福建莆田市2025-2026学年高一下学期期末质量调研数学试卷

莆田市2025-2026学年下学期期末质量调研试卷 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在 本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知i为虚数单位，则3= A.-1 B.1 C.-i D.i 2.已知一组数据分别为38,41,42,43,44,45,46,47，则这组数据中的第75百分位数是 A.44.5 B.45 C.45.5 D.46 3.在平行四边形ABCD中，点F满足DF=2FC,则 A.AF-24B+AD B.AF-14B+24D 3 3 3 C.F=2B+4 D.AF=4B+AD 3 3 3 4.欧拉公式e°=cos0+isin0(e为自然对数的底，i是虚数单位，0∈R)建立了三角函数和 指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，根据以上内容，可知e争在复平 面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.若事件A和B相互独立，P(A)=0.5,P(B)=0.6,则P(AUB)= A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.9 6.已知m,n,I是三条直线，a,B是两个平面，则下列命题正确的是 A.若a∥B,mca,ncB,则m∥n B.若mca,ncB,m∥B,n∥a,则ax∥B C.若ax∩B=1,ncB,n⊥1，则a⊥B D.若a⊥B,ax∩B=1,m∥a,m⊥1，则m⊥B 数学试题第1页（共4页） 7.某沿海城市A附近海面上有一台风，该台风中心位于城市A南偏东30°方向100W3km的海 面P处，正以10k/h的速度沿北偏西60°的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为 100km的圆形区域，则该城市开始受到台风侵袭的时间为 A.2小时后 B.5小时后 C.10小时后 D.15小时后 8.在平行六面体ABCD-4BCD中，∠A4B=∠A4D=∠BD=写，则二面角A-AB-D的 余弦值为 A青 B月 C.3 3 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数z=a+(1-a)i(a∈R)的实部为4，则 A.=5 B.z=-4+3i C.+=0 D. 2+2 是实数 z+1 10.在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D中，点E是线段AD,的中点，则 A.直线BD与B,C所成角为 B.B,C⊥平面BC,D C.点D到平面ABE的距离为5 D.三棱锥D-ABE的外接球的表面积为4 4 .在△1BC中，AB=2,BC=万，4=子且0，H分别为△ABC的外心，垂心，P是边 BC上的动点，则 A.sinc=21 7 B.0丽C-号 C.04.0B= D.AP.AH=3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知向量a=(2,),b=(m,m+1),其中m∈R,若ab=4,则向量b的模为 13.已知圆锥的内切球的体积为32 ，且圆锥侧面展开图是圆心角为T的扇形，则内切球的半 3 3 径为，圆锥的体积为 14.某校高一年段举行数学竞赛，复试只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率为P，乙同学 答对每题的概率为9(p>q),且在复试中每人各题答对与否互不影响.已知甲、乙同时答对 题的概率为)，且每题恰有一人答对的概率为)，则复试结束后，两人共答对3道 概率为」 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 2026年5月25日，天宫喜团圆！中国航天员完成第8次“太 频率/组距 空会师”.某校为了激发同学们对航天的兴趣，举办航天知 0.025 0.020 识竞赛，满分100分.已知高一年级有200名学生参加知识 0.015 竞赛，成绩均在[50,100]内，将成绩分为[50,60)，[60,70)， 0.010 [70,80),[80,90),[90,100],共5组，得到如图所示的频率 5060708090100成绩/分 分布直方图. (1)求m的值和这200名学生竞赛成绩不低于80分的人数： (2)从成绩在[70,80)和[80,90)的学生中，用分层随机抽样方法抽取5名学生，再从这5名 学生中随机抽取2名，求这2名学生成绩在[70,80)和[80,90)内各1人的概率. 16.（15分) 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=2,E是AB的中点，将△ADE沿DE折起到△ADE 的位置，使得AC=√5 (1)若F是AC的中点，求证：BF∥平面A,DE; (2)求证：AD⊥CE. 17.（15分) 在△ABC中，AB=3,A=背，且△ABC的面积为65. (1)求BC的长： (2)设P是边BC上的动点，过P分别作AB,AC的平行线，交AB,AC于M,N,记 四边形AMPN的面积为S,求S的最大值 18.(17分) 某校高一年级有男生200人，女生100人·为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比 例进行分层随机抽样，抽取总样本量为30的样本，并观测样本的指标值（单位：cm),计 算得男生样本的平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据： 抽取次序 1 2 3 5 6 7 8 9 10 身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163 记抽取的第i个女生的身高为x（i=1,2,3,…,10) 数学试题第3页（共4页） (1)求女生样本的平均数x及方差s2; (2)用总样本的平均数和标准差估计该校高一学生身高的平均数4和标准差σ，求4和σ 的值； (3)若x,庄(：-25，x+2S),则称x为离群值.试剔除女生样本数据中的离群值，求剩余 女生样本的平均数和方差， 【参考数据】√15≈3.9,1592=25281,1692=28561. 【参考公式】总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本 方差分别为：m,x,s；n,,s.记总的样本平均数为而，样本方差为s2,则 g=m+n+-]+m[+-] 19.(17分) 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体Γ的一个顶点，定义多面体「在点 P处的离散曲率为，=1-2(<0，P0:+2Q,P吧，++∠QPQ,+0,Pg),其中g (i=1,2,…,k,k≥3)为多面体「的所有与点P相邻的顶点，且平面QPQ2,平面Q2PQ,, 平面Qk-,PQk和平面QxPQ,为多面体「的所有以P为公共点的面，角用弧度制表示. 图1 图2 (1)如图1，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面 内，求在各个顶点处的离散曲率之和： (2)如图2，在正四棱台ABCD-AB,CD,中，AB=2AB,=45,在点A处的离散曲率为 21 若R是平面ABCD内的动点，且AR=3√2. (ⅰ)判断点R的轨迹，并求轨迹长度： (iⅱ)求直线C,R与平面ABCD所成角的正切值的取值范围. 数学试题第4页（共4页） 莆田市2025-2026学年下学期期末质量调研试卷 高一数学试题参考解答及评分标准 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则， 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数， 4.只给整数分数.单项选择题和单空填空题不给中间分. 一、选择题：每小题5分，满分40分， 1.C2.C 3.A 4.B 5.C6.D7.C 8.A 二、选择题：每小题6分，满分18分 (本题为多项选择题，每小题中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.AD 10.ABD 11.ACD 三、填空题：每小题5分，满分15分. 12.√5 13.2:64 3 (第一空2分，第二空3分) 14.5 12 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.本小题主要考查随机抽样、统计图表、古典概型等基础知识：考查运算求解能力、推理论证 能力、应用意识等；考查统计与概率思想、化归与转化思想等；考查数据分析、数学运算等 核心素养，体现综合性、应用性.满分13分 解：(1)由10×(0.01+0.015+0.02+m+0.025)=1,…2分 解得m=0.03,… …3分 这200名学生竞赛成绩不低于80分所占比例为(0.03+0.025)×10=0.55， …4分 估计200名学生竞赛成绩不低于80分的人数为200×0.55=110.…5分 (2)依题意知成绩在[70,80)的学生人数为40,80,90)的学生人数为60，…6分 用分层随机抽样的方法抽取5人，其中在[70,80)中抽取2人，在80,90)中抽取3人，7分 在[70,80)中抽取2人记为41，a2,在[80,90)中抽取3人记为b,b2,b,…8分 所以样本空间 高一数学试题参考答案第1页（共7页） 2={(a1,a2),(a,b),(a1,b2),(a,b3),(a2,b),(a2,b2),(a2,b3),(b,b2),(b,b3),(b2,b3)} 共有10个样本点，… …9分 设事件A=“这2名学生成绩在[70,80)和[80,90)内各1人”， 则事件A={(a1,b),(a,b2),(a,b),(a2,b),(a2,b2),(a2,b3)}，n(A)=6,…10分 所以P()=n(4 …11分 n(2) 63 …12分 105 故这2名学生成绩在[70,80)和[80,0)内各1人的概率为 …13分 16.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、 推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想等；考查直观想象、 逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分15分 证明：（1)解法一：取AD中点G,连接GF,GE…1分 因为F,G分别是AC,AD的中点， 所以GF∥CD,GF=CD,…2分 在矩形ABCD中，E是AB的中点 所以BE∥CD,BE=CD, …3分 2 所以BEGF,… ……4分 所以四边形BEGF是平行四边形， …5分 所以BF∥GE,… …6分 因为BF文平面ADE,GEc平面A,DE 所以BF∥平面ADE,… 8分 解法二：取CD中点G,连接GF,GB 因为F,G分别是AC,CD的中点 所以GF∥AD,… …1分 因为GFd平面ADE,ADc平面ADE 高一数学试题参考答案第2页（共7页） 所以GF∥平面ADE,…2分 在矩形ABCD中，E,G分别是AB,CD的中点， 所以BE∥DG,…3分 所以四边形BEDG是平行四边形， …4分 所以BG∥DE, …5分 因为BG平面ADE,DEC平面A,DE, 所以BG∥平面ADE,… …6分 又因为GFC平面FGB,BGC平面FGB,BG∩GF=G, 所以平面FGB∥平面ADE,. .7分 因为BFC平面BFG, 所以BF∥平面A,DE,… 8分 (2)在△4CD中，AC2+AD2=（5+12=4=CD2, 所以AD⊥AC，… …9分 在矩形ABCD中，AD⊥AE 所以AD⊥AE, 10分 因为A,Cc平面ACE,A,Ec平面A,CE,AC∩AE=A, 所以AD⊥平面ACE, …13分 因为CEc平面A,CE, 所以AD⊥CE,… 15分 17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、平面向量、不等式等基础知识； 考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学 运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性.满分15分. 因为A=又AB=3,△4BC的面积为63，……西 1分 所以AB-AC-sinA=65, …2分 所以)×3 AC=65,…3分 2 所以AC=8, 4分 高一数学试题参考答案第3页（共7页） 由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB·AC.cos A, 5分 所以BC2=9+64-2×3×8×=49,… 6分 所以BC=7.… 7分 (2)解法一：设AM=xAC,A=yAB，x,y∈(0，)， …8分 因为四边形AMPN是平行四边形， 所以AP=AM+AN, …9分 =xAC+yAB, … 10分 因为B,P,C三点共线，所以x+y=1, 11分 所以S=snA-8x3y=125w, 12分 2 …13分 =3W5, …14分 当且仅当x=y=时，S取得最大值33 …15分 解法二：设BP=BC,见∈(0，)，… …8分 则=，C B =1-，…9分 BC SNc=(1-22, 所以AM此=X， 10分 所以S=SMDC-SANPC-SABP, …11分 所以S=c[1-(-°-]， …12分 又△4BC的面积为SMBC=6N3, s=6-+ e(0,), …14分 当元=)时，S取得最大值35.。 2 …15分 18.本小题主要考查统计、分层随机抽样、样本与总体的平均数及方差等基础知识；考查运算求 解能力、推理论证能力、应用意识、创新意识等；考查统计思想、化归与转化思想等：考查 数据分析、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性.满分17分 高一数学试题参考答案第4页（共7页） 解：(1)女生样本数据平均数为x=++++0 1分 10 =160… 2分 方差为2= 2x-160y2 …3分 10 150 =15.…4分 10 (2)记样本的平均数为4，标准差为0，由题意，设20名男生样本的平均数为)=169， 方差为S,2=39,10名女生样本的平均数下=160，方差2=15.…5分 20×169+10×160 高一学生身高的总体平均数4= …6分 30 =166,… …7分 商一学生身高的总体方差s=号[39+169-16门+号15+(160-16门 …8分 3×48+ 2 ×51=49,… 3 3 …9分 故该校高一学生身高的总体平均数4=166，标准差6=√49=7.…10分 (3)解法-：因为x=160,3=V15≈3.9， 所以(x-2s,x+25)=(160-2W15,160+215≈(（152.2,167.8)， 所以169为离群值， …1分 剔除169后，9名女生样本的平均数为7=。(（160×10-169)=159……12分 2-10-2x-25600=15 …13分 8方2560. ………………14分 则剔除169后，9名女生样本的方差为 15分 =号256150-28561-9×25281)=20 …16分 20 所以剩余女生样本的平均数为159，方差为 …17分 3 高一数学试题参考答案第5页（共7页） 解法二：因为x=160,3=√15≈3.9， 所以(-23，x+2s)=(160-2V15,160+215)≈(152.2,167.8)， 所以169为离群值，.… 。。。。。。。。。。。。。。。。 ……11分 将剔除的169看作第一层，剩余的9个数据看作第二层， 则总体平均数为160，方差为15，… …12分 第一层平均数为169，方差为0，第二层平均数为159，方差设为2，…13分 由公式得15=1x0+169-160+9x2+9×159-1602 …14分 1+9 即92+90=150， …15分 解得2= 6020 …16分 93 20 所以剩余女生样本的平均数为159，方差为 3 …17分 19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、直线与平面所成的 角等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识、应用意识等； 考查化归与转化思想、数形结合思想等；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养， 体现综合性、创新性、应用性.满分17分 解：（1)因为八面体的每一个面都是正三角形， 所以每个顶点处的离散曲率相等，且等于1- 元 ×4× 2分 2π 33 所以在各个顶点处的离散曲率之和为6×二=2，…4分 3 2)(i)由正四棱台的结构特征可知，∠4=∠AD,∠BAD=, 所以在点A处的离散曲率为1-2云(44B+∠A4D+∠BAD)}41B- 12 所以∠48=40=骨 …5分 过点A作AM⊥AB,垂足为M, 因为侧面AAB,B是等腰梯形，且AB=2A,B,=4V5, 所以AM=V5, AM 5 所以A4,= cOS∠AAB …6分 2 连接AC,AC,过点A作AN⊥AC,垂足为N,连接AR,NR,则AC=2AC,=4V6, 因为四边形AAC,C为等腰梯形，AA=2N3，所以AN=√6 高一数学试题参考答案第6页（共7页） 所以AN=√A42-AW2=√6， …… 7分 由正四棱台的结构特征可知，平面AACC⊥平面BB,DD, 且平面AACC∩平面BBD,D=AC,ANc平面AA,CC, 所以AN⊥平面ABCD, … …8分 因为NRc平面ABCD,所以AN⊥NR, 9分 所以NR=VAR2-AW=V32°-(6'=25， 10分 所以点R的轨迹是以N为圆心，半径r为25的圆，且轨迹长度为43π·…12分 (i)在线段AC上取一点E,使得CE=√6，连接C,E,ER,CR,则NE=2√6， 所以由对称性可知，CE业AN,… …13分 所以C,E=V6,C,E⊥平面ABCD, 14分 所以直线CR与平面ABCD所成角为∠CRE,且an∠CRE=CE-6 … 15分 ER ER 因为NE>NR,所以点E在圆N外 所以EN-r≤ER≤EN+r,即26-25≤ER≤2V6+2V5,…16分 所以 6 2W6+2W3 tan∠C,RE 2v6-2万 即1-5stan∠CRE≤1+5 所以道线CR与平面C0高碳角的正切道的汉做简国为-号1，岛 …17分 高一数学试题参考答案第7页（共7页）