精品解析：福建省漳州市2024～2025学年高一下学期期末考试数学试题

漳州市2024～2025学年（下）期末高中教学质量检测 高一数学试题 满分150分，考试时间120分钟，请将所有答案写在答题纸上． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是虚数单位，，则（ ）． A. B. C. 3 D. 5 2. 如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为（ ）． A. B. 2 C. D. 4 3. 在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量的夹角是， ，，则（ ）． A. 2 B. C. D. 5. 漳州市博物馆是了解漳州深厚文化底蕴的理想之地，博物馆共有三层，每个楼层都展示了不同的文化主题．现甲、乙两人各自选择一个楼层参观，假设每个人选择哪个楼层参观是等可能的，则甲乙在不同楼层参观的概率为（ ）． A. B. C. D. 6. 在正四棱台中，，，二面角的平面角为，则该正四棱台的体积是（ ）． A. B. C. D. 7. 为了帮助高一学生更好地了解自己适合选报物理还是历史，某校在学生选科之前组织了一场物理考试，并从中随机抽取了部分学生的成绩（满分为100分），将数据整理得到如图所示的频率分布直方图．根据该频率分布直方图，用样本估计总体，则（ ）． A. 频率分布直方图中的m的值为0.15 B. 该年级物理成绩的众数的估计值为80分 C. 该年级物理成绩的平均数的估计值为75分 D. 若物理成绩排名前70％的学生适合选报物理，则适合选报物理的学生此次成绩应不低于62分 8. 在中，，，，是边上的中线，则向量在向量上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现了点数6的是（ ）． A. 平均数为3，中位数为4 B. 平均数为3，方差为1 C. 平均数为4，极差为4 D. 平均数为2，第80百分位数为4 11. 已知内接于圆O，，设，则（ ）． A. B. 若，则圆O的面积为 C. 若，则圆O的面积为 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某工厂生产三种不同型号的产品，数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取个产品进行分析，则型号产品被抽取的数量等于______． 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则______． 14. 已知三棱锥，满足，，则三棱锥的外接球的表面积等于______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知i为虚数单位，复数z满足，其中． （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 16. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，． （1）求向量与向量夹角的余弦值； （2）点C是线段的三等分点，求点C的坐标． 17. 给定两个数组与，称为这两个数组之间的“差异量”，令数组，且集合，． （1）当时，写出的所有可能情况； （2）记，求的概率． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）求A； （2）若D为中点，且，求的周长； （3）若是锐角三角形，求面积的取值范围． 19. 《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在四面体中，底面，平面平面． （1）求证：四面体为鳖臑； （2）若，，M是的中点． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）已知D，E分别在线段，上移动，若平面，求线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州市2024～2025学年（下）期末高中教学质量检测 高一数学试题 满分150分，考试时间120分钟，请将所有答案写在答题纸上． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是虚数单位，，则（ ）． A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出复数，再根据复数模的运算求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：B 2. 如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为（ ）． A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，分析出原图形中的位置及数量关系，再根据三角形面积公式计算即可. 【详解】在直观图中，因为，， 所以 在直观图中，在轴上且， 所以在原图形中，在轴上，且， 在直观图中，在轴上且，， 所以在原图形中，在轴上，且， 并且在原图形中，， 所以. 故选：A 3. 在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体的特点，将异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，角形 为等边三角形，故 与的夹角为，从而得出异面直线的夹角为. 【详解】 正方体中， ，异面直线AC与的所成角即为 与所成的角，而三角形 为等边三角形，故 与的夹角为 ，所以异面直线AC与的所成角为 . 故选：C 【点睛】熟悉正方体的特点，以及求异面直线夹角通常转化为共面直线夹角来解决,注意几何图形的特点. 4. 已知平面向量的夹角是， ，，则（ ）． A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出及的值，再求出，然后根据求向量模的公式求解即可. 【详解】因为，所以. 因为平面向量，的夹角为， 所以. 因为， 所以. 故选：C 5. 漳州市博物馆是了解漳州深厚文化底蕴的理想之地，博物馆共有三层，每个楼层都展示了不同的文化主题．现甲、乙两人各自选择一个楼层参观，假设每个人选择哪个楼层参观是等可能的，则甲乙在不同楼层参观的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列举出所有情况，结合古典概型公式求解. 【详解】由题知，甲乙可能参观的可能是，共种情况， 在不同楼层的情况为，共种情况， 根据古典概型计算公式，甲乙在不同楼层参观的概率是. 故选：A 6. 在正四棱台中，，，二面角的平面角为，则该正四棱台的体积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先做出二面角的平面角，由得到棱台的高，再根据棱台的体积公式计算即可. 【详解】 如图所示，设上下底面的中心分别为，取，的中点分别为， 连接， 因为为正四棱台，所以即为棱台的高， 且，，， 则即为二面角的平面角，所以为， 过作，垂足为， 所以，，所以 因为，， 所以， 所以在等腰直角三角形中，可得 . 故选：B 7. 为了帮助高一学生更好地了解自己适合选报物理还是历史，某校在学生选科之前组织了一场物理考试，并从中随机抽取了部分学生的成绩（满分为100分），将数据整理得到如图所示的频率分布直方图．根据该频率分布直方图，用样本估计总体，则（ ）． A. 频率分布直方图中的m的值为0.15 B. 该年级物理成绩的众数的估计值为80分 C. 该年级物理成绩的平均数的估计值为75分 D. 若物理成绩排名前70％的学生适合选报物理，则适合选报物理的学生此次成绩应不低于62分 【答案】D 【解析】 【分析】A选项由小长方形的面积之和是可求出，B选项根据最高的长方形中点值判断，C选项根据平均数公式求解，D选项先判断分位数所在区间，然后列方程求解. 【详解】A选项，由小长方形的面积之和是，得到，解得，A选项错误； B选项，由图可知，众数的估计值是，B选项错误； C选项，由图可知，平均值是，C选项错误； D选项，物理成绩排名前70％的学生，等效于求解图中分位数， 由图的频率是，的频率是，故分位数出现在， 设其为，则，解得，D选项正确. 故选：D 8. 在中，，，，是边上的中线，则向量在向量上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，然后利用投影向量公式求解. 【详解】由题意得，， ， 根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量是. 故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的关系，对选项逐一进行判断即可. 【详解】A，若，则，A正确． B，若，则m，n有可能平行、相交或异面，B不正确． C，若，由线面垂直的判定定理可得，，C正确． D，若，因为m不一定在平面内，所以m不一定垂直，D不正确． 故选： AC. 10. 四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现了点数6的是（ ）． A. 平均数为3，中位数为4 B. 平均数为3，方差为1 C. 平均数为4，极差为4 D. 平均数为2，第80百分位数为4 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由平均数为3，中位数为4，列出符合条件的点数，即可判断；对于B，由平均数为，方差为，，利用方差公式得到，即可判断；对于C，由平均数为4，极差为4，列出符合条件的点数，即可判断；对于D，首先计算出第80百分位数是第6个数，若平均数为2，得到，假设第6个数是4，第7个数是6，分析出前5个数的点数和为4即可判断. 【详解】对于A，假设这7个数据从小到大排列为， 若平均数为3，中位数为4，则， 即， 若，可以取满足条件， 所以A选项可能出现了点数6； 对于B，若平均数为，方差为，， 则由方差公式可知，， 若，则，即若出现点数6，方差会大于1， 所以B选项不可能出现了点数6； 对于C，设最大值为，最小值为， 若极差为4，则有， 若平均数为4，则有，， 若，则，7次的点数可以取， 满足平均数为4，极差为4的条件，所以C选项可能出现了点数6； 对于D，因为，所以第80百分位数是第6个数， 若平均数为2，则，若第6个数是4，第7个数是6， 那么前5个数的点数和为4，而骰子的点数最小为1， 所以D选项不可能出现了点数6. 故选：AC 11. 已知内接于圆O，，设，则（ ）． A. B. 若，则圆O的面积为 C. 若，则圆O的面积为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角形外心性质可判断A；利用同角三角函数的平方关系求出，利用余弦定理得到，再利用正弦定理求出外接圆的半径可判断B；利用三点共线得到为外接圆的直径可判断C；取的中点，上靠近的一个三等分点，由已知得三点共线，利用外心性质结合余弦定理可判断D. 【详解】设中角所对的边分别为，则， 对于A，因为内接于圆O，所以圆O是的外接圆， 即为各边垂直平分线的交点，设的垂直平分线与交于点，如下图： 则，故A正确； 对于B，若，则， 由余弦定理得，所以， 设外接圆的半径为， 则由正弦定理得，所以， 所以圆O的面积为，故B错误； 对于C，因为，若，则三点共线， 即外接圆的圆心在上，所以为等腰直角三角形， 则，外接圆的半径为，面积为，故C正确； 对于D，取的中点，上靠近的一个三等分点， 则， 因为，所以， 因为，则，所以三点共线，如下图： 因为，，， 所以在中，， 在中，， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某工厂生产三种不同型号的产品，数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取个产品进行分析，则型号产品被抽取的数量等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样的计算公式求解即可. 【详解】由题意，抽取型号商品的数量为：. 故答案为： 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和得，再利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以， 根据正弦定理得. 故答案为： 14. 已知三棱锥，满足，，则三棱锥的外接球的表面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】设三棱锥外接球的半径为，先判断出为直角三角形，再判断出点在平面上的射影是的中点，在中，求出，在中，再根据勾股定理列出方程，求出，即可求出外接球的表面积. 【详解】 因为，且， 所以为直角三角形. 又因为，所以点在平面上的射影 是外接圆的圆心，即的中点. 设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则有平面. 所以在中， 在中，， 所以由勾股定理可知，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知i为虚数单位，复数z满足，其中． （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用复数的除法和乘法运算得到，再根据纯虚数的定义求解即可； （2）根据复数的实部小于零，虚部大于零求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 若z为纯虚数，则，解得； 【小问2详解】 由（1）知，， 若z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得， 所以m的取值范围为. 16. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，． （1）求向量与向量夹角的余弦值； （2）点C是线段的三等分点，求点C的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）结合平面向量的夹角公式，即可求解； （2）设，由已知得或，再结合向量线性运算坐标表示求解即可. 【小问1详解】 因为点O为坐标原点，，，所以，， 则， 所以向量与向量夹角的余弦值为； 【小问2详解】 若点C是线段的三等分点，则或，设， 当时，， 则，解得，所以； 当时，， 则，解得，所以， 故点C的坐标为或. 17. 给定两个数组与，称为这两个数组之间的“差异量”，令数组，且集合，． （1）当时，写出的所有可能情况； （2）记，求的概率． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出所有可能的排列即可； （2）根据“差异量”的定义，写出满足的，利用古典概型求解概率即可. 【小问1详解】 的所有可能情况为，，，，，； 【小问2详解】 因为，由（1）知，的所有可能情况有6种, 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以满足的有，共2种， 所以的概率为 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）求A； （2）若D为中点，且，求的周长； （3）若是锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再化简即可得到角A； （2）由题意可得，将两边平方结合向量的数量积可得，再利用余弦定理得求得，进而得到周长； （3）由正弦定理用表示出，再代入三角形的面积公式，即可求得面积的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 即， 所以， 所以，因为，所以， 所以，得，由，得； 【小问2详解】 因为D为中点，所以， 则， 所以，解得（舍）或， 由余弦定理得，所以， 所以的周长为； 【小问3详解】 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 根据题意得，解得， 所以，所以，所以， 所以， 所以的取值范围是. 19. 《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在四面体中，底面，平面平面． （1）求证：四面体为鳖臑； （2）若，，M是的中点． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）已知D，E分别在线段，上移动，若平面，求线段长度的最小值． 【答案】（1）证明：如图，在平面内过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面，平面， 所以，所以为直角三角形， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为直角三角形， 所以四面体为鳖臑； （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）在平面内过点作于点，根据面面垂直得到平面，再利用线面垂直证明即可； （2）（ⅰ）取的中点，证明平面即可求解；（ⅱ）过点作，利用线面平行证明面面平行，再利用面面平行的性质定理得，设，利用相似三角形分别用表示，再利用勾股定理转化为二次函数求最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）如图，取的中点，连接， 因为底面，底面，所以， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角， 因为，，M是的中点， 所以，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为； （ⅱ）如图，过点作，垂足为，连接， 由（1）知，，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 设，则，， 易知，所以，即，得， 所以， 则当时有最小值 所以线段长度的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $