1.2 一元二次方程的解法（第3课时公式法）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程公式法，核心内容包括求根公式推导、根的判别式及解法步骤。课堂导入通过回顾配方法及其繁琐步骤，引出对通用公式的需求，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以问题链驱动公式推导，分三种情况讨论判别式，培养学生推理能力和符号意识。通过“一化二定三算四求”步骤总结，结合典例和分层练习强化模型意识。学生能提升逻辑推理和规范解题能力，教师可借助清晰流程和实例提高教学效率。

【新教材】青岛版·九年级上册 第1章 一元二次方程 第3课时 公式法 1.2一元二次方程的解法 学 习 目 标 1 2 3 了解一元二次方程求根公式的推导过程，熟记求根公式及根的判别式公式.熟练运用公式法规范解一元二次方程。 经历推导求根公式一归纳解题步骤的完整过程;体会从特殊到一般，感受转化思想在数学中的应用。 通过探索一元二次方程的求根公式，进一步培养学生的推理能力和符号意识。 知识回顾 1.我们学习了一元二次方程的哪些解法？ （1）开平方法： （2）配方法： (x+m)2=n(n≥0) 通过配方法把一般方程转化为(x+m)2=n(n≥0)，再通过开平方法解得方程的解。 知识回顾 2.配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）移项:把常数项移到方程的右边； （2）配方:方程的两边同时加上一次项系数一半的平方; （3）变形:把方程的左边写成一个完全平方式； （4）开平方：得一元一次方程并解之； （5）写：写出原方程的解. 3.用配方法解方程 知识回顾 （1）x2−6x+5=0； （2）2x2+5x+2=0。 解：（1）x2−6x=5； x2−6x+32=32+5； (x-3)2 =14； x +3= x1=-3 ，x2=-3- 。 两边同时加上一次项系数一半的平方 3.用配方法解方程 知识回顾 （1）x2−6x+5=0； （2）2x2+5x+2=0。 （2）2x2+5x=-1。 x2+x=-1。 (x+)2 =； x2+x+（）2=-1+（ ）2。 x+ =； x1=- ，x2=-2 。 两边同时加上一次项系数一半的平方 我们已经会用配方法解像 x2−6x+5=0、2x2+5x−2=0 这样的一元二次方程了. 导入新课 用配方法解任何一个方程都要重复这个步骤，步骤繁琐，特别地，当系数是分数或较大数时，计算量大且容易出错。我们能否找到更直接的路径? 如果有一种公式，能解任意一元二次方程而且还简单就好啦。 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否用配方法得出它的解呢？ 知识点1 一元二次方程求根公式的推导 思考 如何才能把一般的一元二次方程转化为（mx+n)²=p呢？ 二次项系数不是1时， 先化为1 方程两边同时除以a,得 ax2+bx+c=0(a≠0)， x 2+ x+ =0。 移项并配方,得 x 2+ x +( )2= ( )2 - 。 即（x+ ）2 = 。 两边同时加上一次项系数一半的平方 两边能直接开平方吗? 为什么?应该怎么办? 知识点1 一元二次方程求根公式的推导 ∵a≠0 ∴4a2＞0 式子b2-4ac的符号决定 的值得符号。 要先确定 的符号。 b2-4ac的符号有三种情况。 （x+ ）2 = 。 ax2+bx+c=0(a≠0)， 知识点1 一元二次方程求根公式的推导 ∵a≠0 ∴4a2＞0 （1）当b2-4ac＞0时,＞0 开平方得 x+ = 。 （x+ ）2 = 。 ax2+bx+c=0(a≠0)， （x+ ）2 = ＞0。 这里用到了 这里用到了 ,与前面的±运算后，结果还是±. 知识点1 一元二次方程求根公式的推导 所以方程有两个不相等的实数两个根为： x1 = , x2 = 。 此时把系数a,b,c直接代入可以求出一元二次方程的根. x = - 。 知识点1 一元二次方程求根公式的推导 （2）当b2-4ac=0时,=0 （x+ ）2 = 。 ax2+bx+c=0(a≠0)， （x+ ）2 = =0 。 x+ = 0 。 ∴方程有两个相等的实数两个根为： x1 = x2= - 。 知识点1 一元二次方程求根公式的推导 （x+ ）2 = 。 ax2+bx+c=0(a≠0)， （3）当b2-4ac＜0时,＜0。 （x+ ）2 = ＜0。 即（x+ ）2 ＜0。 不论x取任何实数，（x+ ）2 ＜0不成立，方程无实数根。 知识点1 一元二次方程求根公式的推导 公式法解 ax2+bx+c=0一元二次方程： 一般地,当b2-4ac≥0时, 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是 x = 。 这个式子叫作一元二次方程的求根公式。 用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法。 注意:用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，当b2-4ac≥0时，才可以用求根公式. 一化：将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0) 二定：确定a，b，c 的值，不要漏掉符号； 三算：计算b2-4ac的值，确定方程根的情况； 四求：若b2-4ac≥ 0，则利用求根公式求解； 若b2-4ac<0，则方程无实数根. 六算：算出方程的根。 五代 ：将a，b，c的值代入求根公式； 用公式法解一元二次方程的步骤： 一元二次方程 a,b,c得值 b2-4ac的值 x2+6x=7 x2-x+=0 5x2=4x 3x2+5=2x 例1、完成下列问题: a=1,b=6,c=-7 =62-4×1×(-7)=64 a=1,b=-1,c= =（-1）2-4×1×=0 a=5,b=-4,c=0 a=3,b=-2,c=5 =（-4）2-4×5×0=16 =（-2）2-4×3×5 =-36 典例讲解 例2、用公式法解方程: (1)3x2-5x-2=0; (2)2x2=3x； (3) x2＋17=8x． 解：(1)3x2-5x-2=0; a=3,b=-5,c=-2 确定 a，b，c 的值时，要注意它们的符号. b2-4ac =(-5)2-4×3×(-2) =49>0。 所以方程的两个根为 x = = = 即 x1=2, x2=- 。 典例讲解 (2)2x2=3x。 原方程可化为2x2-3x=0。 a=2,b=-3,c=0， b2-4ac =(-3)2-4×2×0 =9>0。 所以方程的两个根为 x = = = 即 x1=, x2=0 。 提示：方程必须要转化成一般形式才能确定系数 典例讲解 (3) x2＋17=8x． 提示：方程必须要转化成一般形式才能确定系数 a＝1，b＝－8，c＝17。 原方程化为x2－8x＋17＝0． b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0。 故方程无实数根． 当b2－4ac<0时，直接下结论无实根． 典例讲解 反思感悟 用公式法解一元二次方程时，要注意的易错点：一定要先把方程整理为一般形式，否则不能正确得到a，b，c的值，后续解题则随之出现错误. 1.解方程： (1)2x2+3=-7x；（2）2x2-2+1=0 ；(3)5x(x+1)=6-5x。 解：（1）方程化为一般形式，得2x2+7x+3=0， ∴a=2，b=7，c=3， ∵b2-4ac=72-4×2×3=49-24=25>0， ∴x==， 解得x1=-3，x2=-. 跟踪练习 （2）2x2-2+1=0 a=2,b=-2,c=1 b2-4ac =(-2)2-4×2×1 =0。 所以方程有两个相等的实数根为： x1 = x2= - =- = 。 跟踪练习 (3)5x(x+1)=6-5x。 方程化为一般形式，得5x2+10x-6=0， a=5,b=10,c=-6 b2-4ac =102-4×5×（-6） =220。 所以方程有两个不相等的实数根为： ∴x= = ， 解得x1=，x2=. 跟踪练习 1.用求根公式解方程2x2-3=x时，a，b，c的值是（ ） A.a=2，b=1，c=-3； B.a=2，b=-1，c=-3； C.a=2，b=-1，c=3； D.a=2，b=1，c=3。 解析：2x2-3=x，整理，得2x2-x-3=0， ∴a=2，b=-1，c=-3. B 当堂检测 2. 用公式法解下列方程： (1) ；(2) ； (3) . 解：(1) 整理方程得 ， ，， ， ， ， 即， . 当堂检测 (2) 整理方程得 ， ，， ， ， ， 即， . 当堂检测 (3) 整理方程得 ， ，， ， ， ， 即， . 当堂检测 公式法解一元二次方程 求根的 公式 一元二次方程 ax2+bx+c=0， 求根公式 x （b2-4ac≥0）。 步骤 一化：把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 . 二定：确定a，b，c的值，不要漏掉符号. 三算：计算 △=b2-4ac 确定方程根的情况. 四求：当△>0 时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0 时，方程有两个相等的实数根； 当△<0 时，方程无实数根. 课堂小结 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $