3.1.2　第1课时　函数的表示法-----2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦函数的表示法及解析式求解，通过“买铅笔”的实际情境导入，从定义域、解析式到表格表示逐步过渡，衔接函数定义，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解列表法、图象法、解析法的应用。 其亮点在于以数学抽象和直观想象为核心，通过问题情境、典例解析（如待定系数法求解析式）及类题通法总结，结合合作探究与定向训练，培养学生用数学眼光观察、用数学思维推理的能力。学生能提升函数表示与转化技能，教师可直接利用系统教学资源提高课堂效率。

3.1.2　函数的表示法 第1课时　函数的表示法 素养目标 思维导图 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数(数学抽象). 2.理解函数图象的作用(直观想象). 课前自主学习 问题:某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔.每支铅笔的价格为0.5元,共需y元.于是y与x间建立起了一个函数关系. (1)该函数的定义域是什么? 提示:{1,2,3,4,5}. (2)y与x有何关系? 提示:y=0.5x,x∈{1,2,3,4,5}. (3)试用表格表示y与x之间的关系. 提示: 铅笔数x/支 1 2 3 4 5 钱数y/元 0.5 1 1.5 2 2.5 (4)试用图象表示y与x之间的关系. 提示: 【核心概念】 1.列表法:通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 2.图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 3.解析法:用解析式表示两个变量之间的对应关系. 课堂合作探究 探究点一　待定系数法求函数解析式 【典例1】(1)已知函数F(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且F()=16,F(1)=8,则F(x)的解析式为　　　　　　　.  【思维导引】分别利用正比例函数、反比例函数设出F(x),根据条件求系数. 【解析】设f(x)=kx(k≠0),g(x)=(m≠0,且x≠0),则F(x)=kx+. 由F()=16,F(1)=8,得 解得所以F(x)=3x+(x≠0). 答案:F(x)=3x+(x≠0) (2)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x). 【思维导引】利用待定系数法,根据已知条件列方程组求解即可. 【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x, 所以所以 所以f(x)=x2-2x-1. 【类题通法】待定系数法的适用条件及步骤 (1)适用条件:函数的类型已知. (2)一般步骤: ①设出解析式; ②依据条件列出方程(组); ③解方程(组)写出解析式. 【定向训练】 1.设二次函数f(x)满足:对任意x∈R,都有f(x+1)+f(x)=2x2-2x-3 ,求f(x)的解析式. 【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)+f(x)=2ax2+(2a+2b)x+a+b+2c=2x2-2x-3,所以解得 从而f(x)=x2-2x-1. 2.已知函数y=f(x)是一次函数,且f(2x)+f(3x+1)=-5x+9,求f(x)的解析式. 【解析】由题意,设一次函数的解析式为f(x)=kx+b(k≠0), 由f(2x)+f(3x+1)=-5x+9可得2kx+b+k(3x+1)+b=-5x+9,整理得5kx+k+2b=-5x+9,即解得 所以函数的解析式为f(x)=-x+5. 探究点二　换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式 【典例2】(一题多解) (1)已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式. (2)已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,求f(x). 【思维导引】熟练掌握换元法、配凑法、方程组法求函数解析式的格式和步骤是解答的关键. 【解析】(1)方法一(换元法):设x+1=t,则x=t-1,所以f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1,即f(t)=t2+2t-2,所以所求函数解析式为f(x)=x2+2x-2. 方法二(配凑法) : f(x+1)=x2+4x+1=(x+1)2+2(x+1)-2, 所以所求函数解析式为f(x)=x2+2x-2. (2)2f(x)+f()=3x①, 将①中x换成,得2f()+f(x)=②, ①×2-②得3f(x)=6x-. 所以f(x)=2x-. 【类题通法】 1.换元法的适用条件及步骤 适用类型:已知f(g(x)),求f(x)的解析式. 一般步骤: (1)换元:令t=g(x),并写出t的范围. (2)求解:用t表示x. (3)代入:将用t表示的x代入原式,写出解析式. 2.用方程组法求函数解析式 已知f(x)与f(φ(x))满足的关系式,要求f(x)时,可用φ(x)代替两边的所有x,得到关于f(x)及 f(φ(x))的方程组,解之即可求出f(x). 【定向训练】 1.已知f(x2+1)=x4-1,则函数f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=x2-2x B.f(x)=x2-1(x≥1) C.f(x)=x2-2x+2(x≥1) D.f(x)=x2-2x(x≥1) 【解析】选D.设x2+1=t≥1,则x2=t-1, 所以f(t)=(t-1)2-1=t2-2t, 所以f(x)=x2-2x(x≥1). 2.已知函数f(x)的定义域为R,对任意x∈R均满足:2f(x)-f(-x)=4x+1,则函数f(x)的解析式为 (　　) A.f(x)=x+1 B.f(x)=x-1 C.f(x)=-x+1 D.f(x)=-x-1 【解析】选A.由2f(x)-f(-x)=4x+1①, 可得2f(-x)-f(x)=-4x+1②,①×2+②得:3f(x)=4x+3,即f(x)=x+1. 探究点三　用函数图象、表格表示函数 【典例3】画出下列函数的图象,并求值域. (1)f(x)=1-x,x∈Z,-2≤x≤2; (2)f(x)=(x-1)2+1,x∈(-2,3]; (3)f(x)=2; (4)f(x)=-1,x∈[-1,0)∪(0,2]. 【思维导引】看函数的类型→看函数的定义域→描点、连线、成图. 【解析】(1) 函数的值域是{3,2,1,0,-1}; (2) 函数的值域是[1,10); (3) 函数的值域是{2}; (4) 函数的值域是(-∞,-2]∪[-,+∞). 【类题通法】 1.图象法是表示函数的方法之一,它能直观形象地表示函数的变化情况,是数形结合法求解函数问题的基础. 2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意关键点,如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等,还要分清这些关键点是实心点还是空心点. 【知识延拓】作函数图象的步骤 【定向训练】 1.函数y=g(x)的对应关系如表所示,函数y=f(x)的图象是如图所示的曲线ABC,则g[f(3)-1]的值为(　　) x 1 2 3 g(x) 2 024 0 -2 024 【解析】选A.根据题意,可得f(3)=2,则g[f(3)-1]=g(2-1)=g(1)=2 024. 2.画出下列函数的图象: (1)y=x+1(x≤0); (2)y=x2-2x(x>1或x<-1). 【解析】(1)y=x+1(x≤0)表示一条射线,图象如图①. (2)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1或x<-1)是抛物线y=x2-2x去掉-1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线,如图②实线部分. 课堂练习 1.反比例函数f(x)满足f(3)=-6,则f(x)= (　　) A. B. C. D.- 【解析】选D.设f(x)=(k≠0),则=-6,k=-18,所以f(x)=-. 2.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(-1)+f(0)+f(1)等于(　　) A.2 B.-2 C.0 D.1 【解析】选C.由题图知f(-1)=-1,f(0)=0,f(1)=1, 所以f(-1)+f(0)+f(1)=-1+0+1=0. √ √ 3.已知函数f(2x+1)=6x+5,则f(x)的解析式是　　　　　　.  【解析】方法一:令2x+1=t,则x=. 所以f(t)=6×+5=3t+2,所以f(x)=3x+2. 方法二:因为f(2x+1)=3(2x+1)+2,所以f(x)=3x+2. 答案:f(x)=3x+2 4.一个面积为100 cm2的等腰梯形,上底长为x cm,下底长为上底长的3倍,则它的高y与x的函数关系为　　　　　.  【解析】由梯形的面积公式得100=·y,得y=(x>0). 答案:y=(x>0) 5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0)满足f(3)=f(-1)=0, (1)求f(x)的解析式. (2)画出f(x)的图象. (3)写出其值域. 【解析】(1)由f(3)=f(-1)=0得: 即 解得: 所以f(x)的解析式为f(x)=-x2+2x+3. (2)列表如下: x -1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 描点,连线得f(x)的图象如图所示: (3)由图可知:其值域为(-∞,4]. 谢 谢 $