10.3 实际问题与二元一次方程组（同步练习）2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以二元一次方程组实际应用为核心，通过基础情境建模、复杂问题解决、综合拓展应用三阶分层设计，实现从概念理解到数学建模能力的递进培养，适配新授课知识巩固与思维提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一等量关系列方程组|以古诗《群鸦栖树》、校园活动等熟悉情境命题，强化数学眼光观察现实世界的能力| |中档|多情境综合建模|涉及增长率（马铃薯基地）、配套问题（福袋灯笼制作），培养数学思维的推理与运算能力| |拔高|跨领域应用与拓展|包含幻方、加密传输等创新情境，通过开放题（茶叶购买方案）发展数学语言表达与模型意识|

10.3 实际问题与二元一次方程组 一、选择题（共9小题） 1．（2026春•连江县期中）我国古诗中常包含有趣的数学知识，比如《群鸦栖树》：“栖树一群鸦，鸦树不知数．三只栖一树，五只没去处；五只栖一树，闲了一棵树．请你仔细数，鸦树各几何？”若设诗句中乌鸦的数量为x只，树为y棵，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2．（2026春•海淀区校级期中）某校数学节开展“π行•拼图接力跑”活动，七年级（1）班参赛同学分成两组：一部分同学负责接力奔跑运送拼图碎片，另一部分同学在终点完成拼图．设负责拼图的同学有x人，负责接力跑的同学有y人．一开始，负责拼图的人数比拼接力跑的人数多5人．因任务需要，老师从拼图队里抽调5人加入接力跑队，调整后，接力跑队的人数正好是拼图队人数的2倍．请根据以上情境，列出关于x、y的二元一次方程组（　　） A． B． C． D． 3．（2026春•拱墅区校级期中）某校春季运动会比赛中，七年级（7）班、（8）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（7）班得分是（8）班得分的2倍；乙同学说：（7）班得分比（8）班得分的3倍少30分．若设（7）班得x分，（8）班得y分，根据题意所列的方程组应为（　　） A． B． C． D． 4．（2026春•萧山区期中）用图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中的竖式和横式两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，若做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 5．（2026•白银区校级一模）甘肃省定西市是“中国马铃薯之乡”．某合作社有甲、乙两个马铃薯种植基地，去年共收获马铃薯50吨．今年采用新技术，甲基地增产20%，乙基地增产15%，两基地总产量达到58.5吨．求甲、乙两个基地去年的产量．设甲基地去年产量为x吨，乙基地为y吨，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．（2026•宁波模拟）我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋40个或灯笼25个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有36卷彩纸，完成后打算将2个福袋和1个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了x卷彩纸，做灯笼用了y卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2026•颍上县一模）第十二届世界运动会于2025年8月7日至17日在四川成都举行，某经销店调查发现：吉祥物“蜀宝”和“锦仔”深受青少年喜爱．已知购进3个“蜀宝”比购进2个“锦仔”多用85元；购进1个“蜀宝”和2个“锦仔”共用175元．该商店决定购进“蜀宝”和“锦仔”各100个，其总费用为（　　） A．11000元 B．12000元 C．10200元 D．11800元 8．（2025秋•大田县期末）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则：明文a，b对应的密文为a﹣2b，2a+b．例如：明文1，2对应的密文是﹣3，4，那么明文4，1对应的密文应是（　　） A．5，1 B．3，3 C．2，9 D．1，7 9．（2025秋•万宁期末）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分、某队在8场比赛中得到12分，那么这个队胜的场数是（　　） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 二、填空题（共7小题） 10．（2026春•沛县期中）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则a+b＝　 　 ． 11．（2026•碑林区校级四模）某校食堂开展员工“包粽子•迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包8个；若每人包5个，则比计划少包10个，则这次活动计划包　 　 个粽子． 12．（2025秋•湖北期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未填完的幻方，则m的值为　 　 ． 13．（2025秋•雁塔区校级期末）小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是　 　 ． 14．（2025秋•铁西区期末）学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为60km/h，在坡路上行驶的速度为30km/h．汽车从学校到自然保护区一共行驶了6.5h，则汽车在坡路上行驶了　 　 h． 15．（2025春•苏州期中）已知兄弟俩的对话如下：弟弟对哥哥说：“我俩的年龄加起来是妈妈年龄的一半”，哥哥对弟弟说：“现在我比你大4岁，再过18年，我们的年龄加起来就等于妈妈的年龄了”，则哥哥今年的年龄是 　 　 岁． 16．（2025•盐城）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 　 　 分． 三、解答题（共8小题） 17．（2026春•海淀区校级期中）在我国大力推进的深空探测工程中，海量宇宙观测数据的处理至关重要．某航天飞行控制中心引进了两款由我国自主研发的超级计算系统：A型系统主要用于航天器轨道精密计算，B型系统主要用于星表高清图象渲染． 经过前期的性能测试发现：如果安排4套A型计算系统和3套B型计算系统协同工作，1小时内能够有效处理240TB的深空探测数据；如果安排3套A型计算系统和4套B型计算系统协同工作，1小时内能够有效处理250TB的相关数据． 问一套A型计算系统和一套B型计算系统，每小时分别能处理多少TB的深空探测数据？ 18．（2026春•南湖区校级期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价 售价 A款 m元 120元 B款 n元 90元 若商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元； 该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． （1）求m和n的值； （2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ 19．（2026春•同步）2台大型收割机和5台小型收割机同时工作2h共收割小麦3.6hm2，3台大型收割机和2台小型收割机同时工作5h共收割小麦8hm2，1台大型收割机和1台小型收割机每小时各收割小麦多少公顷？ 20．（2026春•同步）某地为打造运河风光带，雇用A，B两个工程队共同完成一段长为180m的河道的清理任务．已知A工程队每天清理12m，B工程队每天清理8m，两个工程队工作天数之和为20天，A，B工程队分别清理了多长的河道？ 21．（2026春•同步）甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练．如果他保持上坡的速度为30km/h，平路的速度为40km/h，下坡的速度为50km/h，那么他从甲地骑到乙地需54min，从乙地骑到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少千米？ 22．（2025秋•城关区期末）茶叶促销活动前后，A，B两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知促销时A茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与B茶叶打折前的价格相同． A茶叶销量 B茶叶销量 销售额 打折前 300 200 6900 打折后 500 400 9360 （1）每两A，B茶叶的原价分别是多少？ （2）促销期间，王阿姨带了96元要买A茶叶和打折后为8元的C茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案． 23．（2025秋•高新区期末）2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． （1）求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ （2）现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 24．（2026春•绿园区校级月考）某陶瓷器厂烧制陶瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯．现要用6千克瓷泥全部制作这类茶具，则用多少千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套？ 一、选择题（共9小题） 1．【答案】A 【分析】由三只栖一树，五只没去处，列得3y+5＝x；由五只栖一树，闲了一棵树，列得5（y﹣1）＝x，由此得到方程组． 【解答】解：设鸦为x只，树为y棵， 根据题意，得 ， 故选：A． 2．【答案】B 【分析】设负责拼图的同学有x人，负责接力跑的同学有y人，根据一开始，负责拼图的人数比拼接力跑的人数多5人．因任务需要，老师从拼图队里抽调5人加入接力跑队，调整后，接力跑队的人数正好是拼图队人数的2倍，列出二元一次方程组即可． 【解答】解：设负责拼图的同学有x人，负责接力跑的同学有y人， 由题意得：， 故选：B． 3．【答案】D 【分析】根据题意列出方程组即可． 【解答】解：设（7）班得x分，（8）班得y分， 根据题意：， 故选：D． 4．【答案】A 【分析】设可以做成x个竖式的无盖纸盒，y个横式的无盖纸盒，根据恰好将纸板用完，列出关于x，y的二元一次方程组，两方程相加后得出m+n＝5（x+y），结合x，y均为正整数可得出（m+n）为5的倍数，即可得出结论． 【解答】解：设可以做成x个竖式的无盖纸盒，y个横式的无盖纸盒， 依题意得：， ①+②得：m+n＝5（x+y）． 又∵x、y均为正整数， ∴（m+n）为5的倍数， ∴（m+n）的值可能为2020． 故选：A． 5．【答案】A 【分析】根据去年总产量50吨列第一方程，再由今年增产比例和总产量58.5吨列第二方程，据此进行判断即可． 【解答】解：根据题意可得： ． 故选：A． 6．【答案】B 【分析】根据现有36卷彩纸，完成后打算将2个福袋和1个灯笼配成一套礼物送给父母，列出二元一次方程组即可． 【解答】解：根据题意得：， 故选：B． 7．【答案】B 【分析】先设出两种吉祥物的单价，根据题意列方程组，求解单价后计算总费用即可． 【解答】解：设1个“蜀宝”进价为x元，1个“锦仔”进价为y元， 根据题意列二元一次方程组得，， 解得， ∴总费用为100（x+y）＝100×（65+55）＝12000元， 故选：B． 8．【答案】C 【分析】设明文4，1对应的密文应是（m，n），根据加密方式列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设明文4，1对应的密文应是（m，n）， 根据题意得：， 解得：， 即明文4，1对应的密文应是（2，9）， 故选：C． 9．【答案】B 【分析】设这个队胜x场，负y场，由题意：在8场比赛中得到12分，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设这个队胜x场，负y场， 根据题意得：， 解得：， 即这个队胜的场数是4场， 故选：B． 二、填空题（共7小题） 10．【答案】97.2． 【分析】根据题意列出二元一次方程组，求出a，b的值即可得到答案． 【解答】解：根据题意得， 解得， ∴a+b＝56.7+40.5＝97.2． 故答案为：97.2． 11．【答案】100． 【分析】设参与活动的员工有x人，计划包粽子y个，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：设参与活动的员工有x人，计划包粽子y个， 根据题意，得， 解得， 故这次活动计划包100个粽子， 故答案为：100． 12．【答案】4． 【分析】根据“每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，”列出方程组，即可求解． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：4． 13．【答案】n的可能值有4个． 【分析】设A同学有x元，B同学有y元，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果． 【解答】解：设A同学有x元，B同学有y元，x，y均为非负整数， 由题意可得方程组：， 将x＝n（y﹣2）﹣2代入②中得，消去x得：（2y﹣7）n＝y+4， 即：， ∵为正整数， ∴2y﹣7的值分别为1，3，5，15， ∴y的值只能为4，5，6，11， ∴当y＝4时，n＝8， 当y＝5时，n＝3， 当y＝6时，n＝2， 当y＝11时，n＝1， 即n的可能值有4个． 故答案为：4． 14．【答案】5.2． 【分析】设汽车在坡路上行驶了xh，在平路上行驶了yh，利用路程＝速度×时间，结合“共行驶了6.5h，且前路段为平路，其余路段为坡路（即坡路是平路的2倍）”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设汽车在坡路上行驶了xh，在平路上行驶了yh， 根据题意得：， 解得：， ∴汽车在坡路上行驶了5.2h． 故答案为：5.2． 15．【答案】11． 【分析】设哥哥今年的年龄是x岁，弟弟今年的年龄是y岁，由题意：“我俩的年龄加起来是妈妈年龄的一半”，哥哥对弟弟说：“现在我比你大4岁，再过18年，我们的年龄加起来就等于妈妈的年龄了”，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设哥哥今年的年龄是x岁，弟弟今年的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 即哥哥今年的年龄是11岁， 故答案为：11． 16．【答案】6． 【分析】设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分，根据三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分；列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分， 根据题意得：， 解得：， 即每尺绢的价格是6分， 故答案为：6． 三、解答题（共8小题） 17．【答案】一套A型计算系统每小时处理30TB，一套B型计算系统每小时处理40TB． 【分析】设一套A型系统每小时处理x TB，一套B型系统每小时处理y TB，根据题意列方程组即可． 【解答】解：设一套A型系统每小时处理x TB，一套B型系统每小时处理y TB，根据题意列二元一次方程组，， 解得， 答：一套A型计算系统每小时处理30TB，一套B型计算系统每小时处理40TB． 18．【答案】（1）m的值为80，n的值为60； （2）该商场可获利1100元． 【分析】（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值； （2）根据购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，列出二元一次方程，根据x，y为正整数，求出x，y的值，再列式计算即可解答． 【解答】解：（1）∵商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元； 该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． 根据题意得： ， 解得：， 答：m的值为80，n的值为60； （2）根据题意得120x+90y＝3300，即40x+30y＝1100， ∴（120﹣80）x+（90﹣60）y＝40x+30y＝1100（元）， 答：该商场可获利1100元． 19．【答案】1台大型收割机每小时收割小麦0.4公顷，1台小型收割机每小时收割小麦0.2公顷． 【分析】设1台大型收割机每小时收割小麦x公顷，1台小型收割机每小时收割小麦y公顷，根据“2台大型收割机和5台小型收割机同时工作2h共收割3.6hm2；3台大型收割机和2台小型收割机同时工作5h共收割8hm2”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设1台大型收割机每小时收割小麦x公顷，1台小型收割机每小时收割小麦y公顷， 根据题意得， 解得， 答：1台大型收割机每小时收割小麦0.4公顷，1台小型收割机每小时收割小麦0.2公顷． 20．【答案】A工程队清理了60m河道，B工程队清理了120m河道． 【分析】先设A工程队清理了x天河道，B工程队清理了y天河道，根据题意列出方程组求解，再求A，B工程队分别清理了的河道长度． 【解答】解：设A工程队清理了x天河道，B工程队清理了y天河道， 则， 解得：， ∴A工程队清理了12×5＝60（m）河道， B工程队清理了8×15＝120（m）河道， 答：A工程队清理了60m河道，B工程队清理了120m河道． 21．【答案】甲地到乙地全程是31km． 【分析】设从甲地到乙地的上坡长为xkm，平路长为ykm，则从乙地到甲地的下坡长为xkm，平路长为ykm，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出x，y的值，由此即可得． 【解答】解：设从甲地到乙地的上坡长为xkm，平路长为ykm，则从乙地到甲地的下坡长为xkm，平路长为ykm， 由题意得：， 解得：， 则x+y＝15+16＝31（km）， 答：甲地到乙地全程是31km． 22．【答案】（1）每两A，B茶叶的原价分别是15元，12元； （2）共有3种方案． 【分析】（1）依据题意，设每两A茶叶的原价是x元，则每两B茶叶的原价是y元，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，促销期间，A茶叶单价为12元/两，C茶叶单价为8元/两，又设购买A茶叶a两，C茶叶c两（a，c为正整数），则12a+8c＝96，故2c＝24﹣3a，进而可以计算得解． 【解答】解：（1）由题意，每两A茶叶的原价是x元，则每两B茶叶的原价是y元， ∴， ∴． 答：每两A，B茶叶的原价分别是15元，12元； （2）由题意，促销期间，A茶叶单价为12元/两，C茶叶单价为8元/两， 设购买A茶叶a两，C茶叶c两（a，c为正整数）， ∴12a+8c＝96． ∴2c＝24﹣3a， ∴24﹣3a需为正偶数， ∴3a为偶数，即a为偶数． ∵a≥1，c≥1， ∴3a＜24，则a＜8． 又∵1≤a＜8， ∴a＝2，4，6． ∴或或． ∴共有3种方案． 23．【答案】（1）1辆小货车一次满载运输300件，1辆大货车一次满载运输400件； （2）够用， 设租用小货车a辆，大货车b辆， 依题意列二元一次方程得：300a+400b＝2700 解得 又∵a，b均为正整数， ∴当b＝3，a＝5；当b＝6，a＝1； ∴或 ∴共有2种租车方案， 方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为400×5+3×500＝2000+1500＝3500元； 方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为400×1+6×500＝400+3000＝3400元； 3500＜4000；3400＜4000； ∴该组委会计划支出4000元用于租车，够用． 【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输x件文创产品，1辆大货车一次满载运输y件文创产品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车a辆，大货车b辆，列出方程，然后根据a、b均为整数进行列举，再计算费用进行比较即可． 【解答】解：（1）设1辆小货车一次满载运输x件文创产品，1辆大货车一次满载运输y件文创产品， 依题意列二元一次方程组得：， 解得：， 即1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品， 答：1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品； （2）该组委会计划支出4000元用于租车，够用，理由如下： 设租用小货车a辆，大货车b辆， 依题意列二元一次方程得：300a+400b＝2700 解得 又∵a，b均为正整数， ∴当b＝3，a＝5；当b＝6，a＝1； ∴或 ∴共有2种租车方案， 方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为400×5+3×500＝2000+1500＝3500元； 方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为400×1+6×500＝400+3000＝3400元； 3500＜4000；3400＜4000； ∴该组委会计划支出4000元用于租车，够用． 24．【答案】用2千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套． 【分析】设用x千克瓷泥做茶壶，则用（6﹣x）千克瓷泥做茶杯，利用制作的茶杯的总数量是制作茶壶总数量的6倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设用x千克瓷泥做茶壶， 根据题意得：6×3x＝9（6﹣x）， 解得：x＝2． 答：用2千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套． 学科网（北京）股份有限公司 $