式方程的解进行判断． 【详解】解：A选项：二次根式是非负数， ， 没有实数根， 故A选项没有实数根； B选项：一元二次方程中， ，，， ， 一元二次方程有两个相等的实数根， 故B选项有实数根； C选项：一元二次方程中， ，，， ， 没有实数根， 故C选项没有实数根； D选项：解方程， 可得：， 检验：当时， ， 是原分式方程的增根， 原分式方程无解， 故D选项没有实数根． 故选：B． 4. 某种品牌运动服经过两次降价，每件的零售价由400元降为288元，已知第二次降价的百分率是第一次的2倍，求第一次降价的百分率．设第一次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设第一次降价的百分率为，则第二次降价的百分率为，根据两次降价后的价格关系，建立方程即可求解． 【详解】解：根据题意，两次降价后的价格为288元，因此方程为：， 故选：D． 5. 已知下列图中的虚线均为平行线，则线段，，，的数量关系为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 【详解】解：A、由图知，，即，故选项不符合题意； B、由图知，，即，故选项不符合题意； C、由图知，，即，故选项符合题意； D、由图知，，即，故选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形判定和性质，掌握其判定方法是关键． 判定两个三角形相似的方法有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【详解】解：∵， ∴，即， 选项A，添加，运用两角分别相等的两个三角形相似，可证． 选项B，添加，用两角分别相等的两个三角形相似，可证． 选项C，添加，运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证． 选项D，添加，两边对应成比例，但不是夹角相等，不能判定． 故选：D． 7. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，其图象如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 已知机器狗无载重时的最快移动速度为，则机器狗的质量为 C. 机器狗的质量越大，其移动速度越快 D. 要使机器狗最快移动速度不低于，其载重后总质量不能大于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解决本题的关键是根据函数图象中的数值求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断． 【详解】解：A选项：设与的函数关系式是， 由图可知，当时，， 可得：， 解得：， 与的函数关系式是， 故A选项正确； B选项：当时， 可得：， 解得：， 机器狗的质量为， 故B选项正确； C选项：， 在第一象限内随着的增大而减小， 机器狗的质量越大，其移动速度越慢， 故C选项错误； D选项：机器狗的最快移动速度不低于， ， 解得：， 要使机器狗的最快移动速度不低于，其载重后总质量不能大于， 故D选项正确． 故选：C． 8. 反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了一次函数与反比例函数的图象，掌握一次函数与反比例函数的系数与图象的关系是解题关键．根据和两种情况判断函数图象，即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象在第一、二、四象限，即B、C选项错误； 当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象在第一、二、三象限，即A选项正确，B选项错误； 故选：A 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式的有意义的条件，分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴且； 故答案为：且 10. 已知关于x的一元二次方程，则它的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 11. 对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义的二次根式运算． 直接根据新定义计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 下表列出了反比例函数三对x与y的对应值： x 2 3 y 则，，的大小顺序是_______．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质.根据反比例函数图像的性质，判断即可． 【详解】解：， 反比例函数的图像在二、四象限，并且在每一个象限内随的增大而增大， ， ， ， 、在第四象限， ， ． 故答案为：． 13. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离分别为，则实像的高度为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题是相似三角形应用，考查了相似三角形的判定与性质，证明，利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求得实像的高度． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴=（相似三角形对应边上的高之比等于相似比）， 分别为，的高为， ∴， ∴， ∴实像的高度为， 故答案为：． 14. 如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为________． 【答案】和 【解析】 【分析】本题考查了等面积法，解一元二次方程． 设，则，根据等面积法计算即可． 【详解】解：设， ∵矩形的面积为， ∴， ∴，， ∵ ∴ 整理得：， 解得：，， 故答案为：和． 二、解答题（本题满分78分，共10小题） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）先化简，进行除法运算，再进行加减运算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 ． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）将方程转化为一般式，利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 ； 解： 即 ∴或 ∴，． 【小问2详解】 ． 解：原方程可化为， ， ∴， ∴，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）与是以P点为位似中心的位似图形，点都在格点上，则点P的坐标为 ； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． 【答案】（1） （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，熟练掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）根据位似图形的位似中心为对应点所连线段所在直线的交点上，确定点的坐标即可； （2）根据位似图形的性质，画出即可． 【小问1详解】 解：由题意，点的位置如图所示， 由图可知：； 【小问2详解】 由题意，画图如下： 18. 人们把叫黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，代数式求值，把代入代数式进行求解即可． 【详解】解：将代入，得 ． 19. 如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，求此时液面AB的宽度． 【答案】液面的宽度为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质． 如图，作于，则，由题意知，，，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，则， 由题意知，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 答：液面的宽度为． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程有一根为2，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，方程的解，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有2个不相等的实数根，得到判别式大于0，进行求解即可； （2）把代入方程，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 根据题意，得， 解得． 【小问2详解】 ∵2是方程的一个根， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 21. 沈阳是国家历史文化名城，清朝发祥地，素有“一朝发祥地，两代帝王都”之称．现有阳光旅行社专门定制了一条来我市的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元．但人均旅游费用不得低于700元．如果该旅行社组织的一个来我市的旅行团共收取了费用27000元，求这个旅行团的人数． 【答案】这个旅行团的人数为30人 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设这个旅行团的人数为人，则人均旅游费用为元，利用总旅游费用人均旅游费用人数，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】解：设这个旅行团的人数为人，则人均旅游费用为：（元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去； 答：这个旅行团的人数为30人． 22. 在中，，，，依次作正方形，正方形，正方形，…，正方形．顶点，，，…，在边上，顶点，，，…，在边上． （1）求的长及的值； （2）直接写出的长及的值； （3）猜想的值，并直接写出的长（用含n的代数式表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）先证明，设正方形边长为x，求出，即可求出； （2）同（1）方法证明即可； （3）找出规律作答即可． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设正方形边长为x，则 即 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：同（1）可知， 设正方形边长为y，则， 即， 解得， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：， …… 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时，x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键； （1）将点坐标代入即可得出反比例函数，求得函数解析式，进而求得的坐标，再将、两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）由题意即求的的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的的取值范围； （3）由题意，设且，则，求得，根据三角形面积公式得到，解得即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴反比例函数的解析式为， 把代入，得， ∴点坐标为， ∵一次函数解析式，经过，， 故得 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 由， ∴，即反比例函数值小于一次函数值． 由图象可得，； 【小问3详解】 由题意，设且， 解得， 或． 24. 如图，已知四边形中，，，动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．于点E．设运动时间为，解答下列问题： （1）当时，求t的值； （2）当t为何值时，以A，D，P为顶点的三角形与相似？ （3）是否存在某一时刻t，使将四边形分成面积相等的两部分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）不存在，见解析 （4）存在，， 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1），过D作于点E，则四边形是矩形，可得，由勾股定理可得；证明，由平行线分线段成比例定理得到，即，则． （2）证明，由相似三角形的性质得到，．再分和两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）．，则，据此利用判别式求解即可； （4）可证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过D作于点E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴； ∵， ∴， ∴ ∴当时，则， ∴，即， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，． 当时， ∴，即， ∴（已检验，符合题意）． 当时， ∴，即 ∴（已检验，符合题意）． ∴当或时，以A，D，P为顶点的三角形与相似． 【小问3详解】 解：不存在某一时刻t，使将四边形分成面积相等的两部分，理由如下： ． ， ∴． ∵， ∴方程无实根． ∴不存在某一时刻t，使将四边形分成面积相等的两部分． 【小问4详解】 解：∵， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得，（已检验）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期末质量检测 初三数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题和解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 1. 实数的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 某种品牌运动服经过两次降价，每件的零售价由400元降为288元，已知第二次降价的百分率是第一次的2倍，求第一次降价的百分率．设第一次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知下列图中虚线均为平行线，则线段，，，的数量关系为的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，其图象如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 已知机器狗无载重时的最快移动速度为，则机器狗的质量为 C. 机器狗的质量越大，其移动速度越快 D. 要使机器狗的最快移动速度不低于，其载重后总质量不能大于 8. 反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 10. 已知关于x的一元二次方程，则它的解为_______． 11. 对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算_______． 12. 下表列出了反比例函数三对x与y的对应值： x 2 3 y 则，，的大小顺序是_______．（用“<”连接） 13. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离分别为，则实像的高度为 ____． 14. 如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为________． 二、解答题（本题满分78分，共10小题） 15 计算： （1）； （2）． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）与是以P点为位似中心的位似图形，点都在格点上，则点P的坐标为 ； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． 18. 人们把叫黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，求的值． 19. 如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，求此时液面AB的宽度． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程有一根为2，求m值． 21. 沈阳是国家历史文化名城，清朝发祥地，素有“一朝发祥地，两代帝王都”之称．现有阳光旅行社专门定制了一条来我市的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元．但人均旅游费用不得低于700元．如果该旅行社组织的一个来我市的旅行团共收取了费用27000元，求这个旅行团的人数． 22. 在中，，，，依次作正方形，正方形，正方形，…，正方形．顶点，，，…，在边上，顶点，，，…，在边上． （1）求的长及的值； （2）直接写出的长及的值； （3）猜想的值，并直接写出的长（用含n的代数式表示）． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时，x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴垂线，垂足为M，交反比例函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 24. 如图，已知四边形中，，，动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．于点E．设运动时间为，解答下列问题： （1）当时，求t的值； （2）当t为何值时，以A，D，P为顶点的三角形与相似？ （3）是否存在某一时刻t，使将四边形分成面积相等的两部分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$