福建漳州市2025-2026学年下学期期末教学质量检测高一数学试题

2025-2026学年（下）期末高中教学质量检测 高一数学（必修二）参考答案及评分细则 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半： 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1 4 5 6 8 D B 0 C A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多 个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 CD ACD ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.5 13.0.8 14.6 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) (I)a+b=(2+x,-1), …2分 由a∥(a+b)可得-1×2=1×(2+x),解得x=-4. …5分 (Ⅱ)因为2a-b=(4-x,4④， 。。。。。。。。。。。。。。。。 …6分 由a1(2a-b)可得2(4-x)+4=0,解得x=6, …8分 所以五=-(6，-2)，a-i=2x6+1x(-2)=10,d=V5,6=210 )05而-宁， a.b 10 2 …11分 又(a,)e[0,,所以向量a与6的夹角为 …13分 高一数学（必修二)参考答案及评分细则第1页（共5页) 16.(15分) (I)在坐标系xOy中，如图1， 8 过点C作C"D⊥OA',垂足为D, D A'x 70图1 又因为四边形OAB'C"是直角梯形， 所以四边形A'B'CD'是矩形，所以OD=OA'-B'C"=√2， E A x o 图2 因为∠Oy=牙，所以0C=50D=2,…2分 建立平面直角坐标系xOy,画出直角梯形OAB'C'的原图直角梯形OABC,如图2所示， 满足0A=2W2,0C=20C=4,CB=CB=√2，CB10C,…5分 过点B作x轴的垂线，垂足为E,连接BE,BE=OC=4, 在Rt△ABE中，EA=OA-CB=√2，AB=VEA2+EB2=32,…6分 所以直角梯形0ABC的面积为Sasc65+2x4-65。 …7分 直角梯形0ABC的周长为佛0Bc=√2+2V2+3√2+4=6V2+4.…8分 (Ⅱ)题中旋转一周得到的几何体为圆柱和圆锥的组合体， (后续计算正确，此处不扣分)…。 …9分 该组合体中，圆柱、圆锥的底面半径均为4，高均为√2； 所得旋转体的表面由圆柱的一个底面、侧面及圆锥的侧面组成， 圆柱的一个底面积为S=元×42=16元，… …10分 侧面积为S,=2元x4x√2=8√2元，… …12分 圆锥的母线AB=3v2,侧面积为S,=元×4x3W2=12W2元， 14分 S+S2+S3=12W2元+8V2元+16元=20W2元+16元， 所以旋转体的表面积为20v2π+16元.… …15分 17.(15分) (（I)设事件A=“三-4i为实数”，… …1分 若=-4i为实数，即a+bi-4i=a+(b-4)i为实数，所以b-4=0,即b=4,…3分 该事件只与第二次抛掷骰子有关，与第一次抛掷骰子无关， 所以样本空间21={1,2,3,4,5,6}，… …4分 故P(4)=n(4_1 (2,)6,即事件“三-4i为实数”的概率为之 …7分 高一数学（必修二)参考答案及评分细则第2页（共5页) (I)设事件B=“2-2≤4”，样本空间22={(a,b)川a,b∈21}， 所以n(22)=6×6=36 …8分 由已知，-2=a-2+bi=V(a-2)+b2≤4， …10分 所以b的值只能取1,2,3,4： 当b=1时，(a-2)5,即a可取1,2,3,4,5： 当b=2时，(a-2)≤12，即a可取1,2,3,4,5： 当b=3时，(a-2)≤7，即a可取1,2,3,4： 当b-4时，(a-2)≤0，即a可取2. 由上可知，共有15种情况下可使事件B成立，即(B)=15,…13分 故P(B)= n(B)155 Q)56立即事件“上-254”的概率为 …15分 18.(17分) (I)由正弦定理，得sin AcosC+sin Asin C=sinB+√2sinC,…1分 因为sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C, 所以sinAsinC=cosAsinC+√2sinC,… …2分 因为smC≠0，所以5inA=c0s4+V5,即Y5sn4-cosA0=, 所以n(4-孕-1， 4分 因为A∈(0，)，所以A=3π …5分 4 (Ⅱ)设∠ACB=a, 6 b —=22 (i)在△ABC中，由正弦定理，得sinA sin.∠ABC sin(-a)） ,所以b=2√2$im(巴-a), 4 所拟8-hsma=2万m经ma 6分 4 oina)rina 2 =2(cosa-sin a)sin a=sin 2a-2sin2a, 在ABCD中，S=8 c2a=m2a, …7分 因为2(S2-S)=1,所以2[sin2a-(sin2a-2sim2a]=1, 1 解得sin'a=4,又sina>0,所以sina= 8分 因为0<a界所以a-吾即∠ACB- 6 10分 高一数学（必修二）参考答案及评分细则第3页（共5页） (ii)取BC中点M,连接AM,DM, 因为G,G2分别为△ABC和△BCD的重心，所以3MG1=AM,3MG=DM, 所以GG川AD,所以3GG3=AD,…12分 在△BC中，白正弦定理，得4CBa25,所以c=25n, 因为∠ABD=∠A8c+∠DaC-年-a+2a- 4+, 在△ABD中，由余弦定理， 得AD2=(2√2$im）}2+12-2×1x22 sinac0s(5+)）…13分 =8sin2a+1-4sin a(cos a-sina) =61-c0s2)+1-2sim2 =7-(2sin 2a+6cos 2a) =7-2w10(1sinm22+3 c0s2) 10 10 14分 1 设cosp=i0,s如p i而，且安<空 3 4 21 所以AD2=7-2W10sin(2+p), 当si血(2a+p)=1,即2a+p=元， i,2a=sm(9=60-时，ADa=7-20, 10 所以当2a-0<a<孕，即m∠Gn=时，aa时有小省7二) 10 10 …17分 19.(17分) 解法一：(I)(i)连接AC,交BD于点O,连接OF, 因底面ABCD是边长为2的菱形，则O是AC的中点， 又因为F为线段PC的中点，所以PA∥OF，,…1分 又因为PA文平面BDF,OFC平面BDF, G D 所以PA/∥平面BDF.…3分 E (i)因为平面PAD∩平面BDF=I,PAC平面PAD, Ae- PA∥平面BDF, 所以PA/∥l.…5分 (IⅡ)过点D作直线I满足PA∥I,因为PA⊥PD,所以PD⊥I, 6分 因为PDC平面PAD,平面PAD⊥平面BDF,平面PAD∩平面BDF=I, 所以PDL平面BDF,…7分 因为BDC平面BDF,所以PD⊥BD, 因为△PAD是等腰直角三角形，所以PD=√2， 因为AB=AD=2,∠BAD=60°，所以△ABD是等边三角形，所以BD=2, 因为PD LBD,所以PB=V6, 在△PEB中，cOs∠PBB=PE+EB-PB1+3-61 2PE.EB 所以mE8=-o4P咖-5Sw专P8 P5 1 2 …9分 因为PA=PD,AB=BD=2,所以AD⊥PE,AD L EB, 又因为PE,EBC平面PEB,PE∩EB=E,所以ADL平面PEB,·10分 高一数学（必修二）参考答案及评分细则第4页（共5页） 所以m=职=m4款e×业-手9-2 323 所以四棱锥P-ABCD的体积为2V2 …12分 3 (I)由(II),知EDL平面PEB,又BGc平面PEB,所以ED⊥BG, 又因为EG⊥PB(即EG⊥BG),EG∩ED=E,EG,EDC平面DEG,所以BG⊥平面DEG, 因为DGC平面D贴G,所以BG1DG,所以oG-号D-1, 因为4D1BB,即BD1B,所以O5-号BD=1 所以OE=OB=OD=OG=1,所以R=1,…14分 设四面体BD8G体积为P,表面积为8，则P-, 所y3 DE-360+8ag+5g+550） …15分 即EG·BG.DE=r(EG.BG+DE·EG+DE·BE+BG·DG), 因为DE=}AD=1,BB=V5,所以BG-BG=7BG,BG+BG+N5+BG-D9, 所以1BGBG+BG+5+BG:DG=1+↓+5+DG EG·BG BGEG·BG'EG 在Rt△EDG,Rt△EBG中，有DG>EG,EG<V5, 防以品11，斯时1G 1 EG BG BG +1=2+2 BG 因为R=1,所以>2+2 …17分 BG 解法二：（I)同解法一…5分 (Ⅱ)过点D作直线l满足PA∥I,因为PA⊥PD,所以PD⊥I,… …6分 因为PDC平面PAD,平面PAD⊥平面BDF,平面PAD∩平面BDF=l, 所以PD⊥平面BDF,… …7分 因为DFC平面BDF,所以PD⊥DF, 取DC中点M,连接FM,所以PD∥FM,且FM⊥DF, 依题意有PD=反，所以M=巨 …8分 2 又DM=1,所以DF=y2 2 在An0中，0=号B=1,D-0r-号，所以D+0P=20, 2 所以∠0-导所以D.DBsin8 D-分 …10分 2 4o-识w=,=1m0号分5.2 32 3 所以四楼锥P-ABCD的体积为2y 12分 3 ()参考解法一…17分 高一数学（必修二)参考答案及评分细则第5页（共5页)2025-2026学年（下）期末高中教学质量检测 高一数学试题选填解析 一、单项选择题： 1.【答案】D 【解析】=1+1的共轭复数三=1-i,位于复平面内的第四象限.故选D 2.【答案】B 3 【解析】红肉蜜柚抽取的数量为45×。 =15.故选B. 2+3+4 3.【答案】D 【解析】如图，在正四面体ABCD中，取BD中点O,连接AO,CO, 可知AO⊥BD,CO⊥BD,AO∩CO=O, B 所以BD⊥平面AOC,ACC平面AOC,所以BD⊥AC,所以AC 与BD所成角为匹故选D, 4.【答案】A 【解析】由图可知，直方图是左边“拖尾”，所以平均数小于中位数，即<b。又直方图 中最高小矩形的底边中，点是众数，中位数b左边和右边直方图的面积应该相等，所以 b<c.故选A 5.【答案】B 【解析】设A,A分别表示甲两轮答对1道，2道强基试题的事件，B,B2分别表示乙两 轮答对1道，2道强基试题的事件.根据独立性假定，得P(A)=一× 3、1,133 44448 4)-78a)-号号a)-号号 4416 3391 设A=“两款软件在两轮测试中共答对3道题”，则A=AB,十AB,, 且AB2与AB互斥，A与B,,A与B相互独立， 所以P(4=P4B,)+P4,B)=P4)P(B,)+P4,)P(B)=故选B 12 6.【答案】C 【解析】如图，设线段AA1、BB,、CC1、DD的中点分别为4、B2、C2、D, 易知四边形AAB,B为等腰梯形，因为线段AA、BB,的中点分别为A、B2, 所以4，B=AB+4B-4牛2=3： 2 2 设棱台ABCD,-ABCD2的高为h,体积为V, 所以棱台ABCD-AB,C1D的高为2h,设其体积为V, 则=号+3+2x3h-号，P-4+22×车)2h=药， 3 高一数学（必修二)试题选填解析第1页（共3页） 56h 以9，故该方+可盛未的总质管为治38-12截选心 56 所 3 3 7.【答案】C 【解析】如图，直径EF∥AB,过F作FD⊥AB,垂足为D, 易知△AOB是等边三角形.因为AC·AB=AC 4B cos.∠CAB, 所以AC·AB可看作AC在AB上投影与AB的乘积 所以由图可知当C与F重合时，AC在AB上投影最大， 因为AE=2,所以AC·AB最大值为ADAB E 设M为AB的中点，则AM=AB=1,MD=OF=2, G 所以AD-3,故AC.AB的最大值为ADAB=2x3=6 同理，当C与E重合时，AC在AB上投影最小，AC·AB=ABAG=-1×2=-2. 所以AC.AB的取值范围为[-2,6].故选C. 8.【答案】A BC CD BC 【解折】在△BcD中，由正孩定理，有sinDsin二CBD,所以mm(+刀，则 BC=ssiny 在RIAABC中，tana=tan ZACB=C,所以AB=BCtand ssin ytan a sin(B+y） sin(B+y） 故选A. 二、多项选择题： 9.【答案】CD 【解折】对于选项A,因为∑(：-，所以A错误： n 对于选项B,当数据，，，的方差2=0时，所有的数据，飞，，x都 相等，但不一定为0，所以B错误： 对于选项C,因为数据x,x,…,的平均数为x=3,所以数据 y=2x,+1(i=12,…,n)的平均数为2×3+1=7，所以C正确： 对于选项D,因为数据x,x,,xn的方差为s2=3,所以数据y,=2x+1(i=1,2,,n) 的方差为2×3=12，所以D正确. 10.【答案】ACD 【解折】在△ABc中，co2c-分，则co2c-1-2mC-},所以mC-子，因为mC>0, 所以nC分由8=25c=2,可知b>c,所以B>C,所以C君由正弦定理得，mB 2 所以8-行或B-径.（另AC中，o20-片，b>c可知，C为锐角，所以2C-号.所 3 以C=) 当B=时，A=?，此时△4BC为直角三角形：当B=时，A=工，此时△ABC为 3 2 3 6 高一数学（必修二）试题选填解析第2页（共3页） 等腰钝角三角形.因此，选项ACD正确. D 11.【答案】ABC 【解析】对于选项A,易知AD,⊥AD,AB⊥AD, AD∩AB=A,所以AD⊥平面ADB,所以AD⊥BD,同理 有C,D⊥BD,CD∩AD=D,所以BD⊥平面ADC,选项A 正确； D 对于选项B,由前面分析知，BD为正三棱锥D-ADC高 C 所在的直线，所以BD经过等边△ADC:的中心O,则DD在 平面ADC的射影为OD,所以∠DDO为直线DD与平面 224DG5,cos∠DD0=0D-5 4DC所成角，易求得OD=，AC=2 DD 所以m∠DD0-5,选项B正确： 3 对于选项C,当BD⊥平面AEF时，由选项A,知平面AEF与平面ADC1重合，此时， g为AD中点，F为4心中心0，所以Sa=名4名小5当- ,选项C 正确； 对于选项D,将△AAD沿AD翻折为△A1AD,使得与 D △DAB共面，将△A,BD沿BD翻折为△A1BD,使得与△DAB共 面，如图所示，当A11,E,F,A12共线时，AE+EF+FA2最小，即 △AEF周长最小，在展开图△A,DA2中， (AA2广=(A1D+(4,D-24DA,Dc0s∠AD,42=2+V2, B 所以△AEF周长最小为√2+√5，选项D错误. 三、填空题： 12.【答案】√5 【解析】对等式两边取模，有-2=5，所以=5 13.【答案】0.8 【解析】由B为B的对立事件可知，P(B)=1-P(B)=0.6,又事件A与事件B相互独 立，则事件A与事件相互独立，P(AB)=P(A)PB)=0.5×0.6=0.3,因此 PA+B=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.3=0.8. 14.【答案】6 【解析】当≤0时，原不等式显然成立； B 当x>0时，原不等式可化为1a+2026y.≥3， No N 设t=2026y,则a-b1≥3恒成立，设ā=0A,万=0死，币=0N,则闷3， 过点A作AN⊥OB,则|AN|≥3，即|ANo min=3 在△0AN中，A0N-∠A0B-吾，所以aHaA-21,所以aa=6 高一数学（必修二）试题选填解析第3页（共3页）2025-2026学年（下）期末高中教学质量检测 高一数学（必修二）试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数z=1+i,则在复平面内z的共轭复数三位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.漳州市平和县某蜜柚种植合作社，种植的琯溪蜜柚、红肉蜜柚、三红蜜柚的 果树数量之比为2：3：4，现采用分层抽样的方法抽取45棵果树进行产量估测， 则红肉蜜柚果树被抽取的数量为 A.10 B.15 C.20 D.25 3.已知正四面体ABCD,则直线AC与BD所成角为 A君 B开 c.胃 4.已知一组数据的频率分布直方图分布形态如图所示，则该组数据的平均数、 中位数b、众数C的大小关系为 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 5.甲、乙两款AI软件进行强基数学解题测试，每轮测试中两款软件各独立解一 道题.已知甲软件每轮答对的概率为}，乙软件每轮答对的概率为？，且两款软 件答对与否互不影响，各轮测试结果也相互独立，则两款软件在两轮测试中共 答对3道题的概率为 A贵 B. 5 c 7 D.12 6.“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下 D 小的正四棱台.现有“方斗”容器如图所示，已知AB=4, AB,=2,现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度 的一半时用米38kg,则该“方斗”可盛米的总质量为 A.74kg B.76kg C.112kg D.114kg 7.已知圆O的半径为2，弦AB长度为2，C为圆O上的动点，则ACAB的取 值范围为 A.[0,3] B.[-1,3] C.[-2,6] D.[-3,9] 高一数学（必修二)试题第1页（共4页） 8.漳州是中国女排的摇篮，城中三连冠 纪念碑顶端有一颗排球形雕塑，民间俗 称“定风珠”，如图1.现利用人工智 能视觉测量系统测量该“定风珠”最高 点A到地面的距离AB.如图2，人工智 能设备自动在地面选取两个测量基点 C与D,测得CD=s,传感器自动识别 并输出角度数据∠ACB=a,∠BCD=B, 图1 图2 ∠BDC=y,则距离AB为 A.ssinytana B. ssin Btan a sin(B+y） sin(B+y) C. ssin ysina ssin Bsin a in(B+y) p. sin(B+y) 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四 个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得 部分分，有选错的得0分。 9.经过简单随机抽样获得的样本数据为x1,x2,…,x,且数据x1,x,…, x的平均数为x,方差为s2,则下列说法正确的是 A.=2(x- B.若s2=0,则所有的数据x(i=1,2,…,n都为0 C.若x=3,则y,=2x,+1(i=1,2,…,n)的平均数为7 D.若s2=3,则y=2x+1(i=1,2,…,n)的方差为12 10.已知△4BC的角AB,C对应的边为abe,且cos2C=行，b=2W5.c=2,则△MBc 可能是 A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 11.己知正方体ABCD-A,BCD的棱长为1，E,F分别为线段AD,BD上的动 点，则 A.BD⊥平面ADC B.直线DD与平面ADC所成角的正弦值为V5 C.当B0⊥平面4时，△4EF的面积为 12 D.△4EF的周长最小值为2+√2 高一数学（必修二)试题第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.复数z满足(i-2)z=5,则= 13.己知事件A和事件B相互独立，B为事件B的对立事件.若P(A)=0.5, P(B)=0.4,则P(A+B)= 14.已知向量a,石的夹角为石，对任意的xyeR,不等式ra+2026≥3x恒成 立，则回的最小值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.（13分) 已知向量a=(2,1),b=(x,-2). (I)若a∥(a+b),求x: (Ⅱ)若a1(2a-),求向量a与的夹角. 16.（15分) 如图，直角梯形OA''C'是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形 OABC的直观图，其中OA=2B'C'=2W2. (I)求平面四边形OABC的面积和周长： (Ⅱ)以四边形OABC的边OA所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成 的面围一个几何体，求该几何体的表面积. 17.(15分) 抛掷一颗质地均匀的骰子两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点 数为b,若复数z=a+bi. (I)求事件“z-4i为实数”的概率； (Ⅱ)求事件“2-2≤4”的概率. 高一数学（必修二)试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知△ABC的角A,B,C对应的边为a,b,c,且acosC+asinC=b+√2c. (I)求A; (Ⅱ)若a=2,D为△ABC所在平面内一点，A,D位于直线BC两侧，满足 BD=1且∠CBD=2∠ACB. (i)设S,S,分别为△ABC和△BCD的面积，且2(S,-S)=1,求∠ACB: (ii)设G,G,分别为△ABC和△BCD的重心，求GG的最小值， 19.（17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°， PA=PD,PA⊥PD,E为线段AD的中点，F为线段PC的中点， 平面PAD∩平面BDF=I. (I)求证： (i)PA∥平面BDF; (ii)PA∥l: (I)若平面PAD⊥平面BDF,求四棱锥P-ABCD的体积； (I)过点E作EG⊥PB,G为垂足，设四面体BDEG的外接球半径为R,内 切球半径为，求证：号2+ BG D E B 高一数学（必修二）试题第4页（共4页）